8平面圖形的幾何性質(zhì)

本章主要研究平面圖形的靜矩和慣性矩的概念及計(jì)算、組合圖形的靜矩和慣性矩。本章提要本章內(nèi)容8.1

靜矩8.2

慣性矩和慣性半徑8.3

組合圖形的慣性矩8.1靜矩任意截面的圖形如圖8.1所示，其面積為A,z軸和y軸為圖形平面內(nèi)的任意直角坐標(biāo)軸。8.1.1靜矩圖8.1

取微面積dA，dA的坐標(biāo)分別為y和z，則ydA、zdA分別稱(chēng)為微面積dA對(duì)于z軸和y軸的靜矩。它們對(duì)整個(gè)平面圖形面積的定積分分別稱(chēng)為整個(gè)平面圖形對(duì)于z軸和y軸的靜矩。在靜力學(xué)的第３章中，已經(jīng)導(dǎo)出平面圖形的形心坐標(biāo)公式8.1.2簡(jiǎn)單圖形靜矩的計(jì)算將公式(8.1)代入式(a)，平面圖形的形心坐標(biāo)公式可寫(xiě)為由此可得平面圖形的靜矩為

Sy=zCA

Sz=yCA

即平面圖形對(duì)某軸的靜矩等于其面積與形心坐標(biāo)（形心至該軸的距離）的乘積。【例8.1】試計(jì)算圖8.2所示矩形截面對(duì)z軸和y軸的靜矩?！窘狻烤匦谓孛娴拿娣eA=bh，其形心坐標(biāo)yC=h/2,

zC=b/2。由式（8.2）有

Sz=yCA=h/2·bh=bh2/2

Sy=zCA=b/2·bh=b2h/2圖8.2工程實(shí)際中，有些構(gòu)件的截面是由矩形、圓形等簡(jiǎn)單圖形組合成，稱(chēng)為組合圖形。根據(jù)圖形靜矩的定義，組合圖形對(duì)某軸的靜矩等于各個(gè)簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即8.1.3組合圖形靜矩的計(jì)算【例8.2】試計(jì)算圖8.3所示截面對(duì)z軸和y軸的靜矩。已知a=30mm。【解】圖示截面可看成是由矩形Ⅰ減去半圓Ⅱ。設(shè)矩形Ⅰ的面積為A1，半圓Ⅱ的面積為A2。由于A2是要被減去的，該面積取負(fù)值。由于y軸是對(duì)稱(chēng)軸，通過(guò)截面形心，所以該截面對(duì)y軸的靜矩為零，即

Sy=0下面計(jì)算該截面對(duì)z軸的靜矩。

A1=4a×2a=8a2

yC1=a

A2=-1/2πa2

yC2=4a/3π由式（8.3）有

Sz=yCiAi=yC1A1+yC2A2

=8a2·a+(-1/2πa2)4a/3π

=1.98×105mm3圖8.38.2慣性矩和慣慣性半徑如圖8.4所示，在平面圖圖形上取一一微面積dA,dA與其坐標(biāo)平平方的乘積積y2dA、z2dA分別稱(chēng)為該該微面積dA對(duì)z軸和y軸的慣性矩矩，它們?cè)谠谡麄€(gè)圖形形范圍內(nèi)的的定積分分別稱(chēng)為整個(gè)平面圖圖形對(duì)z軸和y軸的慣性矩矩。8.2.1定義微面積dA與它到坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)的距距離的平方方的乘積ρ2dA，在整個(gè)圖圖形范圍內(nèi)內(nèi)的定積分分稱(chēng)為平面圖圖形對(duì)坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)的極極慣性矩。。由圖8.4可知ρ2=z2+y2于是有即Ip=Iy+Iz上式表示：：平面圖形對(duì)對(duì)于位于圖圖形平面內(nèi)內(nèi)某點(diǎn)的任任一對(duì)相互互垂直坐標(biāo)標(biāo)軸的慣性性矩之和是是一常量，，恒等于它它對(duì)該點(diǎn)的的極慣性矩矩。圖8.4工程實(shí)際中中，常將圖圖形對(duì)某軸軸的慣性矩矩，表示為為圖形面積積與某一長(zhǎng)長(zhǎng)度平方的的乘積，即即式中iz、iy分別稱(chēng)為平面圖形對(duì)對(duì)z軸和y軸的慣性半半徑，常用單位位為米（m）或毫米（（mm)。由式（8.7）有，慣性性半徑8.2.2慣性半徑【例8.3】圖8.5所示圓形截面的的直徑為D，試計(jì)算它它對(duì)形心軸軸（即直徑徑軸）的慣慣性矩?！窘狻咳∑叫衵軸的微面積積由于對(duì)稱(chēng)，，圓形截面面對(duì)任一形形心軸的慣慣性矩都等等于πD4/64。8.2.3簡(jiǎn)單圖形的的慣性矩【例8.4】圖8.6所示的矩形截面面，試計(jì)算算對(duì)其形心心軸的慣性性矩Iz、Iy?！窘狻浚?）計(jì)算慣性矩矩Iz取平行于z軸的微面積積dA=bdy(2)計(jì)算慣性矩矩Iy取平行于y軸的微面積積dA=hdz表8.1列出了一些些常用簡(jiǎn)單單截面圖形形的幾何性性質(zhì)。圖8.5圖8.6表8.1簡(jiǎn)單截面圖圖形的幾何何性質(zhì)8.3組合圖形的的慣性矩如圖8.7所示，任意平面面圖形的形形心為C，面積為A，zC軸和yC軸為圖形的的形心軸。。y軸平行于yC，兩軸間的的距離為b；z軸平行于zC，兩軸間的的距離為a。根據(jù)慣性矩的的定義，平面圖圖形對(duì)z軸的慣性矩為8.3.1慣性矩的平行移移軸公式IzC、SzC分別為圖形對(duì)形形心軸zC的慣性矩和靜矩矩。由于圖形對(duì)對(duì)形心軸的靜矩矩恒等于零，所所以SzC=0。于是有Iz=IzC+a2A同理Iy=IyC+b2A式(8.9)即為慣性矩的平行移移軸公式。它表明：平面圖形對(duì)任意意軸的慣性矩，，等于圖形對(duì)與與該軸平行的形形心軸的慣性矩矩加上圖形的面面積與兩軸距離離平方的乘積。。圖8.7由慣性矩的定義義可知，組合圖圖形對(duì)某軸的慣慣性矩就等于組組成它的各簡(jiǎn)單單圖形對(duì)同一軸軸慣性矩之和。。簡(jiǎn)單圖形對(duì)本身身形心軸的慣性性矩可通過(guò)積分分或查表求得，，再利用平行移移軸公式，便可可求得各簡(jiǎn)單圖圖形對(duì)組合圖形形的形心軸的慣慣性矩。8.3.2組合圖形的慣性性矩【例8.5】空心水泥板的截截面圖形如圖8.8所示，試求它對(duì)z軸和y軸的慣性矩?！窘狻看私M合圖形對(duì)于于z軸或y軸的慣性矩等于于矩形Ⅰ對(duì)z軸或y軸的慣性矩減去去圓形Ⅱ和Ⅲ對(duì)z軸或y軸的慣性矩。（1）計(jì)算慣性矩IzIz=I1z-I2z-I3z=I1z-2I2z圓形Ⅱ?qū)Ρ旧硇涡妮SzC的慣性矩I2zCI2zC=πd4/64應(yīng)用平行移軸公公式I2z=I2zC+a2A=πd4/64+(h/4)2·πd2/4矩形Ⅰ對(duì)z軸的慣性矩I1zI1z=bh3/12【例8.6】試計(jì)算圖8.9所示的組合圖形對(duì)形形心軸的慣性矩矩?！窘狻看私M合圖形看成成大矩形Ⅰ減去小矩形Ⅱ所組成。（1）計(jì)算截面形心C的位置由于yC軸為圖形的對(duì)稱(chēng)稱(chēng)軸，故形心必必在此軸上，即即zC=0為計(jì)算形心坐標(biāo)標(biāo)yC，取底邊為參考考軸z，則有(2)計(jì)算截面對(duì)形心心軸的慣性矩IzC、IyC由平行移軸公式式有IzC=I1zC-I2zC=391×105mm4IyC=I1yC-I2yC=234×105mm4【例8.7】試計(jì)算圖8.10所示組合圖形對(duì)形心心軸xC和yC的慣性矩?！窘狻浚?）計(jì)算組合圖形形形心C的位置取軸z′為參考軸，軸yC為該截面的對(duì)稱(chēng)稱(chēng)軸，xC=0，只需計(jì)算該截截面的形心坐標(biāo)標(biāo)yC。由附錄型鋼表中中查得16號(hào)槽鋼：形心為為C1A1=25.15cm2Iz2=83.4cm4Iy1=934.5cm4z0=1.75cm16號(hào)工字鋼：形心心為C2A2=26.1cm2