連續(xù)型隨機變量及其概率密度演示文稿當前1頁，總共50頁。（優(yōu)選）連續(xù)型隨機變量及其概率密度當前2頁，總共50頁。則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度

.二、連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義有,使得對任意實數(shù)

,

對于隨機變量X,如果存在非負可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在上連續(xù)當前3頁，總共50頁。三、概率密度的性質1o2o【注】這兩條性質是判定一個函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件0xf(x)面積為1當前4頁，總共50頁。利用概率密度可確定隨機點落在某個范圍內的概率對于任意實數(shù)x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在點x處連續(xù),則有0xf(x)x1x2當前5頁，總共50頁。

故X的密度f(x)在x這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質量，f(x)相當于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點，則對f(x)的進一步理解:當前6頁，總共50頁。若不計高階無窮小，有表示隨機變量X取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.當前7頁，總共50頁。

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度(取值)，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.f(x)xoa當前8頁，總共50頁。(1)連續(xù)型r.v取任一指定實數(shù)值a的概率均為0.即這是因為連續(xù)型r.v的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的，且請注意:當時得到當前9頁，總共50頁。(2)對連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出由此可以得到如下結論：當前10頁，總共50頁。當前11頁，總共50頁。當前12頁，總共50頁。當前13頁，總共50頁。當前14頁，總共50頁。例2當前15頁，總共50頁。故有解(1)因為X是連續(xù)型隨機變量,當前16頁，總共50頁。當前17頁，總共50頁。當前18頁，總共50頁。例3設隨機變量X的概率密度函數(shù)為：且求（1）a,b的值；（2）解（1）當前19頁，總共50頁。解之得（2）當前20頁，總共50頁。1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X～U(a,b)三、常見的連續(xù)型隨機變量若r.vX的概率密度為：記作當前21頁，總共50頁。當前22頁，總共50頁。

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；當前23頁，總共50頁。

例2

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解依題意，

X～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位當前24頁，總共50頁。為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達車站.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，當前25頁，總共50頁。指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.2.指數(shù)分布

若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.當前26頁，總共50頁。若X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為事實上,當時,當時,當前27頁，總共50頁。例5設某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為θ=2000的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)有一只這種燈管已經正常使用了1000小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

X的分布函數(shù)為解當前28頁，總共50頁。當前29頁，總共50頁。指數(shù)分布的重要性質:“無記憶性”.當前30頁，總共50頁。3.正態(tài)分布若連續(xù)型r.vX的概率密度為其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布.記作當前31頁，總共50頁。事實上,當前32頁，總共50頁。函數(shù)在上單調增加,在上單調減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個拐點的橫坐標；當前33頁，總共50頁。當x→∞時，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.當前34頁，總共50頁。決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點當前35頁，總共50頁。

設X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)當前36頁，總共50頁。正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布當前37頁，總共50頁。的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標準正態(tài)分布當前38頁，總共50頁。的性質:事實上,當前39頁，總共50頁。

標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.定理1當前40頁，總共50頁。證Z的分布函數(shù)為則有當前41頁，總共50頁。根據(jù)定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.于是當前42頁，總共50頁。書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.正態(tài)分布表當x<0時,表中給的是x>0時,Φ(x)的值.當前43頁，總共50頁。若若X～N(0,1),~N(0,1)

則當前44頁，總共50頁。由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743準則當前45頁，總共50頁。將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布,

可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內.這在統(tǒng)計學上稱作“3準則”.~N(0,1)

時，當前46頁，總共50頁。標準正態(tài)分布的上分位點設若數(shù)滿足條件則稱點為標準正態(tài)分布的上分位點.當前47頁，總共50頁。當前48頁，總共50頁。解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h

.應用正態(tài)分布的例子:

例6

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?設車門高度為hcm,按設計要求當前49頁，總共50頁。因為X～N(170