第三章多維隨機變量及其分布第一節(jié)二維隨機變量及其分布第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)相互獨立的隨機變量第四節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布大綱要求：1了解二維隨機變量的概念及其實際意義，理解二維隨機變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。2理解二維隨機變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分布的關(guān)系。3掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。4理解隨機變量的獨立性。5會求二維隨機變量的和、及多維隨機變量的極值分布。6了解n維隨機變量的概念及其分布。二、分布函數(shù)三、二維離散型隨機變量四、二維連續(xù)型隨機變量第一節(jié)二維隨機變量一、多維隨機變量實例1炮彈的彈著點的位置(X,Y)就是一個二維隨機變量.二維隨機變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X、Y有關(guān),而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系.實例2考查某一地區(qū)學前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H和體重W就構(gòu)成二維隨機變量(H,W).說明

二、分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，(x,y)R2,則稱

F(x,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。

對于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2，y1<Yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)

若二維隨機變量(X,Y)所取的可能值是有限對或無限可列多對,則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量.三、二維離散型隨機變量

1.定義2.二維離散型隨機變量的分布律

解且由乘法公式得例11.定義四、二維連續(xù)型隨機變量表示介于p(x,y)和xOy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.3.說明Ox

yG

p(x,y)例2(2)區(qū)域

G={(x，y)

|

y≤x}表示的是直線

y=x

的下半部分，而聯(lián)合密度函數(shù)只有在

x，y同時都

＞0

才取值為

2e－(2x＋y)。因此，

P{Y≤X}實際上是函數(shù)

2e－(2x＋y)在圖中

G

0

上的二重積分。

4.兩個常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布

若二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布。

易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布,對D內(nèi)任意區(qū)域G，有其中，1、2為實數(shù)，1>0、2>0、|

|<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,2,1,2,的二維正態(tài)分布，可記為

(2)二維正態(tài)分布

若二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為解例1備份題二、離散型隨機變量的邊緣分布律三、連續(xù)型隨機變量的邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)四、小結(jié)3.2邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)

為隨機變量(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).二、離散型隨機變量的邊緣分布律

例1已知(X,Y)的分布律，求其邊緣分布律.注意聯(lián)合分布邊緣分布解三、連續(xù)型隨機變量的邊緣分布同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.解例2例3

設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度.

x=yx=-y例4解由于于是則有即同理可得二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布,請同學們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?不一定.舉一反例以示證明.答因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.一、定義3.3相互獨立的隨機變量二、小結(jié)

兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.設(shè)X,Y是兩個隨機變量，若對任意的x,y,有

則稱X,Y相互獨立.定義用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個隨機變量，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.它表明，兩個隨機變量相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積.其中是X,Y的聯(lián)合密度，成立，則稱X,Y相互獨立.若對任意的x,y,有若(X,Y)是連續(xù)型隨機變量,則上述獨立性的定義等價于：分別是X和Y的邊緣密度.若(X,Y)是離散型隨機變量，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有解例1(1)由分布律的性質(zhì)知特別有又(2)因為X與Y相互獨立,所以有

例2設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？x>0

即：對一切x,y,均有：故X,Y獨立y>0解：例3

一負責人到達辦公室的時間均勻分布在8~12時,他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在7~9時,設(shè)他們兩人到達的時間相互獨立,求他們到達辦公室的時間相差不超過5分鐘的概率.

解于是解由于X與Y相互獨立,例4小結(jié)1.若離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為獨立性二、離散型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布四、小結(jié)一、問題的引入3.4兩個隨機變量的函數(shù)的分布為了解決類似的問題,下面我們討論兩個隨機變量函數(shù)的分布.一、問題的引入例1設(shè)兩個獨立的隨機變量X與Y的分布律為求隨機變量Z=X+Y的分布律.得因為X與Y相互獨立,所以解二、離散型隨機變量函數(shù)的分布可得所以結(jié)論三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

1.Z=X+Y的分布由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對稱,當X,Y獨立時,例2設(shè)兩個獨立的隨機變量X與Y都服從標準正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.得說明

有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.

例如，設(shè)X、Y獨立，都具有正態(tài)分布，則3X+4Y+1也具有正態(tài)分布.為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例3若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積