第三章離散小波變換第一頁，共三十頁，2022年，8月28日3.1尺度和位移的離散化方法對于連續(xù)小波而言，尺度a、時間t和與時間有關(guān)的偏移量τ都是連續(xù)的。如果利用計算機計算，就必須對它們進行離散化處理，得到離散小波變換。第二頁，共三十頁，2022年，8月28日本章主要內(nèi)容尺度和位移的離散化方法小波框架理論二進小波變換第三頁，共三十頁，2022年，8月28日3.1尺度和位移的離散化方法為了減小小波變換系數(shù)的冗余度，我們將小波基函數(shù)的a、τ限定在一些離散的點上取值。第四頁，共三十頁，2022年，8月28日離散化方法（1）尺度的離散化。目前通行的做法是對尺度進行冪數(shù)級離散化。即令a取第五頁，共三十頁，2022年，8月28日離散化方法（2）位移離散化。通常對τ進行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸，τ滿足Nyquist采樣定理。在a=2j時，沿τ軸的響應(yīng)采樣間隔是2jτ0，在a0=2情況下，j增加1，則尺度a增加一倍，對應(yīng)的頻率減小一半。此時采樣率可降低一半而不導(dǎo)致引起信息的丟失。第六頁，共三十頁，2022年，8月28日因此在尺度j下，由于的寬度是的倍，因此采樣間隔可擴大，而不會引起信息的丟失?？蓪懗桑弘x散小波變換的定義為：第七頁，共三十頁，2022年，8月28日一般，取a0=2，則a=2j，τ=2jkτ0，則采樣間隔為τ=2jτ0當a=2j時，τ的采樣間隔是2jτ0，此時， 變?yōu)椋旱诎隧?，共三十頁?022年，8月28日一般，將τ0歸一化，即τ0=1，于是有：此時，對應(yīng)的WTf為：第九頁，共三十頁，2022年，8月28日離散化過程中的兩個問題一、離散小波能否完全表征函數(shù)f(t)的全部信息。二、是否任何函數(shù)f(t)都可以表示為以為單位的加權(quán)和。即如果可以，系數(shù)如何求？第十頁，共三十頁，2022年，8月28日3.2小波的框架理論3.2.1框架1框架的定義在希爾伯特空間H中有一族函數(shù)，如果存在0<A<B<∞，對所有的f∈H，有：稱是H中的一個框架。常數(shù)A、B的意義。第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日框架的定義若A=B，則稱為緊致框架，此時：如果A=B=1，則此時，是正交框架，若，則是規(guī)范正交基。第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日2.對偶框架的定義對偶函數(shù)：的對偶函數(shù)也構(gòu)成一個框架，其框架的上下界是上下界的倒數(shù)。即：第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日3.通過框架對原函數(shù)進行重建重構(gòu)定理：令為其對偶框架，則f(t)通過下式重構(gòu)：如果A=B=1，這時是一組正交基，所以重建公式為：第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日通過框架對原函數(shù)進行重建在緊框架情況下，如果，我們定義算子S如下：求逆，得：這時，只有，重構(gòu)公式才成立。當?shù)臅r候，如果A，B越接近，上式的誤差越小。第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日4.框架和Riesz基Riesz基的定義：設(shè)有滿足下列要求：便意味著，也就是要求是一組線性獨立族。則稱為一組Riesz基。第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日3.2.2小波框架1.小波框架的定義：如果當基本小波函數(shù)ψ（t）經(jīng)伸縮和位移引出的函數(shù)族具有如下性質(zhì)：第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日我們稱都成了一個框架，上式為小波框架條件。其頻域表示為：的對偶函數(shù)也構(gòu)成一個框架。第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日2.小波框架的性質(zhì)（1）滿足框架條件的，其基本小波必定滿足容許性條件。（2）離散小波變換具有非收縮時移共變性。（3）離散小波框架存在冗余性。第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日3.離散小波變換的逆變換如果離散小波序列構(gòu)成一個框架，上下界為A和B，根據(jù)上節(jié)討論的函數(shù)框架重建原理，當A=B時，離散小波的逆變換為：當時，但二者比較接近時，作為一階逼近，可取第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日所以重建公式近似于：同樣，A和B越接近，誤差就越小。在緊框架情況下，第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日點的WT為：將f(t)代入上式有：式中第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日3.3二進小波變換二進小波的表示形式。第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日3.3.1二進小波變換及其逆變換令小波函數(shù)為，其傅立葉變換為，若存在常數(shù)A，B，當，使得此時，才是一個二進小波，上式為二進小波的穩(wěn)定性條件。第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日定義函數(shù)的二進小波變換系數(shù)為：其中：設(shè)的傅立葉變換為，由卷積定理得：第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日對，總有關(guān)系式：此式說明二進小波構(gòu)成了的一個框架，所以它的小波逆變換公式是存在的。二進小波的重建公式為：第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日3.3.2二進小波的性質(zhì)（1）二進小波滿足小波母函數(shù)容許性條件，即二進小波必為基本小波。（2）二進小波是冗余的。由框架理論知：當不滿足A=B=1時，框架是冗余的，也就是二進變換系數(shù)之間具有一定的相關(guān)性。二進變換系數(shù)之間的關(guān)系滿足重建核方程。第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日由重建核方程，可知，不是任意函數(shù)序列都可以作為某一函數(shù)的二進小波變換，只有當它們都滿足重建核方程時，才能看做某一函數(shù)的二進小波變換。第二十八頁，共三十頁，2022年，8月28日（3）二進小波具有時移性。f(t)平移的二進小波變換等于它的二進小波變換的平移。論證