第7章第2講一、選擇題1．(2022·山東)如下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A．9π B．10πC．11π D．12π[解析]由三視圖可知，該幾何體上部是一個半徑為1的球，下部分是一個半徑為1高為3的圓柱，故其表面積為S＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.[答案]D2．若一個圓錐的軸截面(過圓錐頂點(diǎn)和底面直徑的截面)是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個圓錐的全面積為()A．3π B．3eq\r(3)πC．6π D．9π[答案]A3．(2022·佛山一模)若一個圓臺的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于()A．6 B．6πC．3eq\r(5)π D．6eq\r(5)π[答案]C4．正方體的內(nèi)切球與外切球的體積之比為()A．1∶eq\r(3) B．1∶3C．1∶3eq\r(3) D．1∶9[解析]正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球的半徑為eq\f(1,2)a，外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)a，故所求的比為1∶3eq\r(3)，選C.[答案]C5．(2022·課標(biāo)，7)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、aA．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2[解析]長方體外接球直徑為長方體體對角線長，即r＝eq\f(\r(6),2)a，S球＝4π(eq\f(\r(6),2)a)2＝6πa2，故選B.[答案]B6．(2022·全國Ⅱ，12)紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是()A．南 B．北C．西 D．下[答案]B二、填空題7．(2022·湖南，13)下圖中的三個直角三角形是一個體積為20cm3的幾何體的三視圖，則h＝________cm.[解析]根據(jù)三視圖還原直觀圖，∴AC＝5，AB＝6，SA＝h，AC⊥AB，SA⊥平面ABC.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·AB＝eq\f(1,2)×5×6＝15.VS－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·SA，∴20＝eq\f(1,3)×15×h，∴h＝4.[答案]48．(2022·江西，14)體積為8的一個正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O的體積等于________．[解析]設(shè)正方體棱長為a，則a3＝8，∴a＝2.∵S正方體＝S球，∴6×22＝4πR2，∴R＝eq\r(\f(6,π)).V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\r(\f(6,π)))3＝eq\f(8\r(6π),π).[答案]eq\f(8\r(6π),π)9．(2022·上海，6)若球O1、O2表面積之比eq\f(S1,S2)＝4，則它們的半徑之比eq\f(R1,R2)＝________.[解析]S球＝4πR2，故eq\f(R1,R2)＝eq\r(\f(S1,S2))＝eq\r(4)＝2.[答案]210．已知圓錐的高為H，底面半徑為R，它的內(nèi)接圓柱的高為x，則這個內(nèi)接圓柱的側(cè)面積為_______，當(dāng)x＝_______時，內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大．[解析]作軸截面得，r＝eq\f(H－x,H)·R.S側(cè)＝2π·eq\f(H－x,H)·R·x＝－eq\f(2πR,H)·x2＋2πRx當(dāng)x＝eq\f(H,2)時，面積最大．[答案]－eq\f(2πR,H)x2＋2πR·x，eq\f(H,2)三、解答題11．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.[解]由題設(shè)可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊為8的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊為6的等腰三角形．(1)幾何體的體積V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正側(cè)面及其相對側(cè)面底邊的高為：h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高為：h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故幾何體的側(cè)面積S＝2×(eq\f(1,2)×8×5＋eq\f(1,2)×6×4eq\r(2))＝40＋24eq\r(2).12．(2022·寧夏、海南，18)如圖，在三棱錐P－ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)證明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P－ABC的體積．(1)[證明]因為△PAB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC＝BC.如圖，取AB中點(diǎn)D，連接PD、CD，則PD⊥AB，CD⊥AB，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC.(2)[解]作BE⊥PC，垂足為E，連接AE.因為Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因為Rt△AEB≌Rt△PEB，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面積S＝2.因為PC⊥平面AEB，所以三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)×S×PC＝eq\f(8,3).親愛的同學(xué)請寫上你的學(xué)習(xí)心得