華中師范大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院

《常微分方程》練習(xí)測(cè)試題庫(kù)參考答案

一、判斷說(shuō)明題

1、在線性齊次方程通解公式中C是任意常數(shù)而在常數(shù)變易法中C(x)是x的可微函數(shù)。

將任意常數(shù)C變成可微函數(shù)C(x),期望它解決線性非齊次方程求解問(wèn)題，這方法成功

了，稱為常數(shù)變易法。

XX

2、因p(x)連續(xù)，y(x)=y()exp(-Jp(x)Jx)在p(x)連續(xù)的區(qū)間有意義，而exp(-Jp(x)Jx)>0。

X。X。

如果y°=0，推出y(x)=0,如果y(x)H0,故零解y(x)=0唯一。

3、

(1)它是常微分方程，因?yàn)楹形粗瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，f,g為已知函數(shù)，y為一元函數(shù)，所建

立的等式是已知關(guān)系式。

(2)它是常微分方程，理由同上。

(3)它不是常微分方程，因y是未知函數(shù)，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是

已知關(guān)系式。

4、微分方程求解時(shí)，都與一定的積分運(yùn)算相聯(lián)系。因此，把求解一個(gè)微分方程的過(guò)程稱為

一個(gè)微分方程。微分方程的解又稱為(?個(gè))積分。

5、把微分方程的通解用初等函數(shù)或通過(guò)它們的積分來(lái)表達(dá)的方法。注意如果通解能歸結(jié)為

初等函數(shù)的積分表達(dá)，但這個(gè)積分如果不能用初等函數(shù)表示HI來(lái)，我們也認(rèn)為求解了這個(gè)微

分方程，因?yàn)檫@個(gè)式子里沒(méi)有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分。

6、y,=f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解為兩個(gè)因式的乘積，其中個(gè)因式僅含有x,另一因式

僅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分離變量方程的主要特征，就像f(x,y),樣，p,q分

別都能分解成兩個(gè)因式和乘積。

7、二元函數(shù)f(x,y)滿足f(rx,ry)=r"'f(x,y),r>0,則稱f(x,y)為m次齊次函數(shù)。m=0則稱它為0

次齊次函數(shù)。

8、如果f(x,y)是0次齊次函數(shù)，則y'=f(x,y)稱為齊次方程。

如果p(x,y)和q(x,y)同為m次齊次函數(shù)，則pdx+qdy=0為齊次方程。

如果qHO則立=一四山三f(x,y),山p,q為m次齊次函數(shù)推知f(x,y)為0次齊次函數(shù)故

dxq(x,y)

y=f(x,y)為齊次方程。

9、求解齊次方程經(jīng)常用變換y=zx.用函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)的公式得

dydz.

—=x——+z

dxdx

10

22

(1)記/(x,y)=X+y,則更=2y在平面上連續(xù)，從而/(xy)在平面上任何矩

沙

歐中關(guān)于V滿足Lip-條件，因此在(兀y)平面內(nèi)任一點(diǎn)(的，兒)可以作一個(gè)含(而，孔)的矩

移，使方程存在惟一積分曲線經(jīng)過(guò)(幾，為)。

更

(2)帔有界。滿足其里條件。

1y(x,y)=x+siny,⑤cosy

更

⑶/(xj)=J-+/,辦

二、計(jì)算題

1、方程變形為'=2'+4v―6,它的分子，分母兩條直線交點(diǎn)為(1,2)

dxx+y—2

作變換［'="+1,于是得到7=2M+4V,它已經(jīng)是齊次方程。

2、令z=x+y+l,則包■=1+蟲(chóng)，于是@*=l+f(z),

dxdxdx

只要+f(z)70,可分離變量得x=fdZ+C

Jl+/(z)

3、p(x)=-cosx用線性齊方程初值問(wèn)題解公式即得y=exp(sinx)

4、用線性方程通解公式：

y=exp(-j*2xdx)(C+^2xdx)dx)=exp(-x2)(C+2exp(-x2))=2+Cexp(-x2)

5、公式求得方程通解

y(x)=exp(2x)(C+fx2exp(2x)exp(-2x)dx)=exp(2x)(c,+—x3)

J3

1,

利用初始條件代入上式y(tǒng)(0)=0=C,故y=-x3exp(2x)

6、x看作自變量，y看成函數(shù)，則它是非線性方程，經(jīng)變形為

dx

—=x+y

dy

以x為未知函數(shù),y是自變量，它是線性方程，則通積分為

x=exp(jdy)(c+Jyexp(-=cexp(y)-y-l

7、解：將方程變形為x2y2dy=(y-l)dx或義:=當(dāng)，當(dāng)xyH0,yW1時(shí)積分得

y-1x

；+y+ln|y-1|+—=c

8、解：這是齊次方程。ay=zx原方程化為

一“,d一蟲(chóng)兩邊積分得—-lnlzl=lnlcxl

%2z

用z=?代入得

X

1X2

y=-exp(-)

c2y

y=0也是原方程的解。

9、解：.方程右邊分子，分母兩條直線交點(diǎn)為(x°,y())=(-2』)作變換u=x+2,v=y-l,

原方程化為

半=三工,此為齊次方程，令v=uz,經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算得了<12=叱積分得

du2u-vZ-1"

——=c

(Z+1)3“3

原方程通積分為y=x+c(x+y+l)3+3

10、解當(dāng)ywO時(shí)，分離變量得

蟲(chóng)=」v網(wǎng)

y1+X-

等式兩端積分得

ln|>j=~ln(l+x2)+ln|C|

即通解為

y=Cy/l+x2

11、解齊次方程的通解為

y=Ce-3x

令非齊次方程的特解為

代入原方程，確定出C(x)=|e5v+C

原方程的通解為

y=Ce-3x+-e2A

5

12、解由于跑=2盯=辿，所以原方程是全微分方程.

dydx

取(x0,凡)=(0,0),原方程的通積分為

f(Y+盯2)dx+/y3dy=C,

即x4+lx2y2+-C

13、解令y'=，，則原方程的參數(shù)形式為

x=t+e'

(2分)

由基本關(guān)系式

dy=y'dr=f(1+e')dt

積分有

y=；產(chǎn)+e，Q—])+c

得原方程參數(shù)形式通解

x=t+e'

<i

y^-t2+e\t-l)+C

14、解原方程為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可改寫(xiě)為

(?')'=0

即

yy'=ct

分離變量得

ydy=。由

積分得通積分

2

|y=cix+c2

15、解方程的特征根為4=0,4=5

5

齊次方程的通解為y=G+C2e'

因?yàn)閍±i/?=±5,.不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為

y,(x)=Asin5x+Bcos5x

代入原方程，比較系數(shù)得

J—25A+258=1

[-254-253=0

確定出A=-—,B=—

5050

原方程的通解為y=G+Ge"+需(cos5x-sin5x)

16、解特征方程為

..1-21

\A-AE\==0

1141-71

即22-22-3=0

特征根為4=3,22=-1

4=3對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足

1-31<7,0'

1-314

40

可確定出

a]1

仇口2

同樣可算出4=T對(duì)應(yīng)的特征向量為

a21

_

b2J2_

所以，原方程組的通解為

17、方程右邊分子，分母兩條直線交點(diǎn)為(X。，y0)=(-2,1)作變換u=x+2,v=y-l,原方程化為

dv2v-u+工口A以號(hào)0、1衿的2-zdu3八的z—1

—=------，此為齊次方程，令v=uz,經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算得F——dz=—，積分得------T—r=C

du2u-vZ—1〃(z+1)u

原方程通積分為y=x+c(x+y+l)3+3

18、解：(!)此為貝努利方程。令z=77得包-2z=二它是線性方程。

dxx2

此為黎卡提方程，通過(guò)觀察知它有一特解y=-x作變換y=z-x,得貝努利方程

z'+2z=z2,再將方程ydx+(y-x)dy=O給兩種解法。

(2)此為黎卡提方程，通過(guò)觀察知它有一特解丫=二作變換y=z-x,得貝努利方程

z'+2z=z?,再將方程ydx+(y-x)dy=O給兩種解法。

19、

.等價(jià)的積分方程為

V=O+J；[s-/(s)]ds

那么

PO(x)=O,

x2

31(x)=6(s-0磔=—,

/25

P2(X)=hs-—^=——>

s2F1

93(x)=Jdds=——一一+--------

220,2201604400

20、

任取的€(-CO,CO),y=伊(工)是初值問(wèn)題

,字=〃")

ax

,X^o)=wg)

的解，設(shè)G=((xj):|X-Xnl4a」y-<p(xn)l4b)，由定理2.1知y=Mx)在|x-XnC)上有

定義，其中為=min|%2］，而〃=max|由題意，M有上界，而a,占可任意

IM)(xj)eG

大，故力可任意大，即丁=。(刀)在-8<x<8上有定義。

21、

y[=cosx-xsinr,=-xcosr-2sinx;

72=sinr+rcos,y2=-rsinr+2cosT

j*=ci(-rcosx-2sinx)+C2(-xsinr+2cosx),

j"+j=q(-2sinx)+。22cosx成立.

22、

令、=[ud\u滿足方程

e2”+[2e2I---2rl+re2]u=0,

J1,2

即打,-刈=0,解之，得一解，〃=。2，故有2]芻_公，從而原方程的通解為

2

y=e2[q+C2ledx].

23、

▲d(x+y)dtP

由一^_■—=-----，得/ax+y------+cp

￡(x+y)x+y2

又由包=E,得y2-x2=c2,以上兩個(gè)首次積分是獨(dú)立的,

dty

'_攔_

坂而通解為『+丁一萬(wàn)=”

22

y-x=c2.

24、

取第0次近似解X。（￡）=（；）

則第一次近似解為

X。）⑥=(+?；[4)

第二次近似解為

?r<01）僅ty

XQ叱+Jdt=一

V/「1。加,2)

第三次近似解為

'01

X⑶⑴,評(píng)小~6

+J1——〃°

C02)

、T/

三、證明題

1、證明:設(shè)有兩個(gè)解y,(x),y2(x),則

Yi(x)+p(x)yi(x)=O,y2(x)+p(x)y2(x)三0,則

(y,(x)±y2(x))'+y(x)(yi(x)+y2(x))=(y,(x)+p(x)y((x))+y2(x)+p(x)y2(x)

=0表明y0)±y2(x)仍是解。

2、證明由已知條件，方程在整個(gè)xoy平面上滿足解的存在唯一及解的延

展定理?xiàng)l件，因此，它的任一解都可延展到平面的無(wú)窮遠(yuǎn)。

又由已知條件，知〉=%是方程的一個(gè)解。

假如方程的非常數(shù)解y=y(x)對(duì)有限值/有l(wèi)imy(x)=,那么由已知

XT沏

條件，該解在點(diǎn)(%,汽)處可向X。的右側(cè)(或左側(cè))延展.這樣，過(guò)點(diǎn)(飛,打)就

有兩個(gè)不同解y=>0和y=y(x).這與解的唯一性矛盾，因此不能是有限值.

3、證明如果y=0|(x)和y=%(x)是二階線性齊次方程

y"+p(x)y'+q(x)y=0

的解，那么由劉維爾公式有

-r〃⑴也

W(x)=W(%)e兒

現(xiàn)在，p(x)三0故有

-lodr

卬(了)=卬(/把3。=W(x0)=C

4、

證明由

九⑴可0+471(xjn-l⑸沖，

9>(x)=7o+￥”■9⑸沖.

用數(shù)學(xué)歸納法，顯然

Lxo(x)-p(x)目圖，(x,g)於4MlX-XQI，

即當(dāng)”=0時(shí)(19.6)式成立，設(shè)當(dāng)”=兀時(shí)(19.6)式成立，得證〃=兀+1亦成立。估計(jì)下式:

即⑺-貝力司忌⑸)-/(5,p⑸)網(wǎng)

MNkAJr

4曾|4，⑸一始)網(wǎng)4葡4ds

MN,gi

(k+1)!1Ul

如當(dāng)月=k+l時(shí)(19.6)式也成立，(19.6)式得證。

5、

證反證法，如果入，為線性相關(guān)，解存在不全為。的使力為+。2為三0,

對(duì)應(yīng)分量相等，推得

fqcosx+%sinx=0

［一qsinx+jcosx=0

由干系數(shù)行列式

cosxsinx

=1^0.

sinxcosx

所以q=，2=。，矛盾，故乃。)，當(dāng)在)在任何區(qū)間內(nèi)線性無(wú)關(guān)。

補(bǔ)充題庫(kù)1答案：

18------------19

9.方程變形為?=-2x+"：6,它的分子、分母兩條直線交點(diǎn)為(1,2)

dxx+y-2

x=u+1dv-+4v

作變換《，干是得到丁=----------，它已經(jīng)是齊次方程。

y-v-l-2duu+v

10.令2=工+獷+1，則絲=1+@,千是空=l+/(z),

dxdxdx

只要l+_/(z)w0,可分離變量得x=f;、+C.

20-------27

答案:

八十—Rsin6sin07

1.(1)分離變量，得/B-----dJ8n=—―d(p.

cosffCOS0

兩邊積分，得一Mcos6=-lncos^+cplncos6=Incos0yl.

所以C0S6=C8S?.

⑵分離變量，得號(hào)卻+駕-M=0

sec23sec29

兩邊積分，得與的+J與MR.

sec3sec9

變形\singcos找p+[sin9cos苗9=c\.

1.12c

積分得—sin28+—sin0=c

22Ly

所以sin歹+sin6=2q=c.

（3）變量分離方程，設(shè)x+y=u，對(duì)x求導(dǎo)數(shù)有1+.=儀，所以y=/-i,

把上面兩式代入所給的方程，得u'-l=u2.

du2i

所以—=u+1.

dx

du,

---=ax.

分離變量，得1+1

兩邊積分，得J身依

下面是通積分：arctgu=x+c,或。=￡g(x+c),

通解為x+y=￡g(x+c)-x.

-721

（9兩邊同除以得2l（產(chǎn)1+2

x2

-y

注意到蜴

=￡dx\fx4)

X3

故設(shè)工=〃.經(jīng)變換后,?入du八23

得&—=(1+u)ctgx.,

Xdx

2u.,1

對(duì)它分離變量，得----du=ctgxdx

1+/y，

9

兩邊積分,得ln(l+u)=lnsinr+lnc?

所以1+“2=csini,

通積分為，+y?=ex2sinx.

2.此方程為黎卡提方程，y=L是它的一解，令丫=2+，得貝努里方程

XX

z*+(x2+—)z+z2=0

X

令w=",得線性方程u-(x2+=1

/?學(xué)1+|4屋苧公

X2

從而原方程的通積分為北〒(?-1)=1.

IJ/)

ldz2x

3.此方程為貝努里方程，令z=6,得線性方程丁一一z=；從而原方程的解為

Yaxx2

y=x'(c+；ln|x|>.

4.此方程為黎卡提方程，y=一工為一解，令1y=z-x,得貝努里方程Z'+2XZ=Z2,

再令〃得線性方程

Z

du

——2xu=-]

dx

所以

u=g[c—Je-2嗎?二]=c**卜-J1"dx]

從而原方程的通積分為

―?—=/dx]

5.由y'=2x，得通解曠=工'+，，由，ydx=2，即

，(/+c)dx=2，得。=(

25

從而定解問(wèn)題的解為y=/+1

6.此方程為線性方程，從而方程的通解為

-曄-心

axc+J⑶J公"%=e一砥"[c+p(i)e奴"奴*)]

dx

°-&)+以了)一1.

7.證明：由丁=<7飆?+歹(；0,知將此代入上方程,

0(x)

得1y=c吠為+材(x)所滿足的微分方程

dy_y-叭x)0'(x)+/(x)

dx(p(x)

它是線性方程；又由線性非齊次方程的表達(dá)式可見(jiàn)，線性方程的通解形如1y=cw(x)+材(x)，

證畢。

8.證明：對(duì)用呢方程

y'+p(x)y+g(x)y2=/(z)

作變換〃=一1----得線性非齊次方程

丁一力(x)

孚-如⑴當(dāng)⑶+p(x)]〃=-g(x).

ax

而，、1，、是上面方程的一個(gè)解,由線性非齊次方程的通解等于其一特解與對(duì)應(yīng)齊次主程通解

內(nèi)⑶-力(X)

之和知，對(duì)黎卡提方程的通解，此時(shí)只須由一次求積得出線性齊次方程

d葭

丁-[2g(x)yi⑶+0(初以=0

ax

的通解(或通積分)即可。證畢。

28---------37

答案：

1.(l)w=(7cos/,y=8sini.

(2)〃=/,昨〃

(3)p=t,u=2f2+1.

2.令x=acost,y'=6sin/?則的=Ssin￡dx，但dx=-asin/f，故

dy=-absin2t出，y=?(sintcost-t').

x=acost

^導(dǎo)方程通夠魁式ab.、

y--(zsintcost-t)

b2

3.令，=acost,y'=bsint,加=「1，而的=一以sin￡，

bsmt

._ab

下dx=—dt,x=—t+C，

ba

得方能嬲港解ar

y=acos￡

4.令廣P,i4,包=4,即加=與，公=歲=4以f,r=2t2+C,

dyt2tt

為卜=*+c

y=t^

5.令x=20+1,y'=tf即力=￡dx,而dx=4M,得的=4/成.

4

從而y=§產(chǎn)+c,原方程蟀形式通解

x=2?+1,

3

<y=i￡+C.

3

6.由方程得y'=±y,這是兩個(gè)線性齊次方程，鄴=ce七.

7.由方程得

y=+￡Z

y

當(dāng)y?！?B寸，分離變邕積分得土斤5萬(wàn)=x+C,

即7+(x+c)2=l.

顯然1y=±1也是原方程的解。

8.方像形為x=—+]nyl.

1,

令I(lǐng)/=「，則x=一+lnp.

p

1_1dp+1dp

兩端對(duì)y求導(dǎo)

1pp2dypdy

即砂=(1——)dp.

積分得

y=p_lnp+C.

[1?

<x=—Finp,

參數(shù)形式通解為P

y--In4-C.

9.方程變形為伊_/)2=)2@孫&[Jj'=Xl±ey),

通解為

j=c/3=c?exp(x±

10.令丁'=#，貝|]『=呵1+22)

二^坐或，^

對(duì)x求導(dǎo)P=dx.

2dx1+)

積分得2arcigp=x+c

Jx=2arctgp-c,

參數(shù)形式通解為V=ln(l+^2).

38------------44

答案：

1.方程F（x,￥，_/）=0的一個(gè)特解上每一點(diǎn)處解的惟一性被破壞，該特解就是奇解。

2.如果y=（p（x）,X€/是方程的奇解，它必須滿足如下方程組；

'9（X,y,y'）=0

'g（x,y,y'）=0

由該方程組決定的曲線，就是所謂尸產(chǎn)“別曲線。

3.單參數(shù)曲線族①（%乂。）=0的包絡(luò)是這樣一條曲線，它本身不包含在這曲線族中，

但過(guò)該曲線上每一點(diǎn)，都有曲線族中一條曲線和它在此點(diǎn)處相切。

4.方程?（xj，V）=O的通積分①（xj,c）=O（即積分曲線族的包絡(luò)由

<個(gè)0,y,c）=o消去。而決定。稱為判別曲線。

[4>,（x,y,c）=0

4283

x^y=-p—P

927

5.（1）從《Q

p3)=o

4

消去衣得兩條〃一判別曲線y=x；y=x--

27

⑵我們有（y-c）2=（X-C）3

⑶將p一判別曲y=X代入原方程:

左=0,右=24-上8工0,所以y=x不是方程的解，更不是奇解；另一條尸冽別曲線

y=五-六代入原方程，知它是解。又y=X-不上每一點(diǎn)，均與通解0-匕）2=（x-c）3

4

的一支相切，即解的惟一性被破壞，故曠=工一一是奇解。

27

6.通解易求得：＞=(")[

4

v(…尸

從

2(x-c)=0

消去C得y=0就是所求C-判別曲線。它是通解的包絡(luò)，即它是奇解。

7.⑴解法一、2一判別曲線

*9沖2+4=0

＜

\Zyp=0

此方程組無(wú)解，從而方程無(wú)奇解

解法二、令1y'=p為參數(shù)，有

4

y=~W

關(guān)千x求導(dǎo)，0=工孳，從而方程的通解為

9P3dx

消去參數(shù)。，得方程障式通解y，+(x+c)2=0,方程的C-判別曲線為

y3+(x+c)?=0

2(x+c)=Q

得y=0,但y=0不是原方程的解，從而不是原方程的奇解。

(2)7一判別曲線

Zap3=27y

24ap2=0

得》=0,從而有y=0。顯見(jiàn)它是原方程的解，又由解

8ay3=27y,即得尸=。-7+d，即方程的通解為。/=(x+c))

通解ay"=(X+C)，與y=0的交點(diǎn)，由

ay2=(x+c)3

y=Q

決定，為(r,O)，在(—c,0)處，曲線勾d=(x+c＞的切線斜率恰為0,所以^=。是

微分方程的奇解。

（3）p—判別曲線

y=5xp-p2

<

、5x-2p=0

消去參數(shù)P，得y=§/,而丁=豆/不是方程的解，從而方程無(wú)奇解。

44

（今方程為克萊洛方程，奇解由_______

222

Jc-yQf—c

（5）方程寫(xiě)成yl=f（冗y）時(shí)，/（見(jiàn)y）=--------,從而——=----,一,可見(jiàn)

y沙

當(dāng)y=0，1y=±c時(shí)，g'無(wú)界。

力

y=0不是方程的解，從而不可能是奇解；

y=±c是方程的解，需進(jìn)一步判斷是否是奇解。

求———的通解，由分離變量、積分得通解為

y

（x+a）2+y2=c2

顯見(jiàn)，其與1y=±c相切。從而1y=±c是奇解。

⑹y=V'+y'?為克萊洛方程，通解y=cx+c2，過(guò)（2,-1）的解y=-x+l方程的

V=CX4-/

奇解由“決定，即y=-二，而（2,-1）在^=一下上，從而過(guò)（2,-1）的解

x+2c=044

2f/、，、

-

有無(wú)窮多個(gè)。例如（1）y=--t（2）y=-x+i；（3）y=JY當(dāng)x'2時(shí)；（4）

4-x+1當(dāng)x>2時(shí)

-x+1當(dāng)xW2時(shí)，

y=，-—當(dāng);02時(shí)，.一°

I4

45-------49

答案：

1.（1）只要聲（X）在-8<x<+8連續(xù)，則一階線性齊次方程的積分曲線充滿全平面；

（2）由于1y=0是一階線性齊次方程的解，根據(jù)解的惟一性，其他積分曲線不能與它

相交，所以x軸（即丁=0）將上、下半平面內(nèi)積分曲線隔開(kāi)。

2.過(guò)原點(diǎn)作射線乙積分曲線與上相交千F,過(guò)戶作切線段￡,其余積分曲線與上相

交，過(guò)交點(diǎn)作切線段均與坪行。于是只要求出一條積分曲線，可通過(guò)伸縮變換得到其余積

分曲線。

3.（1）如果一條曲線與一族曲線中各條曲線交角為a，那么該曲線稱所給曲線族的等

角軌線。

（2）在（1）中如果&=萬(wàn)，稱該曲線為正交軌線。

4.?=C中其在",丁）點(diǎn)切線的斜率為了+號(hào)'=0或」'=子/-產(chǎn)2=兀在。,了），點(diǎn)

切線的斜率為2x-=0或蟲(chóng)=二因兩組曲線在任意（xj）點(diǎn)的切線斜率乘積為一1，

dxy

故此兩組曲線相互正交。

5.(l)y=的微分方程2?+爐力=0或蟲(chóng)=—_型,

dxx2x

故其正交曲線族的微分方程為字=:，其解為y2=Lx2+C。

ax2y2

(2)y=wx+4的微分方程式為"=幽=匚，故其正交曲線族的微分方程為

、“dxx

—=——,解為L(zhǎng)y，-4y+1x2=。圓系。

dxy-422

(3)y=2x4-i1j=2故所求者的微分方程為/=-7y=--x+c<>

CL7imc?4

(4)7=ex2,-j-=2cx=—,故正交曲線字=一上，解為尸+7"=’.

dxxdx2y2

(5)y2=cx2,2yyf=3cx2=—,故孚=；,故正交曲線孚=一華解為

xax2xax3

3y+x2=c.

⑹小+>+。=0,2x+2?'+c=0故、'=(爐+》-29/2、2,故正交曲線

2ya得它+支二*=0,解為

yf=---—或2V2dx+(x-y)2力=0，令y=

(x-加X(jué)U(l+u2)

1tan-V^L)

Inr=lnu-2Ian~---T+C1x2=eye'+)。

1+/

50-------56

答案：

1.設(shè)微分方程解存在惟一。如果微分方程的解（或通解、通積分）已經(jīng)求出，在第二單元

里我們?cè)?jīng)指出，它在平面上的圖形是一曲線（族），稱為積分曲線（族）。此時(shí)積分曲線（族）

也可以表示方程的幾何特征；如果方程的解（或通解、通積分）不能求出來(lái)，直接從微分方程

本身，如由y（XJ）提供的信息，來(lái)給出解的幾何特征，此時(shí)我們說(shuō)由微分方程定義的積分曲

線，而不像過(guò)去那說(shuō)，由微分方程解（族）確定的積分曲線（族）。

2.考慮方程y'=_/（x,y），?。ǘ?/6口，設(shè)方程存在解y=w（x）,即它滿足方程

，（而）三/（x,伊（x））=/（x0,y0）,這就是過(guò)點(diǎn)（曲,打）積分曲線切線的斜率。

3.己知積分曲線切線的斜率為/（而）=/（而,為），由解析幾何知，點(diǎn)斜式方程為I

^—^~=/（x0,y0）.即y=yo+/（x（）,yo）（x-xo）.

x-x0

4.D=-1,切線攤：y=-l-x.

0/QO）=T，切線墀：y=-（x-Y）.

（3）/（1,1）=2,切線彼：j/=l+2（x-l）.

?/（1.1）=2,切線彼：y=1+2（x-1）.

5.由」（”,＞）=化確定一條曲線，為力的線索場(chǎng)在該曲線上各點(diǎn)的斜率等干比，

1y（x,y）=A'稱為線索場(chǎng)的等傾線。

6.第一，作出等蝴線，即4：/（X,y）=k的軌跡；

第二步，在一條等傾線&上取一點(diǎn)（而,為），過(guò)該點(diǎn)，據(jù)直線方程

公："九+〃”0，口）（工一打）作出，懶段;

第三步，在等候線上，取若干點(diǎn)（為）1），（小，y2），……，（您,居），過(guò)每一點(diǎn)作平行干

/的小線段，重復(fù)第二步；第三步，取另一條等傾線，在其上次另一組小線段，只要這些小線

段取得足夠密，就得近似線索場(chǎng)。

7.作等傾線￡上芯2+丁2=化2,例取尢=g;l,2.

則"3/=?。c(diǎn)（卷0），有/+°）［

從而y=g（X-美），然后過(guò)4的若干個(gè)點(diǎn)平行功的小線颶

再作上2：X?+丁=1取點(diǎn)（1，0）＞有=1.

從而G：V=X-1,然過(guò)之上若干個(gè)點(diǎn)作爭(zhēng)行22的小線索；

作&：/+/=（0）2,取點(diǎn)（0,0）,有/詆0）=2.

從而%：y=2（x-4,經(jīng)過(guò)Z3上若干個(gè)點(diǎn)作平行千/的小線素，這樣得出一個(gè)近似的線索

場(chǎng)。

57-------62

答案：

1.用差商”代替徽商華，就是微積分中的“以直代曲”，即用直線段代替曲線段。

Axax

2.歐拉折線法開(kāi)創(chuàng)了常微分方程的數(shù)值解，并在幾何上提供了“近似積分曲線”的作

法，這為后來(lái)進(jìn)一步改進(jìn)提供了基礎(chǔ)。

4.因?yàn)椤梗◣自赂捎騁連續(xù)。則（15.1）在G內(nèi)各點(diǎn)的線索/?）的斜率界千-M與M

之間，見(jiàn)下圖。個(gè)y

5.歐拉格式是Vo=；JH1=K+%（1+仇一兩）2），5=0,卜?,兇-1洗=，

這容易用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。

/、1

6.y（玲=-o

2-x

63------------68

答案:

冗xx

1.（1）在火1上，ye[0,7T],當(dāng)y—>]-0時(shí)，tgy7+8,y75+。時(shí)，/gy—-co,

故/（xj）=X.￡gy在"上不解，不滿足定理的條件。

（2）在&上，/（xJ）=X.協(xié)及孚=均連續(xù)故滿足定理的條件。

dycosy

2.（1）記/（x,y）=/+/,則更=27在平面上連續(xù)，從而在平面上任何矩

勿，

形中關(guān)千V滿足Lip-條件，因此在（xj）平面內(nèi)任一點(diǎn)（而，孔）可以作一個(gè)含（質(zhì)，汽）的矩

形，使方程存在惟一積分曲線經(jīng)過(guò)5。，如）。

g=cosy帔有界。滿足定理?xiàng)l件。

⑵/(")=x+smy,

,-----------df2y

⑶/（“）=歷歷不二歷7,

3.證因?yàn)獒痘厣县靶鸵?11mIALT

ATO-hATO-h

11nl陽(yáng)-〃")=]lALi

ETO+卜1ET1nM4

左，右導(dǎo)數(shù)不相等，故在（0,0）處不可導(dǎo)。

4.更=在丁>x存在,但_y->x時(shí)，￡78>所以/(xj)在包含1y=芯上點(diǎn)的任

方^y-x

何閉域內(nèi)對(duì)y不滿足Lip探件。

5?|/」》)一」(兀0)|=|尸y=0必卜11=1yIIin\y\\>

而*o|InM=m，故不存在常數(shù)上使

"(xj)-/Q,0)|W￡|川.

即j)在0的任YR域不滿足Lip脩件。

6.聯(lián)系自變量x，未知函數(shù)y以未知函數(shù)積分的已知關(guān)系式，例如y(x)=yo+，(s,y(s))ds,

f(x,y)是已給函數(shù)，如果存在函數(shù)y=(p(x)使e(x)三而+，/(x,加s))ds成立，則稱w(x)為積分

方程的解。

69------------71

答案：

00

1.證：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)jo+Z(7式Q-Ji-l(r))的部分和

n=l

SHQ=『o+Z8i(Q-力-KQ)=Jo+Cn(x)-『o)+02⑶-Ji⑶)+…+n-K：

2=1

=J-X).

由此如，M(x)｝，附=0,12…的一致收斂性與級(jí)數(shù)加+片卜⑴-即_1(Q)一致收斂性等

n=l

價(jià)。

2.(i)y(i)=i=y0；所以外=1+「(1+13)成=1+2才-2=2*-1；

乃=1+j(l+⑵_1)3疑=2x4-4x3+3M

r2f2r25

(2)J0=°；Jl=°)式=—；72=6。-彳)就=~2~~~2Q

co/i

⑶『0=。；」1=E1(0-。2沖=可+不

M/2//1、2、4x7x4x3r11

『-(一+一)=---------+------+—

*2=]1i(r、33,,63183942

(1)y0=1；乃=1+C由=1+元y2=i+C(i+‘)成=1+彳+

~2\

x3x?

,y?=+—+,??+—;

2!3!劃

(嚴(yán)格地說(shuō)，以要用數(shù)學(xué)歸納法證明)

戶MK8M71.8Jf月

(2)—<—,正項(xiàng)級(jí)數(shù)s竺「收斂，根據(jù)維爾斯托拉斯定理，s一在[-峪〃]

?!?!n=i?!n=l月！

上一致收斂。

(3)在(1)已求出序列｛%｝的通項(xiàng)的表達(dá)式，剩下的問(wèn)題是求極限，limy//.

72------------81

答案:

解1/(x,y)三-y在G上連續(xù)

如果(18.6)存在解y=w(x),則代入得恒等式：

0(x)三l+，—w(s)ds，而0(0)三1。由干被積函數(shù)連續(xù)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得粵受三-蟻X),

J。