第8頁(yè)共8頁(yè)高一數(shù)?學(xué)函數(shù)?知識(shí)點(diǎn)?總結(jié)?映射、?函數(shù)、?反函數(shù)?1、?對(duì)應(yīng)、?映射、?函數(shù)三?個(gè)概念?既有共?性又有?區(qū)別，?映射是?一種特?殊的對(duì)?應(yīng)，而?函數(shù)又?是一種?特殊的?映射.?2、?對(duì)于函?數(shù)的概?念，應(yīng)?注意如?下幾點(diǎn)?：（?1）掌?握構(gòu)成?函數(shù)的?三要素?，會(huì)判?斷兩個(gè)?函數(shù)是?否為同?一函數(shù)?.（?2）掌?握三種?表示法?——列?表法、?解析法?、圖象?法，能?根實(shí)際?問(wèn)題尋?求變量?間的函?數(shù)關(guān)系?式，特?別是會(huì)?求分段?函數(shù)的?解析式?.（?3）如?果y=?f（u?），u?=g（?x），?那么y?=f[?g（x?）]叫?做f和?g的復(fù)?合函數(shù)?，其中?g（x?）為內(nèi)?函數(shù)，?f（u?）為外?函數(shù).?3、?求函數(shù)?y=f?（x）?的反函?數(shù)的一?般步驟?：（?1）確?定原函?數(shù)的值?域，也?就是反?函數(shù)的?定義域?;（?2）由?y=f?（x）?的解析?式求出?x=f?-1（?y）;?（3?）將x?，y對(duì)?換，得?反函數(shù)?的習(xí)慣?表達(dá)式?y=f?-1（?x），?并注明?定義域?.注?意①：?對(duì)于分?段函數(shù)?的反函?數(shù)，先?分別求?出在各?段上的?反函數(shù)?，然后?再合并?到一起?.②?熟悉的?應(yīng)用，?求f-?1（x?0）的?值，合?理利用?這個(gè)結(jié)?論，可?以避免?求反函?數(shù)的過(guò)?程，從?而簡(jiǎn)化?運(yùn)算.?高一?數(shù)學(xué)函?數(shù)知識(shí)?點(diǎn)總結(jié)?（二）?函數(shù)?的解析?式與定?義域?1、函?數(shù)及其?定義域?是不可?分割的?整體，?沒(méi)有定?義域的?函數(shù)是?不存在?的，因?此，要?正確地?寫(xiě)出函?數(shù)的解?析式，?必須是?在求出?變量間?的對(duì)應(yīng)?法則的?同時(shí)，?求出函?數(shù)的定?義域.?求函數(shù)?的定義?域一般?有三種?類型：?（1?）有時(shí)?一個(gè)函?數(shù)來(lái)自?于一個(gè)?實(shí)際問(wèn)?題，這?時(shí)自變?量x有?實(shí)際意?義，求?定義域?要結(jié)合?實(shí)際意?義考慮?;（?2）已?知一個(gè)?函數(shù)的?解析式?求其定?義域，?只要使?解析式?有意義?即可.?如：?①分式?的分母?不得為?零;?②偶次?方根的?被開(kāi)方?數(shù)不小?于零;?③對(duì)?數(shù)函數(shù)?的真數(shù)?必須大?于零;?④指?數(shù)函數(shù)?和對(duì)數(shù)?函數(shù)的?底數(shù)必?須大于?零且不?等于1?;⑤?三角函?數(shù)中的?正切函?數(shù)y=?tan?x（x?∈R，?且k∈?Z），?余切函?數(shù)y=?cot?x（x?∈R，?x≠k?π，k?∈Z）?等.?應(yīng)注意?，一個(gè)?函數(shù)的?解析式?由幾部?分組成?時(shí)，定?義域?yàn)?各部分?有意義?的自變?量取值?的公共?部分（?即交集?）.?（3）?已知一?個(gè)函數(shù)?的定義?域，求?另一個(gè)?函數(shù)的?定義域?，主要?考慮定?義域的?深刻含?義即可?.已?知f（?x）的?定義域?是[a?，b]?，求f?[g（?x）]?的定義?域是指?滿足a?≤g（?x）≤?b的x?的取值?范圍，?而已知?f[g?（x）?]的定?義域[?a，b?]指的?是x∈?[a，?b]，?此時(shí)f?（x）?的定義?域，即?g（x?）的值?域.?2、求?函數(shù)的?解析式?一般有?四種情?況（?1）根?據(jù)某實(shí)?際問(wèn)題?需建立?一種函?數(shù)關(guān)系?時(shí)，必?須引入?合適的?變量，?根據(jù)數(shù)?學(xué)的有?關(guān)知識(shí)?尋求函?數(shù)的解?析式.?（2?）有時(shí)?題設(shè)給?出函數(shù)?特征，?求函數(shù)?的解析?式，可?采用待?定系數(shù)?法.比?如函數(shù)?是一次?函數(shù)，?可設(shè)f?（x）?=ax?+b（?a≠0?），其?中a，?b為待?定系數(shù)?，根據(jù)?題設(shè)條?件，列?出方程?組，求?出a，?b即可?.（?3）若?題設(shè)給?出復(fù)合?函數(shù)f?[g（?x）]?的表達(dá)?式時(shí)，?可用換?元法求?函數(shù)f?（x）?的表達(dá)?式，這?時(shí)必須?求出g?（x）?的值域?，這相?當(dāng)于求?函數(shù)的?定義域?.（?4）若?已知f?（x）?滿足某?個(gè)等式?，這個(gè)?等式除?f（x?）是未?知量外?，還出?現(xiàn)其他?未知量?（如f?（-x?），等?），必?須根據(jù)?已知等?式，再?構(gòu)造其?他等式?組成方?程組，?利用解?方程組?法求出?f（x?）的表?達(dá)式.?高一?數(shù)學(xué)函?數(shù)知識(shí)?點(diǎn)總結(jié)?（三）?函數(shù)?的值域?與最值?（1?）直接?法：亦?稱觀察?法，對(duì)?于結(jié)構(gòu)?較為簡(jiǎn)?單的函?數(shù)，可?由函數(shù)?的解析?式應(yīng)用?不等式?的性質(zhì)?，直接?觀察得?出函數(shù)?的值域?.（?2）換?元法：?運(yùn)用代?數(shù)式或?三角換?元將所?給的復(fù)?雜函數(shù)?轉(zhuǎn)化成?另一種?簡(jiǎn)單函?數(shù)再求?值域，?若函數(shù)?解析式?中含有?根式，?當(dāng)根式?里一次?式時(shí)用?代數(shù)換?元，當(dāng)?根式里?是二次?式時(shí)，?用三角?換元.?（3?）反函?數(shù)法：?利用函?數(shù)f（?x）與?其反函?數(shù)f-?1（x?）的定?義域和?值域間?的關(guān)系?，通過(guò)?求反函?數(shù)的定?義域而?得到原?函數(shù)的?值域，?形如（?a≠0?）的函?數(shù)值域?可采用?此法求?得.?（4）?配方法?：對(duì)于?二次函?數(shù)或二?次函數(shù)?有關(guān)的?函數(shù)的?值域問(wèn)?題可考?慮用配?方法.?（5?）不等?式法求?值域：?利用基?本不等?式a+?b≥[?a，b?∈（0?，+∞?）]可?以求某?些函數(shù)?的值域?，不過(guò)?應(yīng)注意?條件“?一正二?定三相?等”有?時(shí)需用?到平方?等技巧?.（?6）判?別式法?：把y?=f（?x）變?形為關(guān)?于x的?一元二?次方程?，利用?“△≥?0”求?值域.?其題型?特征是?解析式?中含有?根式或?分式.?（7?）利用?函數(shù)的?單調(diào)性?求值域?：當(dāng)能?確定函?數(shù)在其?定義域?上（或?某個(gè)定?義域的?子集上?）的單?調(diào)性，?可采用?單調(diào)性?法求出?函數(shù)的?值域.?（8?）數(shù)形?結(jié)合法?求函數(shù)?的值域?：利用?函數(shù)所?表示的?幾何意?義，借?助于幾?何方法?或圖象?，求出?函數(shù)的?值域，?即以數(shù)?形結(jié)合?求函數(shù)?的值域?.2?、求函?數(shù)的最?值與值?域的區(qū)?別和聯(lián)?系求?函數(shù)最?值的常?用方法?和求函?數(shù)值域?的方法?基本上?是相同?的，事?實(shí)上，?如果在?函數(shù)的?值域中?存在一?個(gè)最小?（大）?數(shù)，這?個(gè)數(shù)就?是函數(shù)?的最小?（大）?值.因?此求函?數(shù)的最?值與值?域，其?實(shí)質(zhì)是?相同的?，只是?提問(wèn)的?角度不?同，因?而答題?的方式?就有所?相異.?如函?數(shù)的值?域是（?0，1?6]，?最大值?是16?，無(wú)最?小值.?再如函?數(shù)的值?域是（?-∞，?-2]?∪[2?，+∞?），但?此函數(shù)?無(wú)最大?值和最?小值，?只有在?改變函?數(shù)定義?域后，?如x>?0時(shí)，?函數(shù)的?最小值?為2.?可見(jiàn)定?義域?qū)?函數(shù)的?值域或?最值的?影響.?3、?函數(shù)的?最值在?實(shí)際問(wèn)?題中的?應(yīng)用?函數(shù)的?最值的?應(yīng)用主?要體現(xiàn)?在用函?數(shù)知識(shí)?求解實(shí)?際問(wèn)題?上，從?文字表?述上常?常表現(xiàn)?為“工?程造價(jià)?最低”?，“利?潤(rùn)最大?”或“?面積（?體積）?最大（?最小）?”等諸?多現(xiàn)實(shí)?問(wèn)題上?，求解?時(shí)要特?別關(guān)注?實(shí)際意?義對(duì)自?變量的?制約，?以便能?正確求?得最值?.高?一數(shù)學(xué)?函數(shù)知?識(shí)點(diǎn)總?結(jié)（四?）函?數(shù)的奇?偶性?1、函?數(shù)的奇?偶性的?定義：?對(duì)于函?數(shù)f（?x），?如果對(duì)?于函數(shù)?定義域?內(nèi)的任?意一個(gè)?x，都?有f（?-x）?=-f?（x）?（或f?（-x?）=f?（x）?），那?么函數(shù)?f（x?）就叫?做奇函?數(shù)（或?偶函數(shù)?）.?正確理?解奇函?數(shù)和偶?函數(shù)的?定義，?要注意?兩點(diǎn)：?（1?）定義?域在數(shù)?軸上關(guān)?于原點(diǎn)?對(duì)稱是?函數(shù)f?（x）?為奇函?數(shù)或偶?函數(shù)的?必要不?充分條?件;（?2）f?（x）?=-f?（x）?或f（?-x）?=f（?x）是?定義域?上的恒?等式.?（奇偶?性是函?數(shù)定義?域上的?整體性?質(zhì)）.?2、?奇偶函?數(shù)的定?義是判?斷函數(shù)?奇偶性?的主要?依據(jù)。?為了便?于判斷?函數(shù)的?奇偶性?，有時(shí)?需要將?函數(shù)化?簡(jiǎn)或應(yīng)?用定義?的等價(jià)?形式：?注意?如下結(jié)?論的運(yùn)?用：?（2）?f（x?）、g?（x）?分別是?定義域?D1、?D2上?的奇函?數(shù)，那?么在D?1∩D?2上，?f（x?）+g?（x）?是奇函?數(shù)，f?（x）?·g（?x）是?偶函數(shù)?，類似?地有“?奇±奇?=奇”?“奇×?奇=偶?”，“?偶±偶?=偶”?“偶×?偶=偶?”“奇?×偶=?奇”;?（3?）奇偶?函數(shù)的?復(fù)合函?數(shù)的奇?偶性通?常是偶?函數(shù);?（4?）奇函?數(shù)的導(dǎo)?函數(shù)是?偶函數(shù)?，偶函?數(shù)的導(dǎo)?函數(shù)是?奇函數(shù)?。3?、有關(guān)?奇偶性?的幾個(gè)?性質(zhì)及?結(jié)論?（1）?一個(gè)函?數(shù)為奇?函數(shù)的?充要條?件是它?的圖象?關(guān)于原?點(diǎn)對(duì)稱?;一個(gè)?函數(shù)為?偶函數(shù)?的充要?條件是?它的圖?象關(guān)于?y軸對(duì)?稱.?（2）?如要函?數(shù)的定?義域關(guān)?于原點(diǎn)?對(duì)稱且?函數(shù)值?恒為零?，那么?它既是?奇函數(shù)?又是偶?函數(shù).?（3?）若奇?函數(shù)f?（x）?在x=?0處有?意義，?則f（?0）=?0成立?.（?4）若?f（x?）是具?有奇偶?性的區(qū)?間單調(diào)?函數(shù)，?則奇（?偶）函?數(shù)在正?負(fù)對(duì)稱?區(qū)間上?的單調(diào)?性是相?同（反?）的。?（5?）若f?（x）?的定義?域關(guān)于?原點(diǎn)對(duì)?稱，則?F（x?）=f?（x）?+f（?-x）?是偶函?數(shù)，G?（x）?=f（?x）-?f（-?x）是?奇函數(shù)?.（?6）奇?偶性的?推廣?函數(shù)y?=f（?x）對(duì)?定義域?內(nèi)的任?一x都?有f（?a+x?）=f?（a-?x），?則y=?f（x?）的圖?象關(guān)于?直線x?=a對(duì)?稱，即?y=f?（a+?x）為?偶函數(shù)?.函數(shù)?y=f?（x）?對(duì)定義?域內(nèi)的?任-x?都有f?（a+?x）=?-f（?a-x?），則?y=f?（x）?的圖象?關(guān)于點(diǎn)?（a，?0）成?中心對(duì)?稱圖形?，即y?=f（?a+x?）為奇?函數(shù).?高一?數(shù)學(xué)函?數(shù)知識(shí)?點(diǎn)總結(jié)?（五）?函數(shù)?的單調(diào)?性1?、單調(diào)?函數(shù)?對(duì)于函?數(shù)f（?x）定?義在某?區(qū)間[?a，b?]上任?意兩點(diǎn)?x1，?x2，?當(dāng)x1?>x2?時(shí)，都?有不等?式f（?x1）?>（或?<）f?（x2?）成立?，稱f?（x）?在[a?，b]?上單調(diào)?遞增（?或遞減?）;增?函數(shù)或?減函數(shù)?統(tǒng)稱為?單調(diào)函?數(shù).?對(duì)于函?數(shù)單調(diào)?性的定?義的理?解，要?注意以?下三點(diǎn)?：（?1）單?調(diào)性是?與“區(qū)?間”緊?密相關(guān)?的概念?.一個(gè)?函數(shù)在?不同的?區(qū)間上?可以有?不同的?單調(diào)性?.（?2）單?調(diào)性是?函數(shù)在?某一區(qū)?間上的?“整體?”性質(zhì)?，因此?定義中?的x1?，x2?具有任?意性，?不能用?特殊值?代替.?（3?）單調(diào)?區(qū)間是?定義域?的子集?，討論?單調(diào)性?必須在?定義域?范圍內(nèi)?.（?4）注?意定義?的兩種?等價(jià)形?式：?設(shè)x1?、x2?∈[a?，b]?，那么?：①?在[a?、b]?上是增?函數(shù);?在[?a、b?]上是?減函數(shù)?.②?在[a?、b]?上是增?函數(shù).?在[?a、b?]上是?減函數(shù)?.需?要指出?的是：?①的幾?何意義?是：增?（減）?函數(shù)圖?象上任?意兩點(diǎn)?（x1?，f（?x1）?）、（?x2，?f（x?2））?連線的?斜率都?大于（?或小于?）零.?（5?）由于?定義都?是充要?性命題?，因此?由f（?x）是?增（減?）函數(shù)?，且（?或x1?>x2?），這?說(shuō)明單?調(diào)性使?得自變?量間的?不等關(guān)?系和函?數(shù)值之?間的不?等關(guān)系?可以“?正逆互?推”.?5、?復(fù)合函?數(shù)y=?f[g?（x）?]的單?調(diào)性?若u=?g（x?）在區(qū)?間[a?，b]?上的單?調(diào)性，?與y=?f（u?）在[?g（a?），g?（b）?]（或?g（b?），g?（a）?）上的?單調(diào)性?相同，?則復(fù)合?函數(shù)y?=f[?g（x?）]在?[a，?b]上?單調(diào)遞?增;否?則，單?調(diào)遞減?.簡(jiǎn)稱?“同增?、異減?”.?在研究?函數(shù)的?單調(diào)性?時(shí)，常?需要先?將函數(shù)?化簡(jiǎn)，?轉(zhuǎn)化為?討論一?些熟知?函數(shù)的?單調(diào)性?。因此?，掌握?并熟記?一次函?數(shù)、二?次函數(shù)?、指數(shù)?函數(shù)、?對(duì)數(shù)函?數(shù)的單?調(diào)性，?將大大?縮短我?們的判?斷過(guò)程?.6?、證明