《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》同步練習(xí)一、選擇題1．如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、O中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量eq\o(OA,\s\up6(→))外，與向量eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量共有()A．6個(gè) B．7個(gè)C．8個(gè) D．9個(gè)[答案]D[解析]與向量eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，故共有9個(gè)．2．在下列判斷中，正確的是()①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤[答案]D[解析]由定義知①正確，②由于兩個(gè)零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個(gè)具體方向，故不正確．顯然，③、⑤正確，④不正確，所以答案是D.3．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為()A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形[答案]C[解析]∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四邊形為菱形．4．已知圓心為O的⊙O上三點(diǎn)A、B、C，則向量eq\o(BO,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(OA,\s\up6(→))是()A．有相同起點(diǎn)的相等向量B．長(zhǎng)度為1的向量C．模相等的向量D．相等的向量[答案]C[解析]圓的半徑r＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|不一定為1，故選C.5．下列關(guān)于向量的結(jié)論：(1)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；(2)向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；(3)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.其中正確的序號(hào)為()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(4) D．(3)[答案]D[解析](1)中只知|a|＝|b|，a與b的方向不知，故(1)不對(duì)；不要讓實(shí)數(shù)的性質(zhì)|x|＝a，則x＝±a，錯(cuò)誤遷移到向量中來(lái)．(2)沒(méi)告訴是非零向量，故(2)不對(duì)，因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾模?3)正確．對(duì)于任一個(gè)向量，只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的，因此相等向量可以起點(diǎn)不同．(4)向量與數(shù)不同，向量不能比較大?。?．四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點(diǎn)M，則下列關(guān)系不一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))共線\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))共線[答案]C[解析]∵三個(gè)四邊形都是菱形，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，AB∥CD∥FH，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線，又三點(diǎn)D、C、E共線，∴eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))共線，故A、B、D都正確．當(dāng)ABCD與其它兩個(gè)菱形不共面時(shí)，BD與EH異面．7．下列命題正確的是()A．向量a與b共線，向量b與c共線，則向量a與c共線B．向量a與b不共線，向量b與c不共線，則向量a與c不共線C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)一定共線D．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量[答案]D[解析]當(dāng)b＝0時(shí)，A不對(duì)；如圖a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))，b與a，b與c均不共線，但a與c共線，∴B錯(cuò)．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，但四點(diǎn)A、B、C、D不共線，∴C錯(cuò)；若a與b有一個(gè)為零向量，則a與b一定共線，∴a，b不共線時(shí)，一定有a與b都是非零向量，故D正確．8．下列說(shuō)法正確的是()①向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是平行向量，則A、B、C、D四點(diǎn)一定不在同一直線上②向量a與b平行，且|a|＝|b|≠0，則a＋b＝0或a－b＝0③向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等④單位向量都相等A．①③ B．②④C．①④ D．②③[答案]D[解析]對(duì)于①，向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在直線可以是重合的，故①錯(cuò)．對(duì)于②，由于|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a與b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.對(duì)于③，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，但長(zhǎng)度相等．對(duì)于④，單位向量不僅僅長(zhǎng)度為1，還有方向，而向量相等需要長(zhǎng)度相等而且方向相同．選D.二、填空題9．如圖ABCD是菱形，則在向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))、eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→))中，相等的有________對(duì)．[答案]2[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).其余不等．10．給出下列各命題：(1)零向量沒(méi)有方向；(2)若|a|＝|b|，則a＝b；(3)單位向量都相等；(4)向量就是有向線段；(5)兩相等向量若其起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；(6)若a＝b，b＝c，則a＝c；(7)若a∥b，b∥c，則a∥c；(8)若四邊形ABCD是平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).其中正確命題的序號(hào)是________．[答案](5)(6)[解析](1)該命題不正確，零向量不是沒(méi)有方向，只是方向不定；(2)該命題不正確，|a|＝|b|只是說(shuō)明這兩向量的模相等，但其方向未必相同；(3)該命題不正確，單位向量只是模為單位長(zhǎng)度1，而對(duì)方向沒(méi)要求；(4)該命題不正確，有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來(lái)；(5)該命題正確，因兩相等向量的模相等，方向相同，故當(dāng)它們的起點(diǎn)相同時(shí)，其終點(diǎn)必重合；(6)該命題正確．由向量相等的定義知，a與b的模相等，b與c的模相等，從而a與c的模相等；又a與b的方向相同，b與c的方向相同，從而a與c的方向也必相同，故a＝c；(7)該命題不正確．因若b＝0，則對(duì)兩不共線的向量a與c，也有a∥0,0∥c，但a∥\c；(8)該命題不正確．如圖所示，顯然有eq\o(AB,\s\up6(→))≠eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))≠eq\o(DA,\s\up6(→)).11．已知A、B、C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，與eq\o(BC,\s\up6(→))是共線向量，則m＝________.[答案]0[解析]∵A、B、C不共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))不共線，又∵m與eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))都共線，∴m＝0.三、解答題12．如圖所示，點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED，OCFB都是正方形．在圖中所示的向量中：(1)分別寫(xiě)出與eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫(xiě)出與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量；(3)寫(xiě)出與eq\o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))；(2)與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量為：eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))；(3)|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|；(4)不相等．13．如圖所示，四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N、M是AD、BC上的點(diǎn)，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→)).求證：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB.又∵eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相同，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).同理可證：四邊形CNAM是平行四邊形，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→)).∵|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NA,\s\up6(→))|，∴|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|，DN∥MB，即eq\o(DN,\s\up6(→))與eq\o(MB,\s\up6(→))的模相等且方向相同．∴eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).14．如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：(1)與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量共有幾個(gè)；(2)與eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模為eq\r(2)的向量共有幾個(gè)？(3)與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有幾個(gè)？[分析]非零向量平行(共線)包括兩種情況：一種是方向相同，另一種是方向相反．[解析](1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量共有5個(gè)(不包括eq\o(AB,\s\up6(→))本身)．(2)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模為eq\r(2)的向量共有24個(gè)．(3)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有2個(gè)．15．如圖所示，已知?ABCD，?AOBE，?ACFB，?ACGD，?ACDH，點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.(1)寫(xiě)出圖中與a相等的向量；(2)寫(xiě)出圖中與b相等的向量；(3)寫(xiě)出圖中與c相等的向量．[解析](1)在?OAEB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＝a；在?ABCD中，eq\o(CO,\s\up6(→