第六節(jié)雙曲線·最新考綱·1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)．(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)．2．了解雙曲線的簡單應(yīng)用．3．理解數(shù)形結(jié)合的思想．·考向預(yù)測·考情分析：雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系仍是高考考查的熱點，題型仍將是選擇題，填空題，解答題．學(xué)科素養(yǎng)：通過雙曲線求標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、漸近線等問題的求解考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．一、必記3個知識點1．雙曲線的定義條件結(jié)論1結(jié)論2平面內(nèi)的動點M與平面內(nèi)的兩個定點F1，F(xiàn)2M點的軌跡為雙曲線________為雙曲線的焦點_______為雙曲線的焦距________________＝2a2a＜|F1F2|[注意]

(1)當(dāng)2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線；(2)當(dāng)2a＞|F1F2|時，P點不存在．||MF1|－|MF2||F1，F(xiàn)2|F1F2|2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程＝1(a＞0，b＞0)＝1(a＞0，b＞0)性質(zhì)范圍________________________________對稱性對稱軸：________對稱中心：________對稱軸：________對稱中心：________頂點頂點坐標(biāo)：A1_______，A2________頂點坐標(biāo)：A1________，A2________漸近線___________________________離心率e＝________，e∈________x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐標(biāo)軸原點坐標(biāo)軸原點(－a，0)(a，0)(0，－a)(0，a)

(1，＋∞)性質(zhì)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝____；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝____；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c間的關(guān)系c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)

2a2ba2＋b2y＝±x

××√√√

(三)易錯易混4．(忽視雙曲線定義的條件致誤)平面內(nèi)到點F1(3，0)，F(xiàn)2(－3，0)距離之差的絕對值等于6的點P的軌跡是________．兩條射線解析：由題意知|F1F2|＝6，而|PF1|－|PF2|＝±6，滿足2a＝|F1F2|這一條件，故所求點的軌跡是兩條射線．

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答案：A

答案：(1)D

答案：B

反思感悟雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程．(2)在“焦點三角形”中，經(jīng)常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|—|PF2||＝2a.運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．[提醒]

在應(yīng)用雙曲線定義時．要注意定義中的條件．搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支．若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．

答案：C

答案：A

3．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝_____．

答案：(1)B

答案：B

反思感悟

求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟[提醒]

(1)利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．(2)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程．

答案：D

答案：A

答案：(1)A

答案：C

答案：C

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反思感悟求雙曲線漸近線方程的方法(1)求雙曲線中a，b的值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程．(2)求a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程．(3)令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0，將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近線方程．[提醒]

兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸，y軸對稱．

答案：A

答案：C

答案：C

反思感悟1．解決此類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程．利用根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入．2．有時根據(jù)直線的斜率k與漸近線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系會比較快捷．

(2)動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M、N，問△OMN(O為坐標(biāo)原點)的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．

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