1、一元二次方

2

0(a0)求根公式為2、一元二次方20(a0)根的判別式為2（1），方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2），方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。（3），方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。反之：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則；方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則。[韋達(dá)定理相關(guān)知識(shí)]1若元次程

2

0(a0)有個(gè)數(shù)和x，12x1

?12

。我們把這兩個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)稱韋達(dá)定理2果一元二次方x2px0兩個(gè)根和xx212

，?2

。3為根的一元二次方次項(xiàng)系數(shù)為x2xx?01214、在一元二次方

2

ca0)，有一根為0，

；有一根為1，a

；有一根

；若兩根互為倒數(shù),c

；若兩根互為相反數(shù)，b

。5、二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)式

bx程

2

0(a0)兩個(gè)x和x，那ax12

2

(．果1方bxa0)無(wú)根,則此二次三項(xiàng)ax不能分解.

22[基礎(chǔ)運(yùn)用]例1：已知方程3x。變式訓(xùn)練：

2

x2的一個(gè)根是1則另一個(gè)根是，1、已3x

一個(gè)根，則另一根的值分別是多少？2、方x

2

kx兩個(gè)根都是整數(shù)，的值是多少？例2：是方x12式的值：

2

的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各（1x12

（2xx12

11（3）x12

（4(1

2變式訓(xùn)練：1、已知關(guān)的方

2

有數(shù)根，求滿足下列條件k值：（1）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（2有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根。（3有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根。（4）兩個(gè)根都小于2。

2、已知關(guān)的方

2ax（1）求證：方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2何值時(shí)，方程有兩個(gè)正根。（3何值時(shí)，方程有兩異號(hào)根，且負(fù)根絕對(duì)值較大。（4何值時(shí)，方程到少有一根為零？選用例題：例3是多少？

2

a的兩根之比為1與例、已知關(guān)x的方

2

m2)x

2

兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)根的平方和比兩個(gè)根的積大16，值。

例5、若方xx有一個(gè)根相同，的值?；A(chǔ)訓(xùn)練：1．關(guān)的方

2

，如a那么根的情況是（）（A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）沒(méi)有實(shí)數(shù)根（D）不能確定2．,x是方2x兩根，的值是（）12（A）15（B）12（C）6（D）33．下列方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）（A）2y2+5=6y（B）x2

+5=25x（C）3x2－2x+2=0（D）3x2－26x+1=04．以方程x

2

＋2x－3＝0的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是（）（A）y2+5y－6=0（B）y2+5y＋6=0（C）y2－5y＋6=0（D）y2－6=05．如果x，x兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足x12

1

2

－2x＝1，x212

－2x＝1，2那么x·x于（）12（A）2（B）－2（C）1（D）－16.關(guān)于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0那么根的情況是（）（A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）沒(méi)有實(shí)數(shù)根（D）不能確定7.設(shè)x，x方程2x12

2

－6x＋3＝0的兩根，則x

1

2

＋x22

的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）38．如果一元二次方程x2＋4x＋k2

＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k＝9．如果關(guān)于方程

2

－(4k+1)x＋2k

2

－1＝0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是10x方程12

2

－7x＋4＝0的兩根x＋x＝，1212（x－x）2＝1211的方程(m2－2)x2－(m－2)x兩個(gè)根互為倒數(shù).二、能力訓(xùn)練：1、不解方程，判別下列方程根的情況：（1）x2

－x=5(2)9x

2

－62+2=0(3)x

2

－x+2=02、當(dāng)m=

時(shí)，方程x

2

+mx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m=

時(shí)，方程mx

2

+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；3、已知關(guān)于方程

－(m+3)x+m－7=0，若有一個(gè)根為0則，3這時(shí)方程的另一個(gè)根是；若兩根之和為－，m=，這時(shí)方程的5兩個(gè)根為.4、已知3－2是方程x

2

+mx+7=0的一個(gè)根，求另一個(gè)根及m的值。

21215、求證：方程(m2

+1)x

2

－2mx+(m

2

+4)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根。6、求作一個(gè)一元二次方程使它的兩根分別是－5和1+5。7、設(shè)x,x方程2x12

2

+4x－3=0的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值：xx(1)(x+1)(x+1)(2)+（3）x212xx112

+xx+2x12

18、如果x

2

－2(m+1)x+m

2

+5是一個(gè)完全平方式，則m=;9、方程2x(mx－4)=x2－6沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù);10知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等m=;11x的方程x2－6x+k=0的兩根是mnk值為;

12、設(shè)方程4x2－7x+3=0的兩根為x,x，不解方程，求下列各式的值12(1)x1

2

+x

2

2

(2)x－x1

2

（3）1

2

（4）xx1

2

2

1＋x2

113數(shù)ｓ分別滿足方程ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代數(shù)ｓｔ＋4ｓ＋1式的值。ｔ14實(shí)數(shù)2有兩個(gè)不相等的實(shí)根x2+2ax+11－(a2x2－a2－1)=0有無(wú)實(shí)根？215、求證：不為何實(shí)數(shù)，關(guān)x的式子(x－1)(x－2)－k2一次因式的積。

都可以分解成兩個(gè)

16、實(shí)數(shù)K在什么范圍取值時(shí)，方kxk實(shí)數(shù)正根？訓(xùn)練（一）1、不解方程，請(qǐng)判別下列方程根的情況；(1)2t

2

+3t－4=0,;(2)16x

2

+9=24x,;(3)5(u

2

+1)－7u=0,;2、若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是;3、一元二次方程x

2

+px+q=0兩個(gè)根分別是2+3和2－3p=,q=;4、已知方程3x2

－19x+m=0的一個(gè)根是1另一個(gè)根是;5、若方程x2+mx－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，那么的值是;6、m,n于x程x

2

-(2m-1)x+m

2

+1=0式m

n

=。7、已知關(guān)于x的方程x

2

－(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值;

8、如果α和β是方程2+3x－1=0兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別等于α+

11和β+;βα9、已知a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng)，且方2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：這個(gè)三角形是正三角形10.取什么實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式2x

2

－(4k+1)x+2k

2

－1可因式分解.11.已知關(guān)于X的一元二次方程ｍ2

ｘ2

－ｍ的兩實(shí)數(shù)根為αβ，11若ｓ＝＋，求ｓ的取值范圍。αβ訓(xùn)練（二）1、已知方程x

2

－3x+1=0的兩個(gè)根為α,β，則αβ=,αβ=;

2、如果關(guān)于x的方程x2與2－x有一個(gè)根相同，則m的值為;13、已知方程2x2－3x+k=0的兩根之差為2，則k=;24、若方程x

2

+(a2

－2)x－3=0的兩根是1和－，則a=;5、方程4x

2

－2(a-b)x－ab=0的根的判別式的值是;6、若關(guān)于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根這兩個(gè)根互為倒數(shù)么m的值為;7、已知p<0,q<0，則一元二次方程x

2

+px+q=0的根的情況是;8、以方程x

2

－3x－1=0的兩個(gè)根的平方為根的一元二次方程是;9、設(shè)x,x方程2x2－6x+3=0的兩個(gè)根，求下列各式的值：12(1)x2x+xx121

2

2

11(2)－xx1210．m取什么值時(shí)，方程2x2－(4m+1)x+2m2（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根；

x22x2211．設(shè)方程x根之比為1:2，根的判別式Δ=1，求p,q的值。12．是否存在實(shí)，使關(guān)x的方9x

2

kxk

2

的兩個(gè)實(shí),，12x3滿足＝，如果存在，試求出所有滿足條件值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明2理由。次系訓(xùn)閆1、如果方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩根是x12，那么x1+x2=，x1·x2=。2、已知x1、x2

是方程2x+3x－4=0的兩個(gè)根，

2222222222222222222222那么：x1+x2=；x1·x2=；x1x1+x2=；(x1+1)(x2+1)=；｜x1－x2｜=。

；3、以2和3為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為)是。4、如果關(guān)于x的一元二次方程x+2x+a=0的一個(gè)根是那么另一個(gè)根是，a的值為。5、如果關(guān)于x的方程x+6x+k=0的兩根差為2，那么k=。6、已知方程2x+mx－4=0兩根的絕對(duì)值相等，則=。7、一元二次方程px+qx+r=0(p≠0)的兩根為0和－1，則q∶p=。8、已知方程x－mx+2=0的兩根互為相反數(shù)，則=。9、已知關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x－(a+1)x+1=0兩根互為倒數(shù)，則a=。10知關(guān)于x的一元二次方程mx－4x－6=0的兩根為x1和x2，1+x2=－2m=，(x1+x2)

=。11、已知方程3x+x－1=0，要使方程兩根的平方和為

139

，那么常數(shù)項(xiàng)應(yīng)改

222222132222222222132222為。12二次方程的兩根之和為5為6程為。13、若α、β為實(shí)數(shù)且｜α+β－3｜+(2－α=0，則以α、β為根的一元二次方程為。(其中二次項(xiàng)系數(shù)為1)14知關(guān)于x的一元二次方程x－2(m－1)x+m=0。若方程的兩根互為倒數(shù)m=；若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則。15知方程x+4x－2m=0的一個(gè)根α比另一個(gè)根β小，則=；m=。16、已知關(guān)于x的方程x－3x+k=0的兩根立方和為0，則k=17、已知關(guān)x的方程x－3mx+2(m－1)=0的兩根為x12，且，則xx1m=。18、關(guān)于x的方程2x－3x+m=0，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根；當(dāng)m

時(shí)，方程有兩個(gè)正數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為0。19、若方程x－4x+m=0與x－x－2m=0有一個(gè)根相同，則m=。20作一個(gè)方程，使它的兩根分別是方+3x－2=0兩根的二倍所求的方程為。

222222222222222221、一元二次方程2x－3x+1=0的兩根與x－3x+2=0的兩根之間的關(guān)系是。22、已知方程5x+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及的值。23、已知2+3是x－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、證明：如果有理系數(shù)方x+px+q=0有一個(gè)根是形如A+B的無(wú)理數(shù)A均為有理數(shù))，那么另一個(gè)根必是A－B。25、不解方程，判斷下列方程根的符號(hào)，如果兩根異號(hào)，試確定是正根還是負(fù)根的絕對(duì)值大?

x0,(2)x

26知x1和x2是方程2x－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：x

3

1x2+x1x

3

227知x1和x2是方程2x－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：1x2x21228知x1和x2是方程2x－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各

(x1－x2)222x·x(x1－x2)222x·x+x·x662式的值：22229知x1和x2是方程2x－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：x1－x230知x1和x2是方程2x－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：231知x1和x2是方程2x－3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：5225121232、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是+和2－。33、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。34、造一個(gè)方程，使它的根是方－7x+2=0的根(1)大3倍(3)相反數(shù)；(4)倒數(shù)。

222222235、方程x+3x+m=0中的m是什么數(shù)值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足：個(gè)根比另一個(gè)根大2；(2)一個(gè)根是另一個(gè)根的3；(3)兩根差的平方是17。36知關(guān)于x的方程2x－(m－1)x+m+1=0的兩根滿足關(guān)系式x1－x2m的值及兩個(gè)根。37、α、β是關(guān)于x的方程4x－4mx+m+4m=0的兩個(gè)實(shí)根，并且滿足(

9，求m的值。100

2222222238、已知一元二次方程8x－(2m+1)x+m－7=0，根據(jù)下列條件，分別求出的值：(1)兩根互為倒數(shù)；(2)兩根互為相反數(shù)；(3)有一根為零；(4)有一根為1；(5)兩根的平方和為

。39、已知方程x+mx+4=0和x－(m－2)x－16=0有一個(gè)相同的根，求m值及這個(gè)相同的根。40、已知關(guān)于x的二次方程x－2(a－2)x+a－5=0有實(shí)數(shù)根，且兩根之積等于兩

2222244根之和的2倍，求a的值。41知方程x+bx+c=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，兩根之差等根的平方和等于29，求b、c的值。42、設(shè)：3a－6a－11=0，3b－6b－11=0且a≠b，求a－b的值。

2222222243、試確定使x+(a－b)x+a=0的根同時(shí)為整數(shù)的整數(shù)的值。44知一元二次方程(2k－3)x+4kx+2k－5=04k+1是腰長(zhǎng)為7的等腰三角形的底邊長(zhǎng)，求：當(dāng)k取何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根。45、已知：α、β是關(guān)于x的方程x+(m－2)x+1=0的兩根，求(1+mα)(1+mβ+β)的值。

2222222222222246、已知x1,x2是關(guān)于x的方程x+px+q=0的兩根，x1+1、x2+1是關(guān)于的方程x+qx+p=0的兩根，求常數(shù)p、q的值。47、已x12

是關(guān)于x的方程x+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根y12

是關(guān)于y的方程y+5my+7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1－y1=2,x－y2=2，求m、n的值。48、關(guān)于x的方程mx+(2m+3)x+1=0有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根，x+2(a+m)x+2am+6m－4=0有大于0且小于2的根。求a的整數(shù)值。

222222249的一元二次方程3x－(4m－1)x+m(m+2)=0的兩實(shí)根之和等于兩個(gè)實(shí)根的倒數(shù)和，求m的值。50、已知：α、β是關(guān)于x的二次方程：(m+2(m－4)x+m－4=0兩個(gè)不等實(shí)根。(1)若m為正整數(shù)時(shí)，求此方程兩個(gè)實(shí)根的平方和的值；(2)若α+β=6時(shí)，求m的值。

2222251知關(guān)于x的方程mx－nx+2=0兩根相等程x－4mx+3n=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍。求證：方程x－(k+n)x+(k－m)=0一定有實(shí)數(shù)根。52、關(guān)x的方x

2

1mxn4

2

=0，其m分別是一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)。(1)求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(2)若方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值是8，等腰三角形的面積是12，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。

22222222222222253、已知關(guān)于x的一元二次方程x+2x+p=0有兩個(gè)實(shí)根x1和x2(x1≠x)，在數(shù)軸上，表示x2的點(diǎn)在表示x1的點(diǎn)的右邊，且相距，求p的值。54知關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+c=0的兩根為α、β，且兩個(gè)關(guān)方程x+(α+1)x+β=0與x+(β+1)x+α=0有唯一的公共根系式。55、如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x+2(m+3)x+m+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，那么(α－1)+(β－1)的最小值是多少?

2222222256、已知方程2x－5mx+3n=0的兩根之比為2，方程x－2nx+8m=0的兩根相等(mn≠0)。求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，方程mx+(n+k－1)x+k+1=0恒有實(shí)數(shù)根。57、(1)方程x2－3x+m=0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是。(2)若關(guān)于y的方程y－my+n=0的兩個(gè)根中只有一個(gè)根為0，那么，n應(yīng)滿足。

2222222258、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積x+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積3x－2x－1=0；60、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積－2x+3=0；61、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積2x+5x=0。

222x2+x1x2222x2+x1x23362、已知關(guān)于x的方程2x+5x=m的一個(gè)根是－2，求它的另一個(gè)根及m值。63、已知關(guān)于x的方程3x－1=tx的一個(gè)根是－2，求它的另一個(gè)根及的值。64、x12是方程3x－2x－2=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：(1)(x1－4)(x2－4)；(2)x1

3443

；

11x3x

；(4)x1+x2。

2222265、設(shè)x1，x2是方程2x－4x+1=0的兩個(gè)根，求｜x1－x2｜的值。66、已知方程x+mx+12=0的兩實(shí)根是x1和x2方程x－mx+n=0的兩實(shí)根是x1+7和x2+7，求m和n的值。67、以2，－3為根的一元二次方程是

22()+x+6=0+x－6=0－x+6=0－x－6=068、以3，－1為根，且二次項(xiàng)系數(shù)為3的一元二次方程是()－2x+3=0+2x－3=0－6x－9=0+6x－9=069、兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為2的一元二次方程可能是()+2x－3=0－2x+3=0+2x+3=0－2x－3=070、以－3，－2為根的一元二次方程為，以

3，為根的一元二次方程為，22以5，－5為根的一元二次方程為，1以4，為根的一元二次方程為。471、已知兩數(shù)之和為－7，兩數(shù)之積為12，求這兩個(gè)數(shù)。72、已知方2x－3=0的兩個(gè)根分別為a，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是：

222222(1)a++1(2)

2a,a73個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的和為cm，面積為cm這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)。74、在解方x+px+q=0，小張看錯(cuò)p，解得方程的根1與－3；小王看錯(cuò)了q，解得方程的根為4與－2。這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么75、關(guān)于x的方程x－ax－3=0有一個(gè)根是1，則a=，另一個(gè)根是。

223322332276、若分式的值為0，則x的值為()A.－1C.或3D.－3或177、若關(guān)于y的一元二次方程y+my+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則()=0且n≥0=0且m≥=0且n≤0=0且m≤078、已知x1，x2是方程2x+3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：(1)(2x1－3)(2x2－3)；(2)x1x2+x1x2。79、已知a=1－a，b=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。

22111122221111222280、如果x=1是方程2x－3mx+1=0的一個(gè)根，則m=，另一個(gè)根為