四章習題解答如題圖所示為一長方形截面的導體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為U電位函數(shù)。，求槽內(nèi)的0解根據(jù)題意，電位(x,y)滿足的邊界條件為①②(0,y)(a,y)0(x,0)0③(x,b)U0根據(jù)條件①和②，電位(x,y)的通解應取為yU0boxaa題圖ny)sin(nx)aa(x,y)Asinh(nn1由條件③，有nb)sin(nx)aaUAsinh(n0n1兩邊同乘以sin(nx)，并從0到a對x積分，得到a2Uasinh(nba)nx)dxaAnsin(0a04Unba),n1,3,5,02U0，sinh((1cosn)n0nsinh(nba)n2,4,6,nx故得到槽內(nèi)的電位分布(x,y)4U1)sin()sinh(ny0nsinh(nba)aan1,3,5,兩平行無限大導體平面，距離為b，其間有一極薄的導體片由yd到y(tǒng)b(x)。上板和薄片保持電位U，下板保持零電位，求板間，電位線性變化，0電位的解。設在薄片平面上，從到y(tǒng)0yd。(0,y)Uyd0yU0xboyxdyxoyx題圖解應用疊加原理，設板間的電位為(x,y)(x,y)(x,y)21其中，為不存在薄片的平行無限大導體平面間（電壓為）的電(x,y)U01位，即1片時的電位，其邊界條件為：；(x,y)是兩個電位為零的平行導體板間有導體薄(x,y)Uyb02①(x,0)(x,b)022②2(x,y)0(x)UU0y(0yd)③20b(0,y)(0,y)(0,y)1Ud0yU0y(dyb)bAsin(ny)enb根據(jù)條件①和②，可設(x,y)的通解為(x,y)x22bnn1UU0y(0yd)Asin(ny)0b由條件③有bUdUn0y0y(dyb)n1b兩邊同乘以sin(ny)，并從0到b對y積分，得到bnyA2U2U11(1y)sin(ny)dy()ysin(db)dy2(n)dbUbsin(nd)000bbbbbn2db0d2bU01sin((x,y)Und)sin(ny)enb故得到0ybxdn2bb2n1求在上題的解中，除開一項外，其他所有項對電場總儲能的Uyb0貢獻。并按C2We定出邊緣電容。U20f解在導體板（）上，相應于(x,y)的電荷面密度y02ynd2U01sin(n)enbx2020dby0n1則導體板上（沿方向單位長）相應的總電荷z2nd4n1sin(Ubnd)0U0sin(qdx2dx2)exdx0d20ndb222bn2b0n1n102W12qU1sin(n2bUnd)b相應的電場儲能為200e202dn14其邊緣電容為C2W1sin(bnd)be20Udnf22如題圖所示的導體槽，底面保持電位n10，其余兩面電位為零，求U0槽內(nèi)的電位的解。解根據(jù)題意，電位(x,y)滿足的邊界條件為①(0,y)(a,y)0yoxU0題圖aa②(x,y)0(y)③(x,0)U0根據(jù)條件①和②，電位(x,y)的通解應取為nx)(x,y)Aenyasin(nan1nx)由條件③，有UAsin(0nan1兩邊同乘以sin(nx)，并從0到a對x積分，得到a4Unxn0,n1,3,5,n2,4,6,A2Ua)dx2U0n(1cosn)sin(0aan0，0nxsin()故得到槽內(nèi)的電位分布為(x,y)4U01enyanan1,3,5,一長、寬、高分別為a、b、c的長方體表面保持零電位，體積內(nèi)填充密度為zy(yb)sin(x)sin()ac的電荷。求體積內(nèi)的電位。解在體積內(nèi)，電位滿足泊松方程2z21y(yb)sin(x)sin()2x2y2z2ac0（1）長方體表面S上，電位滿足邊界條件0。由此設電位的通解為Smxnypz)sin()(x,y,z)1Asin(mnp)sin(abc0m1n1p1代入泊松方程（1），可得A[(m)2(n)2(p)2]abcmnpm1n1p1mxnypzzsin()sin()sin()y(yb)sin(x)sin()abcac由此可得（2）(m1或p1)A0mnpnyA[()2(n)2()2]sin()y(yb)abcb1n1p1由式（2），可得nyA[()2(n)2()2]2y(yb)sin()dy()3(cosn1)b4bbnabcbb1n108b2(n)3n1,3,5,n2,4,6,0nyz(x,y,z)85b21sin(x)sin()sin()故11n3[()2(n)2()2]babc0n1,3,5,ac如題圖所示的一對無限大接地平行導體板，板間有一與z軸平行的線電荷q，其位置為(0,d)。求板間的電位函數(shù)。l解由于在(0,d)處有一與z軸平行的線電荷q，以x0為界將場空間l分割為和兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位(x,y)和(x,y)都x0x012滿足拉普拉斯方程。而在x0的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷q表示l成電荷面密度(y)q(yy)l。0電位的邊界條件為yqladox題圖①(x,0)=(x,a)011(x,0)=(x,a)022②(x,y)0(x)(x,y)0(x)12③(0,y)(0,y)12q(yd)(1)2lxxx00由條件①和②，可設電位函數(shù)的通解為sin(ny)nxa(x,y)Aen(x0)(x0)1an1sin(ny)anxa(x,y)Be2nn1由條件③，有（1）Asin(nyny))Bsin(naann1n1nnqlsin(nysin(ny))Baan(yd)（2）Aaann1n10由式（1），可得AB（3）nn將式（2）兩邊同乘以sin(my)，并從0到a對y積分，有aAB2q2qny)dysin(nd)a(yd)sin(lnlnaann000（4）由式（3）和（4）解得qsin(nd)ABnlann0sin(ny)nxaa(x,y)q1sin(nda)e故(x0)(x0)l1nn10nd(x,y)q1sin()esin(ny)nxal2naan10如題圖所示的矩形導體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電yb(x0,y0)qloax題圖荷q。求槽內(nèi)的電位函數(shù)。l解由于在處有一與z軸平行的線電荷q，以xx為界將場(x,y)00l0空間分割為0xx(x,y)1和兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位xxa00和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將(x,y)xx02線電荷表示成電荷面密度(y)q(yy)，電位的邊界條件為qll0①(0,y)=0，(a,y)012②(x,0)=(x,b)0112(x,0)=(x,b)02③(x,y)(x,y)1020()ql(yy)21xxxx00由條件①和②，可設電位函數(shù)的通解為0nynx(x,y)Asin(n)sinh()(0xx)0bb1n1ny)sinh[n(ax)](x,y)Bsin((xxa)0bb2nn1由條件③，有nynynx0)sinh[n(ax)]（1）Asin(n)sinh()Bsin(nbbbb0n1n1nyn)cosh(nxAnsin(0)bbbn1nysin(bql(yy)n)cosh[n(ax)]（2）Bnbb00n10由式（1），可得nxAsinh(n)Bsinh[n(ax)]00bbn0（3）將式（2）兩邊同乘以sin(my)，并從0到b對y積分，有bAcosh(0)Bcosh[n(ax)]nx2qny)dyb(yy)sin(nlbbb0nn00ny0)02qnl（4）sin(b0由式（3）和（4）解得2q1sinh[n(ax)]sin(ny0)Anlsinh(nab)nbb00nx0)sin(2q1nyBn0)lsinh(sinh(nab)nbb01nsinh(nab)(x,y)2qsinh[n(ax)]故lb10n10nxsin(nyny)0)sinh()sin(bbb(0xx)0nx(x,y)2q1nsinh(nab)sinh()l0b2n10sin(ny0)sinh[n(ax)]sin(ny)bbb(xxa)0若以yyyyb為界將場空間分割為0yy和兩個區(qū)域，則可類000似地得到(x,y)2q1sinh[n(by)]1lnsinh(nba)a0n10sin(nx0)sinh(ny)sin(nx)aaa(0yy)02q1sinh(ny0)(x,y)lnsinh(nba)a2n10sin(nx0)sinh[n(by)]sin(nx)aaa(yyb)0如題圖所示，在均勻電場EeE中垂直于電場方向放置一根無限00x長導體圓柱，圓柱的半徑為a。求導體圓柱外的電位和電場E以及導體表面的感應電荷密度。解在外電場E作用下，導體表面產(chǎn)生感應電荷，圓柱外的電位是0外電場E0的電位與感應電荷的電位的疊加。由于導體圓柱為無限0in長，所以電位與變量無關。在圓柱面坐標系中，外電場的電位為z(r,)ExCErcosC（常數(shù)C的值由參考點確定），而感應電荷000的電位一樣按cos變化，而且在無限遠處為0。由于導應與(r,)(r,)in0體是等位體，所以滿足的邊界條件為(r,)yE0aox題圖①(a,)C②(r,)ErcosC(r)0由此可設(r,)ErcosAr1cosC01由條件①，有EacosAa1cosCC0Aa2E1于是得到10故圓柱外的電位為(r,)(ra2r1)EcosC0若選擇導體圓柱表面為電位參考點，即，則C0。(a,)0導體圓柱外的電場則為1E(r,)eea2a2r2)Ecose(1)Esine(1rrr00rr2(r,)導體圓柱表面的電荷面密度為2Ecos0r0ra0在介電常數(shù)為的無限大的介質(zhì)中，沿z軸方向開一個半徑為a的圓柱形空腔。沿x軸方向外加一均勻電場EeE，求空腔內(nèi)和空腔外的0x0電位函數(shù)。解在電場E的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，0空腔內(nèi)、外的電場E為外加電場E與極化電荷的電場E的疊加。外電場0p的電位為(r,)ExErcos而感應電荷的電位(r,)應與(r,)一000in0樣按變化，則空腔內(nèi)、外的電位分別為cos和的邊界條件為(r,)(r,)12①r時，(r,)Ercos；20②r0時，為有限值；(r,)112r③ra時，(a,)，(a,)r120由條件①和②，可設(ra)(ra)(r,)ErcosArcos101cos(r,)ErcosAr1202E帶入條件③，有1，AEa2AaAaA12000102A由此解得所以0E，A0a2E0102002(r,)(ra)(ra)Ercos01(r,)[10a0r()2]Ercos020一個半徑為b、無限長的薄導體圓柱面被分割成四個四分之一圓柱面，如題圖所示。第二象限和第四象限的四分之一圓柱面接地，第一y0U0oxbU00題圖象限和第三象限分別保持電位U和U。求圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)。00解由題意可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)滿足邊界條件為①為有限值；(0,)23232202U00②；(b,)U00由條件①可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)的通解為(r,)rn(AsinnBcosn)(rb)nnn1代入條件②，有bn(AsinnBcosn)(b,)nnn1由此得到1132022U[UsinndUsinnd]0An(b,)sinnd(1cosn)bnbnbnn0002U,n1,3,5,0nbn0，n2,4,6,112[UcosndUcosnd]03202Bn(b,)cosndbnbn002Un33n(1)0nbn,n1,3,5,n2,4,6,U(sinnsin2)20bnn20，(r,)2U1(r)n[sinn(1)cosn]故n3(rb)02nbn1,3,5,如題圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為a、介電常數(shù)為，在距離軸線()處，有一與圓柱平行的線電荷q，計算空間各部分的電位。rra00l解在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位ql均為線電荷的疊加，即與極化電荷的電位r(,)(r,)的電位q(r,)llp。線電荷(r,)(r,)(r,)q的電位為lplq2lq2l(r,)lnr2r22rrcos00（1）lnRl00y0aqolxr0題圖而極化電荷的電位(r,)滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱p內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為(r,)(r,)12①為有限值；②(r,)(r,)(r)(0,)12l12r0③ra時，,r12由條件①和②可知，和的通解為(r,)(r,)12(r,)(r,)Arncosn(0ra)1lnn1（2）（3）(r,)(r,)Brncosnn(ar)2ln1將式（1）～（3）帶入條件③，可得到ncosnAancosnBannn1n1（4）lnRq2lr(AnaBna)cosn()n1n1nn00ran10（5）1r()ncosnnr當rr時，將lnR展開為級數(shù)，有l(wèi)nRlnr00n10（6）()qa()帶入式（5），得（7）n1cosn(AnaBna)cosnnn1n10l2rrn0n1n1000由式（4）和（7），有AanBannn0l2rr()qaAnaBnan()n1n1n1n000q()a2n0q()1由此解得An，Bnl0l)nrn2(02()nrn000000故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為)nrq2lq()1r(r,)()ncosnlnr2r22rrcos（8）（9）l2(0100n100q(0)01aq2l(r,)lnr2r22rrcos2()ncosnl0)nrrn102002(000討論：利用式（6），可將式（8）和（9）中得第二項分別寫成為q()()ncosn(lnRlnr)q()1rl0l02()nr2()0n10000q()0q()1a2(lnRlnr)()ncosnl0l02()nrr02()n10000其中R和分別寫成為(r,)(r,)。因此可將r2(a2r)22r(a2r)cos1200q()2()12qlnR0l(r,)lnrl02100000q1()q1()qllnR20(r,)lnRllnr2l2020000020由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于（r,0）的線電荷ql00的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別a(,0)為：位于（r2的線電荷q；位于r0的,0）的線電荷q；位于0r0l0l00線電荷q。l0將上題的介質(zhì)圓柱改為導體圓柱，重新計算。解導體圓柱內(nèi)的電位為常數(shù)，導體圓柱外的電位(r,)均為線電荷（1）q的電位(r,)與感應電荷的電位(r,)的疊加，即ll(r,)(r,)(r,)in。線電荷q的電位為linlq2lq2l(r,)lnr2r22rrcoslnRl0000而感應電荷的電位的偶函數(shù)。滿足拉普拉斯方程，且是(,)rin(r,)滿足的邊界條件為①(r,)(r,)(r)；l②(a,)C。由于電位分布是的偶函數(shù)，并由條件①可知，(r,)的通解為（3）ncosn（2）(r,)(r,)Arlnn0將式（1）和（2）帶入條件②，可得到q2lAancosnCnlna2r22arcos00n0將0lna2r22arcos展開為級數(shù)，有001a()ncosnlna2r22arcoslnrnr0000n1（4）帶入式（3），得nrq2l[lnr1(a)ncosn]AancosnCn（5）0n0n100qqa2由此可得，AAClnr0()n2nr2ll0n000故導體圓柱外的電為q2l(r,)lnr2r22rrcos000qq2l1a2（6）(Clnr)0()cosnn2lnrr0n100討論：利用式（4），可將式（6）中的第二項寫成為q2l1a2q2l(lnRlnr)()ncosnnrr0n100其中R。因此可將寫成為r2(a2r)22r(a2r)cos(r,)00q2lq2lq2lq2l(r,)lnRlnRlnrClnr00000由此可見，導體圓柱外的電位相當于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：0）的線電荷q；位于aq；位于r0的線電荷q。ll位于（r,2(,0)的線電荷r0l0在均勻外電場EeEa的導體球，設（1）導體充中放入半徑為0z0電至U布。Q。試分別計算兩種情況下球外的電位分；（2）導體上充有電荷0解（1）這里導體充電至U應理解為未加外電場E時導體球相對00于無限遠處的電位為U，此時導體球面上的電荷密度Ua，總電荷000。將導體球放入均勻外電場E中后，在E的作用下，產(chǎn)生感00q4aU00應電荷，使球面上的電荷密度發(fā)生變化，但總電荷仍保持不變，導體q球仍為等位體。設(r,)(r,)(r,)，其中0in(r,)EzErcos000(r,)是均勻外電場的電位，是導體球上的電荷產(chǎn)生的電位。E0in電位滿足的邊界條件為(r,)①r時，(r,)Ercos；0dSq②ra時，，(a,)C0r0S的參考點，可使CU其中C為常數(shù)，若適當選擇(r,)。002cosBr0由條件①，可設(r,)ErcosAr1C011，CCU101代入條件②，可得到，Aa3E1BaU1000若使CU，可得到1(r,)Ercosa3Er2cosaUr00000Q4a（2）導體上充電荷Q時，令Q4aU0，有0U00Q4r利用（1）的結(jié)果，得到2cos(r,)Ercosa3Er000如題圖所示，無限的大介質(zhì)中外加均勻電場EeE，在介質(zhì)中有0z0一個半徑為a的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場E和空腔表面的極化電荷密度（介質(zhì)的介電常數(shù)為）。解在電場E的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，0空腔內(nèi)、外的電場E為外加電場E的疊加。設空腔與極化電荷的電場E0p內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為(r,)(r,)12①②r時，；(r,)Ercos20r0時，為有限值；(r,)112rr③ra時，(a,)(a,)2，10由條件①和②，可設(r,)ErcosArcos101ao0zE0題圖帶入條件③，有(r,)ErcosAr2cos202，AAaAa2E2a3AE01200102由此解得所以，AA1Ea3E0020202030Ercos0(r,)2102ra()3]Ercos02(r,)[100空腔內(nèi)、外的電場為32E(r,)E11002()E0(a)3[e2cosesin]E(r,)E00rr220空腔表面的極化電荷面密度為3()nP()eErEcos002如題圖所示，空心導體球殼的內(nèi)、外半徑分別為2ra02ra0p0rr和，球的中心12放置一個電偶極子p，球殼上的電荷量為Q。試計算球內(nèi)、外的電位分布和球殼上的電荷分布。解導體球殼將空間分割為內(nèi)外兩個區(qū)域，電偶極子p在球殼內(nèi)表面上引起感應電荷分布，但內(nèi)表面上的感應電荷總量為零，因此球殼外表面上電荷總量為Q，且均勻分布在外表面上。球殼外的場可由高斯定理求得為rr1o2pzQ題圖QE(r)e2r4r20Q4r(r)20Q外表面上的電荷面密度為4r222設球內(nèi)的電位為(r,)(r,)(r,)，其中1pinpcosp(r,)P(cos)04r4rp2210是電偶極子p的電位，是球殼內(nèi)表面上的感應電荷的電位。(,)rin滿足的邊界條件為(r,)in①為有限值；(0,)in②，所以，即(,)(,)()(r,)(r)2r1rr22112inp1Qp01(r,)P(cos)4r4rin12102(r,)ArnP(cos)由條件①可知(,)的通解為rininnnn0pQ由條件②，有比較兩端ArnP(cos)nP(cos)014r4rn121n0的系數(shù)，得到02P(cos)nQpA，A1，4r4r030201A0(n2)nQp(1r)cosrr23最后得到(r,)104r4021球殼內(nèi)表面上的感應電荷面密度為13pcosrrr14r10n1rr03113p感應電荷的總量為q1dScos2r2sind04r13110SzeraHHo12題圖欲在一個半徑為a的球上繞線圈使在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場，問線圈應如何繞（即求繞線的密度）解設球內(nèi)的均勻場為，球外的場為，如題HeH(ra)zH(ra)210圖所示。根據(jù)邊界條件，球面上的電流面密度為Jn(HH)e(HeH)S21rareHsin02z0raeHr2ra若令eH0，則得到球面上的電流面密度為JeHsinr2raS0這表明球面上的繞線密度正比于sin，則將在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場。一個半徑為R的介質(zhì)球帶有均勻極化強度P。（1）證明：球內(nèi)的電場是均勻的，等于P；0（2）證明：球外的電場與一個位于球心的偶極子P產(chǎn)生的電場相同，4R3。3解（1）當介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會形成極化電荷分布，本題中所zPoR題圖求的電場即為極化電荷所產(chǎn)生的場。由于是均勻極化，介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的電位滿足拉普拉斯方程，可用分離變量法求解。建立如題圖所示的坐標系，則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為PnPePcospr介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為12為有限值；①(0,)1②(r,)0(r)；2③(R,)(R,)12)Pcos2rrrR(10因此，可設球內(nèi)、外電位的通解為(r,)Arcos11B(r,)cos12r2B2B1)P由條件③，有，AR1(A1R31R20PR3解得AP，3B13100于是得到球內(nèi)的電位(r,)PPrcos3z3100PP故球內(nèi)的電場為Eez331100（2）介質(zhì)球外的電位為14R3P4r23PPR3(r,)coscoscos4r203r2200其中4R3為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為32e12P(e2cosesin)rE(r,)e2rrrr4r032可見介質(zhì)球外的電場與一個位于球心的偶極子P產(chǎn)生的電場相同。半徑為a的接地導體球，離球心r(raq，如題)處放置一個點電荷11圖所示。用分離變量法求電位分布。解球外的電位是點電荷的電位與球面上感應電荷產(chǎn)生的電位的疊加，感應電荷的電位滿足拉普拉斯方程。用分離變量法求解電位分布時，將點電荷的電位在球面上按勒讓德多項式展開，即可由邊界條件確定通解中的系數(shù)。設(r,)(r,)(r,)，其中0inq4Rq(r,)4r2r2rrcos020011是點電荷q的電位，是導體球上感應電荷產(chǎn)生的電位。(r,)in電位滿足的邊界條件為(r,)①r時，②ra時，；(r,)0。(a,)0zqr1ao題圖由條件①，可得(,)的通解為rin(r,)Arn1P(cos)innnn0為了確定系數(shù)A，利用1的球坐標展開式RnrnP(cos)(rr)1rn11nn01Rrn1n1P(cos)(rr)nn0r1q4an將在球面上展開為(a,)(r,)P(cos)n00rn110n0q4an代入條件②，有AaP(cos)P(cos)0n1rn1nnnn00n01qa2n1比較P(cos)的系數(shù)，得到An4r1nn01q4R4qa2n1故得到球外的電位為(r,)P(cos)n(rr)n11的第二項與1的球坐標展開式比較，可得到n000討論：將(r,)Ra2n1ar1P(cos)n(rr)r2(a2r)22r(a2r)cosn1n0111由此可見，(r,)的第二項是位于的電位，此電荷正是球面上感應電荷的等效電荷，即像電荷。所產(chǎn)生的一個點電荷qqar1ra2r1zP(r,)aoRra題圖一根密度為q、長為2a的線電荷沿z軸放置，中心在原點上。證l明：對于ra的點，有qaaa53(r,)2lP(cos)P(cos)r3r5r53240解線電荷產(chǎn)生的電位為R1dz4ql1q4l(r,)aadzr2z2rzcos20a0a對于ra的點，有(z)n1P(cos)nr2z2rzcosrn12n0故得到(z)nq4la(r,)P(cos)dzrn10n0a1a(a)q4ln1n1qaa3a5P(cos)P(cos)P(cos)2l0n1rn1一個半徑為a的細導線圓環(huán)，環(huán)與xy平面重合，中心在原點上，rr325r54n30n0環(huán)上總電荷量為Q，如題圖所示。證明：空間任意點電位為11r22a3r8aQ41P(cos)P(cos)(ra)4a240Q4r11a2r23a8r4P(cos)P(cos)(ra)2240解以細導線圓環(huán)所在的球面ra把場區(qū)分為兩部分，分別寫出兩個場域的通解，并利用函數(shù)將細導線圓環(huán)上的線電荷Q表示成球面ra上的電荷面密度22a2Q2a2Q(cos)(coscos)z再根據(jù)邊界條件確定系數(shù)。設球面ra內(nèi)、外的電位分別為和(r,)1ao(r,)，則邊界條件為：y2①為有限值；(0,)1x②(r,)0(r)2③(a,)(a,)，題圖12rr2)Q(cos)(12a20ra根據(jù)條件①和②，可得和的通解為(r,)(r,)12(r,)ArnP(cos)n1nn0（1）(r,)Brn1P(cos)2nnn0（2）代入條件③，有AanBan1nn（3）Q(cos)[Anan1B(n1)an2]P(cos)（4）2a2nnnn00將式（4）兩端同乘以P對進行積分，(cos)sin，并從0到m得(2n1)QAnaB(n1)an2(cos)P(cos)sindnn14a2nn00(2n1)QP(0)（5）4a2n00n1,3,5,n2,4,6,其中P(0)n(1)n2135(n1)246nQQanP(0)由式（3）和（5），解得P(0)，BAn44an1nnn00代入式（1）和（2），即得到2a3rQ11r244P(cos)P(cos)(ra)4a8a12403aQ4r11a2P(cos)P(cos)(ra)2r8r2240一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移到無窮遠處，需要作多少功解利用鏡像法求解。當點電荷q移動到距離導體平面為x的點P處時，其像電荷qq，與導體平面相距為，xx如題圖所示。像電荷q在點P處產(chǎn)生的電場為qqxqE(x)ex4(2x)2xxo0所以將點電荷q移到無窮遠處時，電場所作的功為xqE(x)drq2q216d題圖Wedxd4(2x)2d00q2外力所作的功為WW16doe0如題圖所示，一個點電荷q放在的接地導體角域內(nèi)的點(1,1,0)60處。求：（1）所有鏡像電荷的位置和大?。唬?）點x2,y1處的電位。解（1）這是一個多重鏡像的問題，共有5個像電荷，分布在以點電荷q到角域頂點的距離為半徑的圓周上，并且關于導體平面對稱，其電荷量的大小等于q，且正負電荷交錯分布，其大小和位置分別為x2cos750.366q,12sin751.366y1x2cos1651.366yq1q1q(2,1,0)qq,22sin1650.366(1,1,0)2yq2q3260x2cos1951.366q,3xq2sin1950.366x2cos2850.3663oy3q5q4qq,42sin2851.3664題圖y4x2cos3151qq,5y5x2,y12sin3151處電位5（2）點q1qqqqq4(2,1,0)41235RRRRRR012340.3215q4(10.5970.2920.2750.3480.477)4一個電荷量為q、質(zhì)量為m的小帶電體，放置在無限大導體平面下q2.88109q(V)00方，與平面相距為h。求q的值以使帶電體上受到的靜電力恰與重力相平衡（設m2103kg，h0.02m）。解將小帶電體視為點電荷q，導體平面上的感應電荷對q的靜電力等于鏡像電荷q對q的作用力。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷為qq，位q2于導體平面上方為h處，則小帶電體q受到的靜電力為fe4(2h)20q2令f的大小與重力mg相等，即mg4(2h)20Ce于是得到q4hmg5.91080zzzqqqqR1hhPhR200oooRhP0q圖c題圖（）a題圖（）b題圖（）如題（a）圖所示，在z0的下半空間是介電常數(shù)為的介質(zhì)，上半空間為空氣，距離介質(zhì)平面距為h處有一點電荷q，求：（1）z0和z0的兩個半空間內(nèi)的電位；（2）介質(zhì)表面上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷q。解（1）在點電荷q的電場作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題圖（b）、（c）所示）0q，位于zhq0q0q，位于zh0上半空間內(nèi)的電位由點電荷q和鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即qqq11104R4R4()()rzhrzh222201000下半空間內(nèi)的電位由點電荷q和鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即qqq124R2()()rzh2220（2）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為zz()hq0((EE)01z2zz00z0nPP)212()(r2h2)32p12z00極化電荷總電量為()qqP()hqdr00r(r2h2)32qdS2rdr0PPS000一個半徑為R的導體球帶有電荷量為，在球體外距離球心為D處Q有一個點電荷q。（1）求點電荷q與導體球之間的靜電力；（2）證明：當q與Q同號，且QqRD()3RD成立時，F(xiàn)表現(xiàn)為吸引力。DR222解（1）導體球上除帶有電荷量Q之外，點電荷q還要在導體球上感應出等量異號的兩種不同電荷。根據(jù)鏡像法，像電荷q和q的大小和位置分別為（如題圖所Dd示）QqqzoqRR2R，qqdDDR，