2023屆河北省保定市重點(diǎn)高中高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，得出答案．【詳解】∵全稱命題的否定是特稱命題∴命題“，”的否定為：，．故選：A．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求函數(shù)的定義域可得集合，解不等式得，進(jìn)而可得.【詳解】由，得，解得，即；，所以，故選：D.3．如圖，已知四邊形是圓柱的軸截面，，在圓柱內(nèi)部有兩個(gè)圓錐（圓錐和圓錐），若，則圓錐與圓錐的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的體積之比可得高之比，進(jìn)而可得母線之比，即可得側(cè)面積的比值.【詳解】設(shè)為圓柱底面圓半徑，由得,由可得,故故圓錐與圓錐的母線之比為所以圓錐與圓錐的側(cè)面積之比為,故選：B4．已知向量，，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出、，即可得到，，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，又，所以，解得，所以，，所以，，所以向量在向量上的投影向量為；故選：C5．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的表達(dá)式可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)振幅可確定根據(jù)周期可確定，進(jìn)而根據(jù)最高點(diǎn)確定，代入中化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】由圖可知：,經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，故,故，所以．故選：A．6．已知四邊形是橢圓的內(nèi)接四邊形（即四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上），且四邊形為矩形，則四邊形的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合重要不等式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，又點(diǎn)在橢圓上，故可得：，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).故四邊形的面積的最大值為.故選：.7．國(guó)家于2021年8月20日表決通過(guò)了關(guān)于修改人口與計(jì)劃生育法的決定，修改后的人口計(jì)生法規(guī)定，國(guó)家提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對(duì)夫妻可以生育三個(gè)子女，該政策被稱為三孩政策.某個(gè)家庭積極響應(yīng)該政策，一共生育了三個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個(gè)男孩；事件：該家庭最多有一個(gè)女孩.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對(duì)立 B．事件與事件互斥且對(duì)立C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【分析】利用互斥事件、對(duì)立事件的意義可判斷選項(xiàng)A，B；利用獨(dú)立事件的定義可判斷C,D【詳解】有三個(gè)小孩的家庭的樣本空間可記為：={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，對(duì)于A，,且，所以事件B與事件C互斥且對(duì)立，故A不正確；對(duì)于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件與事件不互斥，故B不正確；對(duì)于C，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有0個(gè)樣本點(diǎn)，，顯然有，即事件與事件不相互獨(dú)立，故C不正確；對(duì)于D，事件有6個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有3個(gè)樣本點(diǎn)，，顯然有，即事件與事件相互獨(dú)立，故D正確；故選：D8．已知函數(shù)滿足：，對(duì)任意恒成立.若成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)建新函數(shù)，結(jié)合奇偶性、單調(diào)性分析可得恒成立，利用參變分離結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】∵，則令，即，則為奇函數(shù)，又∵，則，即，則在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，故為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.∵，即則，∴，則恒成立，當(dāng)時(shí)，則恒成立，則；當(dāng)時(shí)，整理可得，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，則；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)于恒成立問(wèn)題可得：；.二、多選題9．為了增強(qiáng)學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素與學(xué)生對(duì)體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對(duì)學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進(jìn)行普查.得到下表：性別合計(jì)男性女性喜歡280p280+p不喜歡q120120+q合計(jì)280+q120+p400+p+q附：，．0.150.100.050.0250.0100.00l2.0722.7063.8415.0246.63510.828已知男生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．列聯(lián)表中的值為，的值為B．隨機(jī)對(duì)一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，此學(xué)生有的可能喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)C．有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系D．沒(méi)有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系【答案】ACD【分析】根據(jù)題意求出q、p，補(bǔ)全列聯(lián)表，分析數(shù)據(jù)，利用卡方計(jì)算公式求出，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由題意知，男生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的，則，，解得，故A正確；B：補(bǔ)全列聯(lián)表如下：男性女性合計(jì)喜歡280180460不喜歡120120240合計(jì)400300700所以隨機(jī)抽一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率約為，故B錯(cuò)誤；C：，而，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系，故C正確；D：由選項(xiàng)C知，沒(méi)有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系，故D正確.故選：ACD10．已知函數(shù)，，則（

）A．對(duì)于任意，函數(shù)有零點(diǎn)B．對(duì)于任意，存在，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)C．對(duì)于任意，存在，函數(shù)恰有二個(gè)零點(diǎn)D．存在，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)圖象即可得到當(dāng)時(shí)一定有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可；BCD選項(xiàng)：根據(jù)切線斜率的范圍來(lái)判斷直線與圖象的交點(diǎn)情況即可.【詳解】A選項(xiàng)：上圖為的圖象，由題意知，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象一定有交點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則由零點(diǎn)存在性定理得有零點(diǎn)，故A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以切線的斜率都大于或等于1，當(dāng)時(shí)，直線與有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)得，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，所以在的切線方程為，所以當(dāng)時(shí)，直線與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11．已知點(diǎn)，分別為圓：與圓：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上一點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)題意，作出圖形，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即；由知當(dāng)取到最大即時(shí)最大，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式計(jì)算即可.【詳解】由，得，所以圓心，半徑為；由，得，所以圓心，半徑為；設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，有，解得，即，連接，交直線于點(diǎn)，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且，連接，此時(shí)最小，當(dāng)取到最大時(shí)，取到最大值，如圖，由圖可知，，所以的最大值為，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC12．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】設(shè)函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，從而，即可得出答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，則必有，，，，故AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD.三、填空題13．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】在的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為故答案為：．14．從數(shù)字中任意取出兩個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字不是連續(xù)的自然數(shù)的概率是__．【答案】##0.6【分析】根據(jù)題意可得所有的可能結(jié)果有10種，滿足條件的有6種，利用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算即可求解.【詳解】從中任意取出2個(gè)數(shù)共有種結(jié)果，數(shù)字是不連續(xù)自然數(shù)的情況有，共6種結(jié)果.所以數(shù)字是不連續(xù)自然數(shù)的概率為.故答案為：.15．已知函數(shù)（）滿足，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為（），則__．【答案】【分析】根據(jù)已知條件求出函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)交點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（）滿足，所以（）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即對(duì)每一組對(duì)稱點(diǎn)，（），有，故.故答案為：.16．設(shè)是橢圓（）的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），過(guò)作的垂線，垂足為，且，則該橢圓的離心率是__．【答案】【分析】結(jié)合圖形，利用幾何性質(zhì)以及橢圓定義、勾股定理、離心率公式進(jìn)行求解.【詳解】由題可知，，且，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以，且，又直線的斜率為，所以，設(shè)，，所以，，聯(lián)立解得，，由勾股定理有：，即，所以，所以.故答案為：.四、解答題17．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，（2）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解，【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由，可得，則；（2）由（1），即是數(shù)列中的第項(xiàng)．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)樗詳?shù)列的前50項(xiàng)是由數(shù)列的前56項(xiàng)去掉數(shù)列的前6項(xiàng)后構(gòu)成的，所以．18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)已知，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在線段AC上且，點(diǎn)P為AM與BN的交點(diǎn)，求的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角并化簡(jiǎn)得，根據(jù)角的范圍，則可求出其大?。唬?）由向量運(yùn)算得，展開(kāi)代入數(shù)據(jù)即可得到其值，再分別計(jì)算出和，利用向量夾角公式即可.【詳解】（1）則由正弦定理得化簡(jiǎn)得：，,，則，，，即.（2），點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，，，，.即的余弦值為.19．2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），《意見(jiàn)》宣布：2020年起不再組織開(kāi)展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲?乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過(guò)的概率均為，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過(guò)的概率依次為，其中.(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲?乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門科目的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和二項(xiàng)分布的概率公式求解即可；（2）該考生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，報(bào)考乙大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，進(jìn)而結(jié)合二項(xiàng)分布求解，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，進(jìn)而結(jié)合題意求解.【詳解】（1）解：設(shè)“該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過(guò)一門筆試科目”為事件，“該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好通過(guò)一門筆試科目”為事件，根據(jù)題意可得，（2）解：設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，報(bào)考乙大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，所以，，，，.則隨機(jī)變量的分布列為：0123，若該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，有，所以，又因?yàn)?，所以，所以，的取值范圍?20．如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.【答案】(1)(2)平面和平面夾角余弦值的最小值為【分析】（1）作出輔助線，得到當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，求出，從而得到體積最大值；（3）作出輔助線，得到為的平面角，即，建立空間直角坐標(biāo)系，用含的關(guān)系式表達(dá)出平面和平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式及，得到，結(jié)合的取值范圍求出余弦值的最小值．【詳解】（1）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時(shí)平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為；（2）解：連接，因?yàn)?，所以，所以為的平面角，即，過(guò)點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，過(guò)作于點(diǎn)，由題意得平面，設(shè),,，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋瑒t，令，可得：，設(shè)兩平面夾角為，則，令，所以，則所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用二面角的平面角來(lái)表示折疊過(guò)程中形成的動(dòng)點(diǎn)的橫、縱、豎坐標(biāo)，從而減少題中的變量，并且求解平面與平面夾角的余弦值時(shí)，兩個(gè)平面法向量都含參數(shù)的正弦或余弦值，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解時(shí)，還需應(yīng)用與的關(guān)系進(jìn)行變形處理，從而使得只含或者的式子，轉(zhuǎn)換成單變量的函數(shù)關(guān)系從而可以利用函數(shù)思想求解的最值，屬于較難題目．21．已知雙曲線的離心率為，左?右頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)滿足(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與直線AN交于點(diǎn)D.設(shè)直線MB，MD的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用向量數(shù)量積列出方程，求出，結(jié)合離心率求出，從而得到，求出雙曲線方程；（2）考慮直線斜率不存在，不合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，求出直線OP方程，表達(dá)出直線，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，將兩根之和，兩根之積代入，化簡(jiǎn)得