綜合性問題

一.選擇題

1.（2015?湖北省武漢市，第10題3分）如圖，&ABC、△￡：尸G均是邊長為2的等邊三角

形，點(diǎn)。是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)AEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí),線

段長的最小值是（）

A.2-V34

B.V3+1/

【解析】先考慮讓AENG和ABCA重合，然后把AEPG繞點(diǎn)。順時(shí)針蠅，連結(jié)AG、

DG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等，旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)線段相等，容易發(fā)現(xiàn)/AOG=/F￡>C,D4=OG,

DF=DC,故/￡>FC=/OCF=/D4G=/QG4.又根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可知

ZFDG=9Q0,所以N。尸G+/￡）GF=90°,即NO/C+NCFG+/DGF=90°.所以

ZAMC=ZMGF+ZCFG=ZAGD+ZDGF+ZCFG=ZDFC+ZDGF+ZCFG=90。.故點(diǎn)M始

終在以AC為直徑的圓上，作出該圓，設(shè)圓心為O,連結(jié)80與。。相交于點(diǎn)P,線段BP

的長即為線段8M長的最小值.BP=A。-0尸=百一1,故選D

【難點(diǎn)突破】本題發(fā)現(xiàn)點(diǎn)”始終在以AC為直徑的圓上是解題的重要突破口.考慮讓^EFG

和4BCA重合，然后把△EFG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出解題思路是分析有

關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的重要方法.

2.（2015?廣東佛山，第10題3分）下列給出5個(gè)命題:

①對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

②六邊形的內(nèi)角和等于720°

③相等的圓心角所對的弧相等

④順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形

⑤三角形的內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.

5個(gè)

考點(diǎn)：命題與定理.

分析：根據(jù)正方形的判定方法對①進(jìn)行判斷；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式對②進(jìn)行判斷；

根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對③進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和矩形

的判定方法對④進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)對⑤進(jìn)行判斷.

解答：解：對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以①錯(cuò)誤；

六邊形的內(nèi)角和等于720。，所以②正確；

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所以③錯(cuò)誤；

順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，所以④正確；

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，所以⑤錯(cuò)誤.

故選A.

點(diǎn)評：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題

設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以

寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理.

3.（2015?甘肅武威，第6題3分）下列命題中，假命題是（）

A.平行四邊形是中心對稱圖形

B.三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

C.對于簡單的隨機(jī)樣本，可以用樣本的方差去估計(jì)總體的方差

D.若x2=y2,則x=y

考點(diǎn)：命題與定理；有理數(shù)的乘方；線段垂直平分線的性質(zhì)；中心對稱圖形；用樣本

估計(jì)總體.

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、三角形外心的性質(zhì)以及用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的

數(shù)字特征和有理數(shù)乘方的運(yùn)算逐項(xiàng)分析即可.

解答：解：4、平行四邊形是中心對稱圖形，它的中心對稱點(diǎn)為兩條對角線的交點(diǎn)，故該

命題是真命題；

8、三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，為三角形的外心，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距

離相等，故該命題是真命題；

C、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征：主要數(shù)據(jù)有眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差

與方差，故該命題是真命題；

D、若x2=y2,則x=±y,不是A了，故該命題是假命題；

故選D.

點(diǎn)評：本題考查了命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)定義：符合事實(shí)真理的判斷是

真命題，不符合事實(shí)真理的判斷是假命題，不難選出正確項(xiàng).

4.（2015?浙江嘉興，第10題4分）如圖，拋物線產(chǎn)一N+2X+/W+1交x軸于點(diǎn)A（a,0）

和8（B,0）,交y軸于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為。.下列四個(gè)判斷：①當(dāng)x>0時(shí)，）>0；②若

a=—\,則6=4；③拋物線上有兩點(diǎn)P（xiji）和。（X2J2）,若xi<l<X2,且為+踐>2,貝I」

）1>”；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為E,點(diǎn)G,尸分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí),

四邊形EQFG周長的最小值為6在，其中正確判斷的序號(hào)是（▲）

（A）①（B）②（C）③（。）

④

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題..

分析：①根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出y的符號(hào)；

②根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸對稱，求出力的值；

③根據(jù)紅色>1,得到X|<1<X2,從而得到。點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出%>再；

2

④作。關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)。'，E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)b,連接QE,與。E的和即為四

邊形EDFG周長的最小值.求出。、E、。、的坐標(biāo)即可解答.

解答：解：①當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)圖象過二四象限，當(dāng)0<xVb時(shí)，y>0；當(dāng)時(shí)，y<0,

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②二次函數(shù)對稱軸為x=-2x（［］）=1，當(dāng)〃=-1時(shí)有解得b=3,故本選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

（3）VXI+X2>2,

2

又?.”1VI〈小

???。點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)，

＞J2＞故本選項(xiàng)正確;

④如圖，作。關(guān)于），軸的對稱點(diǎn)。，E關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)E',

連接D'E',DE與力E的和即為四邊形E￡＞尸G周長的最小值.

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，二次函數(shù)為產(chǎn)-N+2X+3,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=-1+2+3=4,D為（1,4）,則。

為（-1,4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0,3）；則E為（2,3）,￡為（2,-3）；

則DE=d（2-1）（3-4）〈圾;DE={（-1-2）（4+3）2倔;

四邊形EQFG周長的最小值為揚(yáng)倔，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與不等式的關(guān)系、二次函數(shù)的對稱軸、函數(shù)

圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對稱--最短路徑問題等，值得關(guān)注.

5.（2015?深圳，第12題分）如圖，已知正方形A8CD的邊長為12,BE=EC,將正方形邊

C。沿OE折疊到。凡延長E尸交AB于G,連接。G,現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：

AADG^AFDG^GB=2AGt

△GDESBEF；S/BE產(chǎn)g在以上4個(gè)結(jié)論中，正確的有（）

4、1

B、2

C、3

D、4

【答案】C.

【解析】由折疊可知，DE=DC=DA,NDEF=NC=90。

ZDFG=ZA=90°

???工萬冊通長12

AM-AC-U『6

■AG?(ib?ir?

FiH；?x?6.HG-12r.

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汴，(r?6)6'

M?f:x-4.

A(>(?/?4.IK?-Mq,2/0.；紂；

MH-。〃?力￥1人向，-9>xm八年干集二木力

6.（2015?河南，第15題3分）如圖，正方形4BCC的邊長是16,點(diǎn)E在邊AB上，AE=3,

點(diǎn)尸是邊8c上不與點(diǎn)8、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AEB尸沿

EF折疊，點(diǎn)B落在夕處，若△C￡>Q恰為等腰三角形，則

。方的長為.

第15題

【分析】若△CD9恰為等腰三角形，判斷以C。為腰或?yàn)榈走叿譃槿N情況：①DBMDC；

@CB'=CD,③CB'=DB',針對每一種情況利用正方形和折疊的性質(zhì)進(jìn)行分析求解.

16或4遮【解析】本題考查正方形、矩形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，以及分類討論思想.?根

據(jù)題意，若△CO8'恰為等腰三角形需分三種情況討論：（1）若。夕=￡>C時(shí)，則。9=16

（易知點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C、B重合）；（2）當(dāng)CB，=C￡）時(shí)，??,EBuET,CB=CB'：.

點(diǎn)E、C在8夕的垂直平分線上，.1EC垂直平分8斤，由折疊可知點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，不符

合題意，舍去；⑶如解圖，當(dāng)CS=￡>&時(shí)，作8G_L4B與點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)

H.'：AB//CD,

-I

J.B'HLCD,"：CB'=DB',：.DH=-CD=S,:.AG=DH=8,：.GE^AG-AE=5,在R。8'EG

中，由勾股定理得89=12,..."〃=G〃一夕G=4.在心△中，由勾股定理得。8，=46，

綜上所述=16或4后.

第15題解圖

7.（2015?黑龍江綏化，第9題分）如圖，在矩形ABC。中，AB=10,BC=5.若點(diǎn)M、N

分別是線段ACAB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則8M+MN的最小值為（）

A.10B.8C.5>/3D.6

考點(diǎn)：軸對稱一最短路線問題..

分析：根據(jù)軸對稱求最短路線的方法得出M點(diǎn)位置，進(jìn)而利用勾股定理及面積法求出CC

的值，然后再證明△BCQs^cwC進(jìn)而求出CW的值，從而求出MC+NM的值.

解答：解：如圖所示：由題意可得出：作C點(diǎn)關(guān)于8。對稱點(diǎn)C，，交BD于點(diǎn)E,連接BC,

過點(diǎn)C作CW_L8C于點(diǎn)N,交BD于點(diǎn)、M,連接MC,此時(shí)CM+NM=CN最小,

；AB=10,BC=5,

在Rd28中，由勾股定理得：五芭于=5泥,

SAHCD^->BC-CD=-?BD?CE,

22

區(qū)里簪二疾，

BD5泥2

CC=2CE,

：.CC=4娓,

?：NC」BC,DC±BC,CELBD,

：.NBNC'=NBCD=NBEC=NBEC'=90。,

：.ZCCW+ZNCC=ZCBD+ZNCC=90°,

，NCC'N=NCBD,

:?叢BCDs叢CNC,

,CC，_NCy

??—i

BDBC

嚅的

：.NC'=8,

即BM+MN的最小值為8.

故選B.

點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及勾股定理的應(yīng)用和相似三角形的應(yīng)用,

利用軸對稱得出M點(diǎn)與N點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

8.（2015?黑龍江綏化，第10題分）如圖M8C￡>的對角線ACB。交于點(diǎn)O,平分/54。交

BC于點(diǎn)E,且NAOC=60。，48=抑7,連接0乩下列結(jié)論：①NC4￡>=30。②

SDABCD=AB-AC③OB=AB④OE上BC成立的個(gè)數(shù)有（）

4

D

B------F.-------火

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度

角的直角三角形..

分析：由四邊形A8C。是平行四邊形，得到NA8C=/A￡>C=60。，ZBAD=l20°,根據(jù)AE

平分/BAQ,得到/R4E=/E4￡>=60。推出△ABE是等邊三角形，由于AB=18C,得至UAE=

2

^C,得到△ABC是直角三角形，于是得到/CA￡>=30。，故①正確；由于ASA8,得到

S.ABCD=AB^AC,故②正確，根據(jù)OB=」BD,且叨>8C,得至ljA8#O8,故③錯(cuò)

22

誤；根據(jù)三角形的中位線定理得到OE=2AB,于是得到OE=±BC,故④正確.

24

解答：解：二?四邊形ABC。是平行四邊形，

ZABC=ZADC=60°,ZBAD=120°,

平分NBA。，

ZBAE=ZEAD=60°

.?.△ABE是等邊三角形，

：.AE=AB=BE,

\"AB=-BC,

2

：.AE=-BC,

2

ZBAC=90°,

...NC4O=30。，故①正確；

'：AC±AB,

??SoABCD=AB*AOf故②正確,

\'AB=-BC,OB=-BD,

22

"BD>BC,

J.ABWB,故③錯(cuò)誤；

,:CE=BE,CO=OA,

：.OE=-AB,

2

：.OE=^BC,故④正確.

4

故選C.

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平

行四邊形的面積公式，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.

二.填空題

1.（2015?黑龍江綏化，第18題分）如圖正方形ABC。的對角線相交于點(diǎn)O,△CEF是正

三角形，則NCEF=.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)..

分析：根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)，可得40=80,0E=0F,根據(jù)SSS可得

△A0E絲△80F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等，根據(jù)角的和差，可得答案.

解答：解：1?四邊形ABC。是正方形，

A0A=0B,ZAOB=90°.

「△OEF是正三角形，

：.OE=OF,ZEOF=60°.

在AAOE和ABO/中，

fOA=OB

<AE=BF，

OE=OF

A/\AOE^/\BOF(SSS),

NAOE=NBOF,

：./40E=(ZAOB-NEOF)+2

=(90°-60°)4-2

=15。，

故答案為15°.

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形、等邊三角形的性質(zhì)，利用SSS證明

三角形全等得出/40E=/80F是解題的關(guān)鍵.

2.（2015?黑龍江綏化，第21題分）在矩形ABCQ中，AB=4,BC=3,點(diǎn)P在AB上。若將

△D4尸沿。尸折疊，使點(diǎn)A落在矩形對角線上的4處，則AP的長為.

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）..

專題：分類討論.

分析：分兩種情況探討：點(diǎn)A落在矩形對角線8。上，點(diǎn)A落在矩形對角線4c上，在直

角三角形中利用勾股定理列出方程，通過解方程可得答案

解答：

解：①點(diǎn)A落在矩形對角線上，如圖1,

'：AB=4,BC=3,

：.BD=5,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD=A'D=3,AP=A'P,ZA=ZPA'D=90°,

：.BA'=2,

設(shè)AP=x,則BP=4-x,

；BP2=BA'2+PAJ

(4-x)2=x2+22,

解得:w

：.AP=-

2;

②點(diǎn)A落在矩形對角線AC上，如圖2,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知DPVAC,

△ABC,

.ADAB

??二，

APBC

...AP=-A-D---B-C-=-3--X-3-.9

AB44

點(diǎn)評：本題考查了折疊問題、勾股定理，矩形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)；解題

中，找準(zhǔn)相等的量是正確解答題目的關(guān)鍵.

3.（2015?四川成都，第25題4分）如果關(guān)于X的一元二次方程如2+辰+c=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程

的說法，正確的是.（寫出所有正確說法的序號(hào)）

①方程f_x_2=0是倍根方程;

②若(x—2)(/nx+")=0是倍根方程，則4/?r+5mn+〃？=0；

2

③若點(diǎn)(P，/在反比例函數(shù)y=—的圖像上，則關(guān)于x的方程外2+3x+q=o是倍根方

x

程；

④若方程o?+版+c=0是倍根方程，且相異兩點(diǎn)M(l+f，s)，N(4-f,s)都在拋物線

y=ax2+bx+c1.,則方程af+Z?x+c=0的一個(gè)根為°.

4

【答案】②③

【解析】：研究一元二次方程o?+法+c=0是倍根方程的一般性結(jié)論，設(shè)其中一根為f,

則另一個(gè)根為2r,因此ar?+/?x+c=a(x-f)(x-2f)=ox2-3arx+2Ja,所以有

99

b1一一ac=0；我們記K="一一ac,即K=0時(shí)，方程+云+°=0為倍根方程；

22

下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：

o

對于①，K=H——ac=10,因此本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

9

對于②，/we2+(幾一2m)x-2/1=0,而K=(〃-2m)2--m(-2n)=0=>

4m2+5m〃+拉2=0,因此本選項(xiàng)正確；

9

對于③，顯然〃4=2,而K=3?--pq=O因此本選項(xiàng)正確；

29

對于④，由V(l+f,s),N(4-6$)知_2=1+』+4_/=3n'=_5a,由倍根方

2a22

Q50

程的結(jié)論知從-三ac=O,從而有。=二。，所以方程變?yōu)?/p>

29

ux~—5avH--a=0=>9x~—45x+50——0=>x,——,x,——)因此本選項(xiàng)錯(cuò)誤。

913一3

綜上可知，正確的選項(xiàng)有：②③。

4.（2015?浙江嘉興，第16題5分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0,1）,點(diǎn)P

在線段OA上，以AP為半徑的OP周長為1.點(diǎn)M從A開始沿G）P按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，射線

AM交x軸于點(diǎn)N（〃，0）,設(shè)點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的路程為，"（0<w<1）.

（1）當(dāng)時(shí)，n=____▲____；

（2）隨著點(diǎn)M的轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)m從變化到時(shí)，點(diǎn)N相應(yīng)移動(dòng)的路徑長為▲.

考點(diǎn)：圓的綜合題；等腰三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義..

分析：（1）當(dāng)時(shí)，連接如圖1,點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一周的士，

44

從而可得到旋轉(zhuǎn)角/APM為90。，根據(jù)PA=P例可得則有NO=AO=1,

即可得到〃=-1;

（2）當(dāng)機(jī)從［變化到￡時(shí)，點(diǎn)N相應(yīng)移動(dòng)的路經(jīng)是一條線段，只需考慮始點(diǎn)和終點(diǎn)位置即

可解決問題.當(dāng)，息時(shí)，連接PM,如圖2,點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一周的士,

從而可得到旋轉(zhuǎn)角為120。，則NAPM=120。，根據(jù)可得/PAM=30。，在RfZkAON中

運(yùn)用三角函數(shù)可求出ON的長；當(dāng)時(shí)，連接PM,如圖3,點(diǎn)M從點(diǎn)A繞著點(diǎn)尸逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)了一周的微，從而可得到旋轉(zhuǎn)角為240。，則NAPM=120。，同理可求出ON的長，問

題得以解決.

解答：解：(1)當(dāng)，nj時(shí)，連接如圖1,

4

則有ZAPM=-x360°=90°.

4

PA=PM,：.ZPAM=ZPMA=45°.

：.NO^AO^\,

:.n=-\,

故答案為-1;

(2)①當(dāng)初=［時(shí)，連接PM,如圖2,

圖2

ZAPM=-X360°=120°.

3

?；PA=PM,：.ZPAM=ZPMA=30°.

在Rt4AON中，NO=AO”anNOAN='xV3-V3

~3~

②當(dāng)與時(shí)，連接尸M,如圖3,

2

NAPM=360。--x360°=120°,

3

同理可得：%0=退

3

綜合①、②可得：點(diǎn)N相應(yīng)移動(dòng)的路經(jīng)長為魚+亞=織1

333

故答案為23.

3

點(diǎn)評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，若動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑

是一條線段，常常可通過考慮臨界位置（動(dòng)點(diǎn)的始點(diǎn)和終點(diǎn)）來解決.

5.（2015?浙江金華，第15題4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。8c。的邊08在

k

X軸正半軸上，反比例函數(shù)y=4（x>0）的圖象經(jīng)過該菱形對角線的交點(diǎn)A,且與邊8C交

x

于點(diǎn)F.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（6,8）,則點(diǎn)F的坐標(biāo)是▲

【答案】（12,

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；待定系數(shù)法的應(yīng)用；菱形的

性質(zhì)；中點(diǎn)坐標(biāo)；方程思想的應(yīng)用.

【分析】???菱形OBC。的邊08在x軸正半軸上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（6,8）,

,0D=DC=0D=J6?+8?=10.，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16,8）.

???菱形的對角線的交點(diǎn)為點(diǎn)4??.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,4）.

???反比例函數(shù)y--（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,二k=8-4=32.

X

???反比例函數(shù)為y=32上.

x

4

m=-

f16m+n=8

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,???〈=><3

[10m+n=040

???直線BC的解析式為y4=gx4-0￡.

440

y=-x---x=12

33n

聯(lián)立8.

32y=-

y=—3

X

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)是［12,|j.

6.（2015湖北荊州第18題3分）如圖，04在x軸上，08在），軸上，OA=8,A8=10,點(diǎn)。

在邊。4上，AC=2,。尸的圓心戶在線段8C上，且。尸與邊ASAO都相切.若反比例函

數(shù)產(chǎn)上（厚0）的圖象經(jīng)過圓心P,則仁.

x---4一

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

專題：計(jì)算題.

分析：作POLQ4于。，PELAB于E,作C”_LA8于”，如圖，設(shè)。P的半徑為r,根

據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得到PQ=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理計(jì)算出OB=6,則可

判斷AOBC為等腰直角三角形，從而得到APCO為等腰直角三角形，則P￡>=CQ=r,

AE=AD=2+r,通過證明利用相似比計(jì)算出接著利用勾股定理計(jì)

△AC"SZ\ABO,CH=g,

5

算出AH=g,所以BH=10一些冬然后證明△BEHsaBHC,利用相似比得到即

555

io-（2+r）r

-42=6.解得，=捻從而易得尸點(diǎn)坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

T52

征求出％的值.

解答：解：作PDLOA于。，PELAB于E,作CHL4B于H,如圖，設(shè)。P的半徑為r,

???。尸與邊AB,A。都相切,

:.PD=PE=r,AD=AE,

在放AOAB中，?；OA=8,AB=\0,

OB=yJ1°2_82=6,

\'AC=2,

；.OC=6,

??.△O8C為等腰直角三角形,

...△PC。為等腰直角三角形,

：.PD=CD=r,

：.AE=AD=2+r,

'：ZCAH=ZBAO,

：.△ACHS&B。,

:磊,即詈焉解得喈

A/1//=VAC2-CH^^2-（-|）

g49

55

PE//CH,

:./XBEPsABHC,

10-(2+r)r

二囂=等，即42=6-解得片,

DnLn-=--zZ

55

3q

：.OD=OC-CD=6-^=~,

22

q3

，p(4-々),

22

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線不確

定切點(diǎn)，則過圓心作切線的垂線，則垂線段等于圓的半徑.也考查了勾股定理、相似三角

形的判定與性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

7.（2015?浙江麗水，第16題4分）如圖，反比例函數(shù)y=：的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1,一2&）,

點(diǎn)4是該圖象第一象限分支上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交另一支于點(diǎn)以AB為斜邊作等

腰直角三角形ABC,頂點(diǎn)C在第四象限，AC與錯(cuò)誤!不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。軸交

于點(diǎn)P,連結(jié)BP.

（1）錯(cuò)誤!不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。的值為▲.

(2)在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)BP平分/48(?時(shí)?，點(diǎn)C的坐標(biāo)是▲

【答案】(1)%=2近；(2)(2,-V2),

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；勾股定理；等腰直角三角形

的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；相似、全等三角形的判定和性質(zhì)；方程思想的應(yīng)用.

【分析】(1)???反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2亞)，

X

-2亞」nk=20.

-1

(2)如答圖1,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)過8點(diǎn)作BN，x軸于點(diǎn)M

：?AB=2

???△ABC是等腰直角三角形,ZBAC=45°.

.ONBNOB

易證AOBNS^OPM,.

'~OM~PM~~OP

?ONBN

由——=——Z得F1,

OMPM

解得x=V2.

A（V2,2）,B（-V2,-2）.

如答圖2,過點(diǎn)C作EFl.x軸，過點(diǎn)A作ARLE尸于點(diǎn)F,過B點(diǎn)作于點(diǎn)E,

易知，ABCE/ACAF（HL）,.?.設(shè)CE=AF=y.

又,：BC=2&BE=2亞+y,

,根據(jù)勾股定理，得BC'BErCE：即倒由丫=（2及+），丫+廣

Ay2+2y/2y-2=O,解得y=2-后或y=2+也（舍去）.

.?.由A（&,2）,B（-y/2,-2）可得C（2,-V2）.

三.解答題

1.（2015遼寧大連，26,12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OA8C的頂點(diǎn)4C分

別在x軸和y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為C2m,m）,翻折矩形。ABC,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重

合，得到折痕設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F,折痕￡>E所在直線與y軸相交于點(diǎn)G,經(jīng)過點(diǎn)C、/

2

D的拋物線為y=ax+bx+Co

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)（用含，〃的式子表示）

（2）若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,-3）,求該拋物線的解析式。

（3）在（2）的條件下，設(shè)線段C。的中點(diǎn)為M,在線段CO上方的拋物線上是否存在點(diǎn)

P,使若存在，直接寫出P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

【答案】⑴（；m,m）;（2）y=~lx2+^x+2（3）存在,點(diǎn)P坐標(biāo)為（1.6,3.2）和

4612

（0.9,32）。

【解析】解：（1）設(shè)。的坐標(biāo)為：（”,機(jī)），根據(jù)題意得：CO=d,OC=m

（第26題圖）

因?yàn)镃D〃EA,所以NCDE=NAE￡>,又因?yàn)樗訬CDE=NCED,

所以CD=CE=EA=d,OE=2m—d,

771

在HQCOE中，oc?+OE2=CE?，?+(2m-d)2=d2,解得：d=^mo

所以。的坐標(biāo)為：(fm,777)

(2)作。4垂直于X軸，由題意得：OG=3,

53531

OE=OA-EA=2m--m=-m.EH=OH~OE=-m-m=-m,DH=m.

44442

△GOEs/\DHE萍=華中=三。所以m=2

HEHD2mm

所以此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)為(|,2),CD=l，CF=2,FD=BD=4-^=\.5

因?yàn)镃DxF/=CFxFD,F7=2xL5+2.5=l.2

C/=VcF2-FI2=V22-l22=16,

所以”的坐標(biāo)為(1.6,3.2)

拋物線為丫=@乂2+6*+，經(jīng)過點(diǎn)。、尸、D,所以代入得：

(c=2\｛625Q+25b+c=2|解得：｛c=2|｛。=一2|

所以拋物線解析式為y=-fx2+^x+2。

612

(3)存在，因?yàn)樗砸訫為圓心，MC為半徑化圓，交拋物線于點(diǎn)尸

和點(diǎn)P.如下圖：

點(diǎn)P坐標(biāo)為(1.6,3.2)和(0.9,3.2)。

2.(2015遼寧大連，24,11分)如圖1,在AABC中，NC=90。，點(diǎn)。在AC上，且

C￡?D4,D4=2.點(diǎn)P、Q同時(shí)從。點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線D4運(yùn)動(dòng)。

過點(diǎn)Q作AC的垂線段QR,使QR=PQ,聯(lián)接PR.當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)A時(shí)，點(diǎn)尸、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。

設(shè)尸。=乂△PQR和△A8C重合部分的面積為SS關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖2所示（其中

0〈爛AE〃PC?/pCA=E!CAF<x￡'"時(shí)，函數(shù)的解析式不同）

（1）填空：〃的值為；

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。

圖1圖2

（第24題）

【答案】⑴AB’CG仁）當(dāng)°84ACF=E]ABC時(shí)，5=zPCA=DABCzACF=aCAF）當(dāng)

CFMAF^^時(shí)，S=CF=5

【解析】解：（1）如答圖1當(dāng)X=AF=5時(shí)，△PQR和△A8C重合部分的面積為S就是

△PQR的面積

此時(shí)，S=AE//PCX?*?=￡，所以”=K.

CL//LJ774949

BB

答圖1答圖2

（2）由圖像可知，S的函數(shù)表達(dá)式有兩種情況:

當(dāng)。但時(shí)，S^PQxRQ=^x2,如答圖2

Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A時(shí)，x=2AD=4f所以m=4.

當(dāng)沁逸時(shí)，S=S”PF-S^AQE=-AP.FGWAQ.EQ

由題意AP=2+=,AQ=2~,

因?yàn)椤鰽QES/V1Q1R1,皿=瘙，所以QE=：（2—3

AQIVIKI5\2/

設(shè)FG=PG=m

因?yàn)椤鰽G尸s^AQlRl,K=熱，所以AG=2+：—"?,

AQiQ】R12

宇T所以叫（2+3

77

11

以

所以S=S"APF-SQE=2APFG-2AQEQ

3（2+沅（2+；）W（2-沅（2-S

--X2+也X—呢

904545

所以S=——%2+助x_設(shè)

904545

故答案為：當(dāng)。々號(hào)時(shí)，S=：x2,

當(dāng)當(dāng)QW4時(shí)，S=——X2+

7904545

答圖3答圖4

3..(2015山東省德州市，24,12分)已知拋物線產(chǎn)一如2+4x+2"?與x軸交于點(diǎn)A(a,O),

BW，O),且一十一=一2.

ap

(1)求拋物線的解析式.

⑵拋物線的對稱軸為/,與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為。，點(diǎn)C關(guān)于/的對稱點(diǎn)為￡是否存

在x軸上的點(diǎn)M、y軸上的點(diǎn)N,使四邊形。MWE的周長最??？若存在，請畫出圖形(保

留作圖痕跡)，并求出周長的最小值：若不存在，請說明理由.

(3)若點(diǎn)尸在拋物線上，點(diǎn)。在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)力、E、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1))=—x2+4x+2.；(2)四邊形OWE的周長的最小值為10+2.5?(3)(2-

12，4）,（2+.,’2，4）,（2+.也0，—4）,（2一.也0，-4）.

【解析】

試題分析：

（1）另尸0,得出一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出a+S=2,aj?=-2,然后代

m

人工+工=-2,求出m的值即得出二次函數(shù)的解析式.

a§

（2）存在x軸上的點(diǎn)M,y軸上的點(diǎn)N,使褊四邊形IMKE的周長最小.先求出拋物線的對稱軸1x=2,頂

點(diǎn)坐標(biāo)（2,6）,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出點(diǎn)E的坐標(biāo)（4,2）,作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D',點(diǎn)E關(guān)于

x軸的對稱點(diǎn)E'，根據(jù)對稱的特點(diǎn)得出D'的坐標(biāo)（-2,6）.E'的坐標(biāo)（4,-2）,連接D'E'交x,y軸

分別于點(diǎn)M,N,此時(shí)，四邊形DNME的周長最小為D'E+DE,延長E'E,D'D交于點(diǎn)F,根據(jù)勾股定理求

出D'E'=10,連接CE交1于點(diǎn)G,在RtADI?；中，根據(jù)勾股定理求出DE=2J5,得出四邊形DNME的周長.

（3）P為拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH_Lx,垂足為H,若以點(diǎn)D,E,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

可得aPIIQ烏ZiDGE,PH=DG=4,即=4,把y的值代入.函數(shù)解析式解一元二次方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

4

試題解析：（1）由題意可知，a,B是方程Fx.+4x+2m=O的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+0=—,ag

m

-：l+-=-2

a§

4_

*.竺它=-2,即理＞=_2.

aj8-2

??m=l?

.??拋物線解析式為y=-x；+4x+2.

（2）存在x軸上的點(diǎn)M,y軸上的點(diǎn)N,使得四邊形DNME的周長最小.

?/y=-x:+4x+2="（x-2）;+6.

二拋物線的對稱軸1為x=2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,6）.

又「拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于1對稱，

，E點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,

作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D，，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)I.

貝IJD'坐標(biāo)為（-2,6）,E，坐標(biāo)為（4,-2）,連接D，E，.交x軸于M,交y軸N.

此時(shí)，四邊形DNHE的周長最小為D，E，+DE.如圖1所示.

延長E'E,D’D交于一點(diǎn)F.在RtZiD'E'F中，DfF=6,E，F(xiàn)=8.

/.D,E，=-^D'F2+E'F2=+82=10,

設(shè)對稱軸1與CE交于點(diǎn)G,在中，DG=4,EG-21

/.DE=vW+5G2=v'42+22=2?

...四邊形DNME的周長的最小值為10+2-75.

（3）如圖2,P為拋物線上的點(diǎn)，過P作PH_Lx軸，垂足為H.若以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行

四邊形.

則△PHQW/iDGE.

.,.PH=DG=4,

lyl=4.

二當(dāng)y=4時(shí)，-x'+4x+2=4,

解得x=2±y'10

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-72,4）,（2+也,4）.（2+J10,-4）,（2-a0,-4）.

考點(diǎn)：一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系；軸對稱一一最短路徑問題；二次函數(shù)的圖象和，

4.（2015山東濟(jì)寧，22,11分）（本題滿分11分）

如圖，。后的圓心E(3,0),半徑為5,OE與)，軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的上方)，

與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C；直線/的解析式為y='x+4,與x軸相交于點(diǎn)￡＞；以C為頂

4

點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線/與。E的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)P到直線/的距離最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離.

【答案】(1)y=-—X2+x-4(2)直線/與。E相切于點(diǎn)4(3)當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P

16

931

的坐標(biāo)為(2,——)時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的距離最小，其最小距離為一.

45

【解析】

流題分析，(1)連接AE，根據(jù)超的半徑可得AE=CE=5,由E點(diǎn)的坐標(biāo)得0E=3,然后根據(jù)勾股定理可求得

0A的長，再根據(jù)垂徑定理得0B=0A,因此：可求A、B、C的坐標(biāo)，由于C為拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)其解

析式為y=a(x-8)2,代入B點(diǎn)坐標(biāo)可求解析式；

(2)根據(jù)直線的解析式y(tǒng)=2x+4可求。坐標(biāo)，可驗(yàn)證A在直線上，且在心44?！旰?/p>

4

zjrOA3

/^△QOA中，一=—=一,可證得及4。￡62\。04,最終證得ND40+NE4O=90。，得

QAOD4

到直線/與。E相切于點(diǎn)4；

(3)過點(diǎn)P作直線/的垂線段PQ,垂足為Q；過點(diǎn)尸作直線垂直于x軸，交直線/于

311

點(diǎn)M.然后設(shè)出點(diǎn)MQ",—"+4),P(m,——〃心+帆―4).求得PM的長，PM-—(機(jī)一2門

41616

31319

+—,當(dāng)機(jī)=2時(shí)，PM的最小值為一，這時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為P(2,——).對于"QM,在動(dòng)

444

點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，△PQW的三邊的比例關(guān)系不變，因此當(dāng)PM取得最小值時(shí)，PQ也取

得最小值，即PQ足小1a小sZ/AEO,代入相應(yīng)的知可求得結(jié)果.

試題解析：(1)解：連接AE.

由已知得：AE=CE=5,OE=3,

在RsAOE中，由勾股定理得，

OA=^AE2-OE2=752-32=4.

---OC1AB,

，由垂徑定理得，OB=OA=4.

OC=O￡+CE=3+5=8.

...4(0,4),B(0,-4),C(8,0).

???拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C,

???設(shè)拋物線的解析式為y=“(x-8)2.

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上解析式，得

64?=—4.故。

16

y———(%—8)2.

16

y^-2_X2+x-4為所求拋物線的解析式.

第22題

3

（2）在直線/的解析式y(tǒng)=-x+4中，令）=0,

4

得3X+4=0,解得》=一"，

43

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一些，0）；

3

當(dāng)x=O時(shí)，y=4,所以點(diǎn)A在直線/上.

在放"0￡和Rt^DOA中,

??OE-3OA3

014OD4

.OEOA

??------—..

OAOD

,?N40E=N￡>04=90°,

/.^A0E^/\D0A.

：.ZAE0=ZDAO.

'/NAEO+NE4O=90。，

???ZDAO+ZEAO=90°.

即ZZ)AE=90°.

因此，直線/與。E相切于點(diǎn)A.

⑶過點(diǎn)P作直線/的垂線段PQ,垂足為Q

過點(diǎn)尸作直線PM垂直于x軸，交直線/于點(diǎn)M.

31

設(shè)M(m,—"z+4),P(m,——zn2+/n—4).

416

31ill31

則PM=—m+4—(——tn2+m—4)=-m2——6+8=—(nt-2)2+一.

416164164

31

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，尸M取得最小值一.

4

9

此時(shí)，P(2,

4

對于APOM,軸,

/.NQMP=NZMO=NAEO.

又：/PQM=90°,

?1.APQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變.

在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變.

/.當(dāng)PM取得最小值時(shí)，PQ也取得最小值.[心?w%w.zzNfe*&p.co"]

31431

PQ顯，卜=PMiM^-sinZQMP=PM設(shè)小-si"ZAEO——x—=一

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所以，當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)尸的