天津南開2018屆高三第五次月考數(shù)學(xué)（文史類）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，其中為實數(shù)，則()A．B．C．D．2.“成等差數(shù)列”是“”成立的()A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3.已知實數(shù)滿足則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()A．-3B．C．5D．64.設(shè)，則大小關(guān)系正確的是()A．B．C.D．5.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，，則輸出的值滿足()A．B．C.D．6.已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點，點為拋物線的焦點，為直角三角形，則雙曲線的離心率為()A．3B．2C.D．7.若關(guān)于的不等式至少有一個復(fù)數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是()A．B．C.D．8.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是()A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9.已知集合，若，則__________.10.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是__________.11.已知，則的最小值是__________.12.已知圓過圓心的直線交圓于兩點，交軸于點，若恰為的中點，則直線的斜率為__________.13.已知中，為邊的中點，則等于．14.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是．三、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，已知,.求：(1)和的值；(2)的值.16.有編號為的10個零件，測量其直徑（單位：），得到下面數(shù)據(jù)：編號直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.(1)從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；(2)從一等品零件中，隨機抽取2個.(i)用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；(ii)求這個零件直徑相等的概率.17.如圖1，在直角梯形中，，且.現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.18.已知等差數(shù)列的前項和為，且；數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.19.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，短袖長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為.(i)求四邊形的面積的最大值；(ii)設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.20.設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線的斜率；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(3)已知函數(shù)有三個互不相同的零點，且，若對任意的恒成立，求的取值范圍.天津南開2018屆高三第五次月考參考答案一、選擇題1-5:CACBC6-8:AAB二、填空題9.10.11.12.13.314.三、解答題15.(1)由得.又，所以.由余弦定理，得.又，所以.解得或.因為，所以.(2)在中，.由正弦定理，得.因為，所以為銳角；因此.于是.16.(1)由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個.設(shè)“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件，則.(2)(1)一等品零件的編號為，從這6個一等品零件隨機抽取2個，所有可能的結(jié)果有：,,,,共有15種.(Ⅱ)“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件）的所有可能結(jié)果有：,共有6種.所以.17.(1)取中點，連接.因為是的中位線，所以,且.由已知,所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以.又因為平面，且平面，所以平面.(2)在正方形中，.又因為平面平面，且平面平面，所以平面，所以.在直角梯形中，,可得.在中，,.所以.所以.所以平面.(3)由(2)知，平面.又因為平面,所以平面平面.過點作的垂線交于點，則平面.連接，則為直線與平面所成角.在直角三角形中，，所以,因此.18.(1)記等差數(shù)列的公差為，依題意，得，結(jié)合，解得，所以數(shù)列的通項公式；因為，所以，兩式相減，得.又因為滿足上式，所以數(shù)列的通項公式.(2)由(1)可知，，則，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則，，以上兩式相減，得所以；又綜上數(shù)列的前項和19.(1)設(shè)橢圓的方程為，由已知，離心率，，得所以，橢圓的方程為.(2)(Ⅰ)由(1)可求得點的坐標(biāo)為,則.設(shè)，設(shè)直線的方程為，代入得.由，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得四邊形的面積故當(dāng).(Ⅱ)由題意知，直線的斜率，直線的斜率，則，由(1)知可得所以的值為常數(shù)0.20.(1)當(dāng)時，故，，.所以曲線在點處的切線的斜率為1.(2)，令，解得或.因為，所以.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：-0+0-極小值極大值所以在，內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù).函數(shù)在處取得極小值，且