理論力學(xué)CAI版權(quán)所有,2002(c)上海交通大學(xué)工程力學(xué)系理論力學(xué)CAI數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/3/311編輯課件前言矩陣矢量方向余弦陣平面矢量數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/3/312編輯課件前言理論力學(xué)中的許多概念與表達(dá)式涉及到幾何矢量及其運(yùn)算矢量的代數(shù)描述及其運(yùn)算以矩陣為工具對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題優(yōu)于矢量幾何及其運(yùn)算理論力學(xué)中必須區(qū)分矢量與矩陣的概念。在許多科技著作中并不區(qū)分這兩種數(shù)學(xué)量本章簡(jiǎn)要介紹本書(shū)將要涉及到的有關(guān)內(nèi)容，并統(tǒng)一符號(hào)前言2023/3/313編輯課件矩陣矩陣的定義與運(yùn)算矩陣的導(dǎo)數(shù)矩陣2023/3/314編輯課件矩陣的定義與運(yùn)算矩陣的定義常見(jiàn)的矩陣運(yùn)算方陣列陣

矩陣/定義與運(yùn)算2023/3/315編輯課件矩陣的定義將m×n

個(gè)標(biāo)量Aij

排列成m

行，n

列的表，定義為m×n

階(維)矩陣矩陣/定義與運(yùn)算/定義用一黑斜體的大寫(xiě)字母來(lái)表示無(wú)法區(qū)分黑白時(shí)可加下橫線2023/3/316編輯課件矩陣/定義與運(yùn)算/定義矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT例2023/3/317編輯課件常見(jiàn)的矩陣運(yùn)算矩陣/定義與運(yùn)算/常見(jiàn)的運(yùn)算同階矩陣相等矩陣與標(biāo)量乘同階矩陣求和矩陣乘2023/3/318編輯課件矩陣/定義與運(yùn)算/常見(jiàn)的運(yùn)算同階矩陣相等Aij=Bij(i=1,,m;j=1,,n)？例元素間的關(guān)系2023/3/319編輯課件矩陣/定義與運(yùn)算/常見(jiàn)的運(yùn)算矩陣與標(biāo)量乘交換律例(i=1,,m;j=1,,n)元素間的關(guān)系2023/3/3110編輯課件矩陣/定義與運(yùn)算/常見(jiàn)的運(yùn)算同階矩陣求和結(jié)合律轉(zhuǎn)置運(yùn)算交換律例(i=1,,m;j=1,,n)元素間的關(guān)系2023/3/3111編輯課件矩陣/定義與運(yùn)算/常見(jiàn)的運(yùn)算矩陣乘(i=1,,m;j=1,,n)例元素間的關(guān)系2023/3/3112編輯課件矩陣/定義與運(yùn)算/常見(jiàn)的運(yùn)算(i=1,,m;j=1,,n)例？2023/3/3113編輯課件矩陣/定義與運(yùn)算/常見(jiàn)的運(yùn)算例(i=1,,m;j=1,,n)2023/3/3114編輯課件矩陣/定義與運(yùn)算/常見(jiàn)的運(yùn)算矩陣乘運(yùn)算律結(jié)合律轉(zhuǎn)置運(yùn)算分配律求積無(wú)交換律2023/3/3115編輯課件矩陣/方陣方陣：m=n

對(duì)角陣方陣的跡方陣2023/3/3116編輯課件矩陣/方陣?yán)龁挝魂?023/3/3117編輯課件矩陣/方陣對(duì)稱陣：Aij=Aji(i,j=1,,n)例反對(duì)稱陣：Aij=-Aji

(i,j=1,,n)Aii=0

(i=1,,n)對(duì)稱陣反對(duì)稱陣2023/3/3118編輯課件矩陣/方陣非奇異陣與逆矩陣對(duì)于方陣A，存在同階方陣B，有稱A為非奇異陣；B為A的逆矩陣，記轉(zhuǎn)置與逆運(yùn)算2023/3/3119編輯課件矩陣/方陣正交陣對(duì)于正交陣有滿足如下等式的非奇異陣A

稱為正交陣?yán)鼳與B互為正交陣+互為逆陣互為轉(zhuǎn)置陣2023/3/3120編輯課件矩陣/列陣列陣：只有一列（m個(gè)元素）的矩陣為m×

1階矩陣稱為m

階列陣m

階列陣a

的轉(zhuǎn)置aT

為1×m

階矩陣稱為m

階行陣用一黑斜體的小寫(xiě)字母來(lái)表示

無(wú)法區(qū)分黑白時(shí)可加下橫線列陣2023/3/3121編輯課件矩陣/列陣矩陣的列陣分塊表達(dá)定義列陣(j=1,,n)2023/3/3122編輯課件矩陣/列陣/列陣分塊表達(dá)例定義列陣(j=1,,n)2023/3/3123編輯課件矩陣/列陣矩陣的行陣分塊表達(dá)定義列陣的轉(zhuǎn)置(i=1,,m)(i=1,,m)2023/3/3124編輯課件矩陣/列陣/行陣分塊表達(dá)例定義列陣(i=1,,m)2023/3/3125編輯課件矩陣的導(dǎo)數(shù)矩陣對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)矩陣對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)矩陣/導(dǎo)數(shù)2023/3/3126編輯課件矩陣對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)元素為時(shí)間t的函數(shù)，記為Aij(t)，該矩陣記為A(t)

矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)矩陣對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的定義矩陣對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為一同階矩陣其各元素為原矩陣的元素Aij(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)2023/3/3127編輯課件矩陣對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)2023/3/3128編輯課件例已知矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證2023/3/3129編輯課件例已知矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證2023/3/3130編輯課件矩陣對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)標(biāo)量函數(shù)對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)量函數(shù)陣對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)

矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)變量的的偏導(dǎo)數(shù)2023/3/3131編輯課件標(biāo)量函數(shù)對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)多變量的標(biāo)量函數(shù)(多元函數(shù))矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于一組（n個(gè)）變量，通常引入一n

階列矩陣表示這組變量，即如果有一個(gè)標(biāo)量a，它是這組變量的函數(shù)(n元函數(shù))，記為[例]對(duì)于二元函數(shù)引入二階變量陣標(biāo)量函數(shù)a可表為2023/3/3132編輯課件標(biāo)量函數(shù)對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)多變量函數(shù)a

對(duì)n

階變量陣q

的偏導(dǎo)數(shù)為一n

階行陣其元素分別為該標(biāo)量函數(shù)對(duì)各自變量qj

的偏導(dǎo)數(shù)矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)[例]對(duì)于二階變量陣的標(biāo)量函數(shù)2023/3/3133編輯課件標(biāo)量函數(shù)陣對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)多變量的標(biāo)量函數(shù)陣矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于有n個(gè)變量，通常引入一n

階列矩陣表示這組變量，即如果有一個(gè)m

階標(biāo)量函數(shù)列陣它的元素是上述變量的函數(shù)，記為2023/3/3134編輯課件標(biāo)量函數(shù)陣對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)多變量的標(biāo)量函數(shù)陣矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)[例]對(duì)于二階變量陣有如下的標(biāo)量函數(shù)陣2023/3/3135編輯課件標(biāo)量函數(shù)陣對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)m

階標(biāo)量函數(shù)列陣對(duì)n

階變量陣q的偏導(dǎo)數(shù)定義為一m×n

階矩陣且矩陣/導(dǎo)數(shù)/對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)q1q2