第一部分信號(hào)處理與分析第七章采樣定理2023/3/232第七章采樣定理主要內(nèi)容：1）采樣定理：在一定的條件之下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用該信號(hào)在等間隔點(diǎn)上的值或樣本表示；也就是說(shuō)，利用這些離散樣本值可以把原來(lái)的信號(hào)全部恢復(fù)出來(lái)。2）采樣定理在連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之間起到了橋梁作用；而離散（或數(shù)字）信號(hào)處理技術(shù)有著連續(xù)信號(hào)處理技術(shù)不可比擬的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用使得數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)迅速發(fā)展。2023/3/233第七章采樣定理7.1用信號(hào)樣本表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)：采樣定理1.沖激串采樣通常用于理論推導(dǎo)，現(xiàn)實(shí)中不可行。一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，帶限的，即存在，使得（現(xiàn)實(shí)中的常用信號(hào)都可以近似為帶限信號(hào)）給定采樣周期T

，則采樣頻率為。利用沖激函數(shù)的采樣性質(zhì)，則可以構(gòu)造周期性的沖激串2023/3/234第七章采樣定理則采樣后得到的函數(shù)為：考慮它們的傅立葉變換：2023/3/235第七章采樣定理如果采樣頻率滿足將通過(guò)一個(gè)低通濾波器，其截止頻率滿足則得到：2023/3/236第七章采樣定理如果采樣頻率滿足將通過(guò)一個(gè)低通濾波器，其截止頻率滿足則得到：2023/3/237第七章采樣定理采樣定理：1）設(shè)是某一個(gè)帶限信號(hào)，即， 如果，其中，那么就唯一地由其樣本所確定。2）已知這些樣本值，我們可以重建：產(chǎn)生一個(gè)周期沖激串，其沖激幅度就是這些依次而來(lái)的樣本值。然后將該沖激串通過(guò)一個(gè)增益為T，截止頻率大于，但小于的理想低通濾波器，該濾波器的輸出就是。通常稱為奈奎斯特率。2023/3/238第七章采樣定理2.零階保持采樣實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)通常采用零階保持進(jìn)行采樣。所謂零階保持，在某個(gè)瞬間對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，保持此采樣值直到下一個(gè)樣本被采到。2023/3/239第七章采樣定理事實(shí)上，此采樣過(guò)程得到的新信號(hào)具有如下關(guān)系：其中2023/3/2310第七章采樣定理如何由采樣后的信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)？利用前面的采樣定理，有2023/3/2311第七章采樣定理也就是說(shuō)，定義一個(gè)新的濾波器，滿足其中所以2023/3/2312第七章采樣定理7.2利用內(nèi)插由樣本重建信號(hào)內(nèi)插（插值）是采樣的反過(guò)程:如何從采樣樣本恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)本身？最簡(jiǎn)單的，線性插值；更復(fù)雜二次插值，多項(xiàng)式插值，樣條插值。按照采樣定理，如果采樣足夠密，則完全可以從采樣值無(wú)失真地恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)；事實(shí)上，恢復(fù)原信號(hào)的過(guò)程就是一個(gè)對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插的過(guò)程。2023/3/2313第七章采樣定理恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)需要一個(gè)理想低通濾波器，其截止頻率滿足條件則該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為因此，恢復(fù)信號(hào)為2023/3/2314第七章采樣定理即這種內(nèi)插方法通常稱為帶限內(nèi)插。當(dāng)然，零階保持也是一種簡(jiǎn)單的內(nèi)插。2023/3/2315第七章采樣定理7.3欠采樣效果：混疊現(xiàn)象當(dāng)采樣頻率不足夠大時(shí)，采樣信號(hào)的頻譜為原來(lái)信號(hào)的疊加（出現(xiàn)重疊），此時(shí)由采樣點(diǎn)通過(guò)帶限內(nèi)插不能恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)，這一現(xiàn)象稱為混疊。雖然此時(shí)的信號(hào)與原來(lái)的信號(hào)不相同，但在抽樣點(diǎn)上卻是相等的，即（見(jiàn)書(shū)后習(xí)題）2023/3/2316第七章采樣定理7.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間到離散時(shí)間轉(zhuǎn)換離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間到連續(xù)時(shí)間轉(zhuǎn)換2023/3/2317第七章采樣定理C/D轉(zhuǎn)換（A/D轉(zhuǎn)換器）和D/C轉(zhuǎn)換（D/A轉(zhuǎn)換器）：其中C/D轉(zhuǎn)換離散時(shí)間系統(tǒng)D/C轉(zhuǎn)換2023/3/2318第七章采樣定理1.C/D轉(zhuǎn)換（A/D轉(zhuǎn)換器）沖激串到離散時(shí)間序列的轉(zhuǎn)換C/D轉(zhuǎn)換2023/3/2319第七章采樣定理假設(shè)滿足采樣定理的要求。2023/3/2320第七章采樣定理2.D/C轉(zhuǎn)換其中，三個(gè)信號(hào)頻譜之間的關(guān)系與C/D轉(zhuǎn)換中的正好相反。離散時(shí)間序列到?jīng)_激串的轉(zhuǎn)換D/C轉(zhuǎn)換2023/3/2321第七章采樣定理3.利用離散時(shí)間濾波器實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)濾波器問(wèn)題：已知，如何設(shè)計(jì)？離散時(shí)間序列到?jīng)_激串的轉(zhuǎn)換沖激串到離散時(shí)間序列的轉(zhuǎn)換2023/3/2322第七章采樣定理考慮各過(guò)程所涉及到的頻譜關(guān)系：2023/3/2323第七章采樣定理容易得到頻譜之間的關(guān)系：1.D/C轉(zhuǎn)換2.離散濾波器3.C/D轉(zhuǎn)換2023/3/2324第七章采樣定理所以可以得到兩個(gè)濾波器之間的關(guān)系：或在一個(gè)周期內(nèi)2023/3/2325第七章采樣定理7.5離散時(shí)間信號(hào)采樣1.脈沖串采樣2023/3/2326第七章采樣定理則比較信號(hào)頻譜之間的關(guān)系：2023/3/2327第七章采樣定理若采樣頻率滿足：此時(shí)將采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器，其截止頻率滿足：則有2023/3/2328第七章采樣定理若采樣頻率滿足：此時(shí)存在混疊。此時(shí)將采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器，其截止頻率滿足：則有2023/3/2329第七章采樣定理離散時(shí)間下的帶限內(nèi)插公式：同樣，也可以近似的取零階保持等近似內(nèi)插形式。2023/3/2330第七章采樣定理2.離散時(shí)間抽取與內(nèi)插抽?。夯颉?023/3/2331第七章采樣定理則抽取信號(hào)的頻譜為：或2023/3/2332第七章采樣定理抽取的過(guò)程通常被稱為減采樣（downsampling）：如果是某個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣，若將繼續(xù)進(jìn)行抽取，而不會(huì)引起混疊，則原來(lái)采樣頻率可以降低。2023/3/2333第七章采樣定理減采樣的反過(guò)程稱為增采樣（upsampling）或內(nèi)插。已知，先進(jìn)行時(shí)域擴(kuò)展得到，然后將通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器（帶限內(nèi)插），就可以得到已知信號(hào)的增采樣?！?023/3/2334第七章采樣定理按照前面的采樣不發(fā)生混疊的條件，應(yīng)該有其中N

為正整數(shù)。則僅僅對(duì)那些帶寬小于等于的信號(hào)才有可能實(shí)現(xiàn)減采樣；而對(duì)于帶寬的信號(hào)則利用前面的過(guò)程不能實(shí)現(xiàn)減采樣。2023/3/2335第七章采樣定理事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)將抽取和內(nèi)插結(jié)合起來(lái)來(lái)實(shí)現(xiàn)更進(jìn)一步的減采樣。例考慮序列