課基層級(jí)訓(xùn)練(十四)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性[A級(jí)基礎(chǔ)加強(qiáng)訓(xùn)練]1．(2019·湖北八校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a>0)的單一遞加區(qū)間為( )11A．0，，＋∞aB．a(chǎn)C．1D．(－∞，a)－∞，a110，1A[由f′(x)＝x－a>0，得0<x<a，∴f(x)的單一遞加區(qū)間為a.]2．(2019·山東聊城月考)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單一遞加區(qū)間是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)D[由于f(x)＝(x－3)ex，則f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的單一遞加區(qū)間為(2，＋∞)．]3．(2019·重慶涪陵月考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f′(x)的圖象大概是( )[設(shè)g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函數(shù)f′(x)在R上單一遞加．]4．已知函數(shù)f(x)＝12x3＋ax＋4，則“a＞0”是“f(x)在R上單一遞加”的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件1A[f′(x)＝32x2＋a，當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)>0，即a>0時(shí)，f(x)在R上單一遞加，由f(x)在R上單一遞加，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上單一遞加”的充分不用要條件．]5．(2019·廣西欽州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈(－1∞，1)時(shí)，(x－1)f′(x)<0，設(shè)a＝f(0)，b＝f2，c＝f(3)，則()A．a(chǎn)<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a1C[依題意得，當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<2<1，11所以有f(－1)<f(0)<f2，即有f(3)<f(0)<f2，c<a<b.]ex6．(2019·四川成都月考)函數(shù)f(x)＝x的單一遞減區(qū)間是__________.(－∞，0)，(0,1)[f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝ex·x－ex－，令f′(x)＜0，解得x＜1，故f(x)在(－∞，0)，x2＝x2(0,1)遞減．]7.(2019·遼寧阜新二中月考)若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)內(nèi)單一遞減，則實(shí)數(shù)a的范圍為__________.≥3[∵函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)內(nèi)單一遞減，∴′(x)＝32－2≤0在(0,2)afxax內(nèi)恒建立．即≥3在(0,2)內(nèi)恒建立．a(chǎn)2x3t＝2x在(0,2)上的值域?yàn)?0,3)，∴a≥3.]π8．若f(x)＝xsinx＋cosx，則f(－3)，f2，f(2)的大小關(guān)系為________.f(－3)＜f(2)＜fπ[函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)．2又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，2當(dāng)x∈π，π時(shí)，f′(x)≤0.2π所以f(x)在區(qū)間2，π上是減函數(shù)，π所以f2＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．]9．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a>0)．試議論f(x)的單一性．解由題意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，令f′(x)＝0，解得x＝0，x2－2a＝.12a①當(dāng)0<<1時(shí)，f()的單一遞加區(qū)間為(－∞，0)和2－2a，＋∞，單一遞減區(qū)間為axa0，2－2a；a②當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)單一遞加；③當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的單一遞加區(qū)間為－∞，2－2a和(0，＋∞)，單一遞減區(qū)間為a2－2a.a，010．(2018·河北邯鄲考前保溫卷)已知函數(shù)x－x2－ax.f(x)＝e若函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程為y＝2x＋b，求a，b的值；(2)若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，務(wù)實(shí)數(shù)a的最大值．解(1)∵f(x)＝ex－x2－ax，∴f′(x)＝ex－2x－a，則f′(0)＝1－a.由題意知1－a＝2，即a＝－1.f(x)＝ex－x2＋x，則f(0)＝1.于是1＝2×0＋b，b＝1.(2)由題意f′(x)≥0，即ex－2x－a≥0恒建立，∴a≤ex－2x恒建立．3x－2x，則x－2.設(shè)h(x)＝eh′(x)＝e∴當(dāng)x∈(－∞，ln2)時(shí)，h′(x)＜0，h(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(ln2，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，h(x)為增函數(shù)．∴h(x)min＝h(ln2)＝2－2ln2.a≤2－2ln2，即a的最大值為2－2ln2.[B級(jí)能力提高訓(xùn)練]11．若函數(shù)f(x)＝1x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上不但一，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是3( )A．(－∞，－3]B．(－3,1)C．[1，＋∞)D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)1[由于f(x)＝3x3－x2＋ax－5，所以f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函數(shù)f(x)＝1x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上單一，那么a－1≥0或3－，解得a≥1或a≤－3，，于是知足條件的a∈(－3,1)．]12．定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)y＝f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒建立，其中y＝f′(x)為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則( )A．8<<16B．4<<8C．3<<4D．2<<3B[∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0，4∴－＝－x2′＝>0，x4x3∴y＝在(0，＋∞)上單一遞加，x2∴>，即>4.2212∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，∴′＝－＝－<0，x3x6x4∴y＝在(0，＋∞)上單一遞減，x3∴<13，即<8.綜上，4<<8.]2313．(2019·山東臨沂檢測(cè))若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且知足f(2)＝2，f′(x)>1，則不等式f(x)－x>0的解集為__________.(2，＋∞)[令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由題意知g′(x)>0，∴g(x)為增函數(shù)．∵g(2)＝(2)－2＝0，∴()>0的解集為(2，＋∞)．]fgx1312214．若函數(shù)f(x)＝－3x＋2x＋2ax在，＋∞上存在單一遞加區(qū)間，則a的取值范圍3是__________.1[對(duì)f(x)求導(dǎo)，得－，＋∞92121f′(x)＝－x＋x＋2a＝－x－2＋4＋2a.22221當(dāng)x∈3，＋∞時(shí)，f′(x)的最大值為f′3＝9＋2a.令9＋2a>0，解得a>－9，所以a的取值范圍是－1，＋∞.]915．(2019·云南大理質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋k(k為常數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，exf(1))處的切線與x軸平行．5務(wù)實(shí)數(shù)k的值；求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間．1－lnx－k解x(x>0)．(1)f′(x)＝ex1－k又由題知f′(1)＝e＝0，所以k＝1.1x－lnx－1(2)f′(x)＝(x>0)．ex111設(shè)h(x)＝x－lnx－1(x＞0)，則h′(x)＝－x2－x＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上單一遞減．由h(1)＝0知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h(x)＞0，所以f′(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.綜上，f(x)的單一遞加區(qū)間是(0,1)，單一遞減區(qū)間是(1，＋∞)．b16．已知x＝1是f(x)＝2x＋x＋lnx的一個(gè)極值點(diǎn)．求函數(shù)f(x)的單一遞減區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)(x)＝(x)－3＋a，若函數(shù)()在區(qū)間[1,2]內(nèi)單一遞加，求a的取值范圍．gfxgxb1解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2－x2＋x.b∵x＝1是f(x)＝2x＋x＋lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，經(jīng)查驗(yàn)，合適題意，∴b＝3.6312x2＋x－3∵f′(x)＝2－x2＋x＝x2，解f′(x)≤0，得0＜x≤1.∴函數(shù)f(x)的單一遞減區(qū)間為(0,1]．3＋aa(2)g(x)＝f(x)－x＝2x＋lnx－x(