PAGE課時分層作業(yè)(十五)直線與平面垂直的性質(zhì)平面與平面垂直的性質(zhì)(建議用時：45分鐘)一、選擇題1．在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行B[由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面，所以它們平行．]2．已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，給出下列命題：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥n))?n∥α；②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β))?m∥n；③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥β))?α∥β；④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m?α,n?β,α∥β))?m∥n.其中正確命題的序號是()A．②③ B．③④C．①② D．①②③④A[①中n，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A.]3．如圖所示，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是()A.EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FHB[因為EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.]4．已知平面α、β、γ，則下列命題中正確的是()A．α⊥β，β⊥γ，則α∥γB．α∥β，β⊥γ，則α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，則a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，則b⊥αB[A中α，γ可以相交；C中如圖：a與b不一定垂直；D中b僅垂直于α的一條直線a，不能判定b⊥α.]5．如圖，點P為四邊形ABCD外一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點，則下列結(jié)論不一定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PADD[因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，則AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此關(guān)系不一定成立，故選D.]二、填空題6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________．6[因為AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四邊形，所以EF＝AD＝6.]7．已知直線m?平面α，直線n?平面α，m∩n＝M，直線a⊥m，a⊥n，直線b⊥m，b⊥n，則直線a，b的位置關(guān)系是________．a(chǎn)∥b[因為直線a⊥m，a⊥n，直線m?平面α，直線n?平面α，m∩n＝M，所以a⊥α，同理可證直線b⊥α.所以a∥b.]8．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是________．45°[如圖，過A作AO⊥BD于O點，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]三、解答題9．如圖，PA⊥正方形ABCD所在平面，經(jīng)過A且垂直于PC的平面分別交PB，PC，PD于E，F(xiàn)，G，求證：AE⊥PB.[證明]因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.因為AE?面PAB，所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE，因為PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.因為PB?平面PBC，所以AE⊥PB.10．如圖，已知平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，[解]連接BC.∵α⊥β，α∩β＝AB，BD⊥AB，∴BD⊥平面α.∵BC?α，∴BD⊥BC，在Rt△BAC中，BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(32＋42)＝5，在Rt△DBC中，CD＝eq\r(BC2＋BD2)＝eq\r(52＋122)＝13，∴CD長為13cm1．如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線B[取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up10(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up10(2)＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，選B.]2．如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________．eq\r(6)