2019-2020學年四川省綿陽市高一第二學期期末數(shù)學試卷一、選擇題（共12小題）1．若a＞b，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)3＞b3B．a(chǎn)2＞b2C．a(chǎn)2＜ab2．在△ABC中，BC＝5，AC＝4，C＝60°，則△ABC的面積為（）A．5B．5C．10D．10.D．3．在等差數(shù)列{a}中，若a＝5，則數(shù)列{a}的前7項和S＝（）n4n7A．15B．20C．35D．454．已知平面α，β，γ和直線l，下列A．若α⊥β，β∥γ，則α⊥γB．若α⊥β，則存在l?α，使得l∥βC．若α⊥γ，α∩β＝l，則l⊥γD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β命題中錯誤的是（）β⊥γ，5．若等比數(shù)列{a}的前n項和為S，且S＝10，S＝30，則S＝（）nn51020A．80B．120C．150D．1806．若實數(shù)x，y滿足，則z＝x﹣2y的最小值是（）A．3B．﹣3C．1D．﹣57．在△ABC中，點P滿足＝3，則＝（）A．﹣B．C．D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（）A．B．9πC．D．10π9．在△ABC中，投影為（）＝0，點P為BC的中點，且||＝||，則向量在向量上的A．||B．||C．﹣||D．||10．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，四棱錐P﹣ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點，則直線CE與平面PAD所成角的正弦值為（）A．B．C．D．11．在邊長為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．將△AED，△CFD，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，C，B三點重合于A′，則三棱錐A′﹣EFD的外接球表面積為（）A．3πB．6πC．12πD．24π12．如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線與AB，AD所在直線分別交于點M，N，若＝m，＝n（m＞0，n＞0），則的最大值為（）A．B．1C．2D．2二、填空題（共4小題）.13．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，1），若⊥，則實數(shù)x＝14．若關(guān)于x的不等式ax2﹣2x+3＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，則實數(shù)a＝．15．如圖，輪船A和輪船B同時離開海港勻速直線航行，其中輪船A的航行速度是vnmile/h，輪船B的航行速度比輪船A快10nmile/h．已知航行l(wèi)h后，測得兩船之間的距離為（v+20）nmile，如果兩輪艘船的航行方向之間的夾角為鈍角，則v的取值范圍是．16．數(shù)列{a}的前n項和為S，且滿足2S＝3a﹣3（n∈N*），若（4λ﹣1）a＞9（n﹣3）nnnnn對一切n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是．三、解答題：共40分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知S為等差數(shù)列{a}的前n項和，a＝4a+a，S＝16．nn5134（1）求{a}的通項公式；n（2）求數(shù)列{}的前n項和T．n18．如圖，在四棱柱ABCD﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AA平面ABCD，AD＝BD＝111113，AB＝3，E是CD的中點．1（1）證明：AD∥平面BDE；1（2）若AA＝4，求三棱錐D﹣BDE的體積．1119．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若5（a2﹣b2）＝3bc，5sinC＝8sinB，∠BAC的平分線交BC于D．（1）求∠BAC；（2）若AC＝5，求AD．20．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣（a+2）x+4．（a∈R）（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式f（x）≤﹣2a+4；（Ⅱ）若對任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求a的取值范圍．參考答案一、選擇題（共12小題）1．若a＞b，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)3＞b3B．a(chǎn)2＞b2C．a(chǎn)2＜ab.D．【分析】取a＝1，b＝﹣2，即可判斷出BCD的正誤．另一方面：考察函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，可得A的正誤．解：取a＝1，b＝﹣2，則a2＜b2，a2＞ab，＞．∴BCD不正確．另一方面：考察函數(shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，∵a＞b，∴a3＞b3．因此A正確．故選：A．2．在△ABC中，BC＝5，AC＝4，C＝60°，則△ABC的面積為（）A．5B．5C．10D．10【分析】由已知利用三角形的面積公式即可求解．解：∵BC＝5，AC＝4，C＝60°，∴S＝BC?AC?sinC＝△ABC＝5．故選：B．3．在等差數(shù)列{a}中，若a＝5，則數(shù)列{a}的前7項和S＝（）n4n7A．15B．20C．35D．45【分析】先利用等差數(shù)列的前n項和公式7項之和用第四項來表示，將a的值代入即可求出解：因為a＝5，表示出S，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后把前7值．44所以S＝（a+a）＝7a＝35．7174故選：C．4．已知平面α，β，γ和直線l，下列命題中錯誤的是（）A．若α⊥β，β∥γ，則α⊥γB．若α⊥β，則存在l?α，使得l∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，則l⊥γD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理即可判斷A正確；根據(jù)線面平行的判定定理可知B正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知C正確；根據(jù)線面垂直的判定定理可知D錯誤．解：對于A，因為α⊥β，所以存在直線a?α，使得a⊥β，又β∥γ，所以a⊥γ，即有α⊥γ，A正確；對于B，α⊥β，設(shè)α∩β＝m，則在平面α內(nèi)存在不同于直線m的直線l，滿足l∥m，根據(jù)線面平行的判定定理可知，l∥β，B正確；對于C，過直線l上任意一點作直線m⊥γ，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，m既在平面α又在平面β內(nèi)，所以直線l與直線m重合，即有l(wèi)⊥γ，C正確；對于D，若α⊥β，l∥α，則l⊥β不一定成立，D錯誤．故選：D．5．若等比數(shù)列{a}的前n項和為S，且S＝10，S＝30，則S＝（）nn51020A．80B．120C．150D．180【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可直接求解．解：∵等比數(shù)列{a}中S＝10，S＝30，n510∴q≠1，，解可得，＝﹣10，q5＝2，則S＝20＝﹣10×（1﹣16）＝150．故選：C．6．若實數(shù)x，y滿足A．3，則z＝x﹣2y的最小值是（）B．﹣3C．1D．﹣5【分析】畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值．解：作出實數(shù)x，y滿足，表示的平面區(qū)域，如圖所示．由z＝x﹣2y可得y＝x﹣z，則﹣z表示直線y＝x﹣z在y軸上的截距，截距越大，z越?。髦本€x﹣2y＝0，然后把該直線向可行域平移，當直線經(jīng)過點A時，﹣z最大，z最?。煽傻肁（1，0），此時z＝1，故選：C．7．在△ABC中，點P滿足＝3，則＝（）A．﹣B．C．D．【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示即可直接求解．解：∵＝3，∴＝＝＝＝，則＝．故選：B．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為（）A．B．9πC．D．10π【分析】幾何體為圓柱與球的組合體．表面共有5部分組成．解：由三視圖可知幾何體為圓柱與球的組合體．圓柱的底面半徑為1，高為3，球的半徑為1．所以幾何體的表面積為π×12+2π×1×3+++＝9π．故選：B．9．在△ABC中，＝0，點P為BC的中點，且||＝||，則向量在向量上的投影為（）A．||B．||C．﹣||D．||【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形得出△ABC是∠B＝60°直角三角形，利用投影的定義計算即可．解：如圖所示，△ABC中，＝0，所以⊥，所以△ABC是直角三角形；又點P為BC的中點，所以||＝||＝BC，又||＝||，所以△PAB是等邊三角形；所以向量在向量上的投影為||cosB＝||×cos60°＝||．故選：D．10．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的圖，四棱錐P﹣ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點，則直線CE與平面PAD所成角的正弦值為（）四棱錐稱為“陽馬”．如A．B．C．D．【分析】由已知證明CD⊥平面PAD，連接ED，可得∠CED為CE與底面PAD所成角，設(shè)PA＝AB＝AD＝2a，然后求解三角形可得直線CE與平面PAD所成角的正弦值．解：如圖，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，則平面PAD⊥平面ABCD，∵底面ABCD為矩形，∴CD⊥AD，而平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD．連接ED，則ED為CE在平面PAD上的射影，則∠CED為CE與底面PAD所成角，設(shè)PA＝AB＝AD＝2a，則AE＝a，ED＝，EC＝∴sin．．即直線CE與平面PAD所成角的正弦值為．故選：A．11．在邊長為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．將△AED，△CFD，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，C，B三點重合于A′，則三棱錐A′﹣EFD的外接球表面積為（）A．3πB．6πC．12πD．24π【分析】以A′D，A′E，A′F為棱構(gòu)造長方體，則長方體的外接球就是三棱錐A′﹣EFD的外接球，由長方體外接球性質(zhì)計算可得結(jié)論．解：在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均為直角，∴在三棱錐A′﹣DEF中，A′D，A′E，A′F三條線段兩兩垂直，以A′D，A′E，A′F為棱構(gòu)造長方體，則長方體的外接球就是三棱錐A′﹣EFD的外接球，正方形ABCD邊長為4，由題意A′E＝A′F＝2，A′D＝4，∴三棱錐A′﹣EFD外接球的半徑r＝＝，∴三棱錐A′﹣EFD外接球的表面積為S＝4π×（）＝24π．2故選：D．12．如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線與AB，AD所在直線分別交于點M，N，若＝m，＝n（m＞0，n＞0），則的最大值為（）A．B．1C．2D．2【分析】由已知可用，表示，然后結(jié)合平面向量基本定理可得m+＝2，然后利用基本不等式即可求解．解：由題意可得，＝＝，＝，m＞0，n＞0，因為M，O，N三點共線，所以＝1即m+＝2即，所以＝m（2﹣m）＝1，當且僅當m＝2﹣m即m＝1時取等號，故選：B．二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。把答案直接填在答題卡中的橫線上。13．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，1），若⊥，則實數(shù)x＝2【分析】根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出實數(shù)x的值．解：∵；∴；∴x＝2．故答案為：2．14．若關(guān)于x的不等式ax2﹣2x+3＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，則實數(shù)a＝﹣1．【分析】根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值．解：關(guān)于x的不等式ax2﹣2x+3＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，所以關(guān)于x的方程ax2﹣2x+3＝0的實數(shù)根為﹣3和1，由根與系數(shù)的關(guān)系知，＝﹣3×1，解得a＝﹣1．故答案為：﹣1．15．如圖，輪船A和輪船B同時離開海港勻速直線航行，其中輪船A的航行速度是vnmile/h，輪船B的航行速度比輪船A快10nmile/h．已知航行l(wèi)h后，測得兩船之間的距離為（v+20）nmile，如果兩艘輪船的鈍角，則v的取值范圍是（10，30）．航行方向之間的夾角為【分析】兩艘輪船的航行方向之間的夾角為鈍角，結(jié)合余弦定理即可得到關(guān)于v的一個不等式，在三角形OAB中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊再建立一個不等式，解出這兩個不等式再取交集即為答案．解：設(shè)海港為O點，∵∠AOB為鈍角，∴，由題意可得：OA＝vnmile，OB＝（v+10）nmile，AB＝（v+20）nmile，∴v2+（v+10）﹣（2v+20）＜20，即v2﹣20v﹣300＜0，解得﹣10＜v＜30，又∵v＞0，且v+v+10＞v+20?v＞10，所以v∈（10，30），故答案為：（10，30）．16．數(shù)列{a}的前n項和為S，且滿足2S＝3a﹣3（n∈N*），若（4λ﹣1）a＞9（n﹣3）nnnnn對一切n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是λ≥．【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的前n項公式分析可得數(shù)列{a}的通項公式，進而變形可得4nλ﹣1＞對一切n∈N*恒成立，分情況討論，據(jù)此可得答案．解：根據(jù)題意，2S＝3a﹣3（n∈N*），nn∴n≥2時，可得：2S＝3a﹣3，n﹣1n﹣1相減可得：2a＝3a﹣3a，nnn﹣1∴a＝3a，nn﹣1n＝1時，2a＝3a﹣3，解得a＝3．111∴數(shù)列{a}是等比數(shù)列，首項與公比都為3，n∴a＝3n．n代入（4λ﹣1）a＞9（n﹣3），化為：4λ﹣1＞，n1≤n≤3時，≤0，可得：4λ﹣1＞0，解得λ＞．n＝4時，4λ﹣1＞，可得：λ＞．n≥5時，令b＝，則＝＝（1+）＜1，n即有b＜b，nn﹣1∴4λ﹣1≥b＝＝，4解得λ≥．∵（4λ﹣1）a＞9（n﹣3）對一切n∈N*恒成立，n則實數(shù)λ的取值范圍是λ≥．故答案為：λ≥．三、解答題：共40分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知S為等差數(shù)列{a}的前n項和，a＝4a+a，S＝16．nn5134（1）求{a}的通項公式；n（2）求數(shù)列{}的前n項和T．n【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，由已知列關(guān)于首項與公差的方程組，求得首n項與公差，則通項公式可求；（2）把{a}的通項公式代入n，再由裂項相消法求數(shù)列{}的前n項和T．n解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，n由a＝4a+a，S＝16，得，4解得．a(chǎn)＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；n（2）∵．∴T＝n＝＝．18．如圖，在四棱柱ABCD﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AA平面ABCD，AD＝BD＝111113，AB＝3，E是CD的中點．1（1）證明：AD∥平面BDE；1（2）若AA＝4，求三棱錐D﹣BDE的體積．11【分析】（1）連結(jié)AC，交BD于點O，連結(jié)OE，推導出OE∥AD，由此能證明AD∥平面11BDE．（2）三棱錐D﹣BDE的體積為1，由此能求出結(jié)果．解：（1）證明：連結(jié)AC，交BD于點O，連結(jié)OE，∵底面ABCD是平行四邊形，∴O是AC中點，∵E是CD的中點，∴OE∥AD，11∵AD?平面BDE，OE?平面BDE，1∴AD∥平面BDE．1（2）解：∵在四棱柱ABCD﹣ABCD中，1111底面ABCD是平行四邊形，AA平面ABCD，1∴DD⊥平面ABCD，∴DD⊥DC，11∵AD＝BD＝3，AB＝3，E是CD的中點．1∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，∴B到平面DDE的距離d＝＝，1∵AA＝4，1∴三棱錐D﹣BDE的體積為：1＝＝＝3．19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若5（a2﹣b2）＝3bc，5sinC＝8sinB，∠BAC的平分線交BC于D．（1）求∠BAC；（2）若AC＝5，求AD．【分析】（1）由正弦定理和余弦定理，求出cos∠BAC和∠BAC的值；（2）利用余弦定理求出cosB，再利用同角的三角函數(shù)值和角平分線性質(zhì)，以及正弦定理，即可求得AD的值．解：（1）由5sinC＝8sinB，結(jié)合正弦定理可得5c＝8b，①5（a﹣b2）＝3bc，②又因為2所以，①②聯(lián)立可得5a＝7b，c＝，＝＝，所以，