高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用函數(shù)思想和方程思想是學(xué)習(xí)數(shù)列的兩大精髓.“從基本量出發(fā)，知三求二.”這是方程思想的表現(xiàn).而“將數(shù)列看作一種特其余函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式都是對(duì)于n的函數(shù).”則包括了數(shù)列中的函數(shù)思想.借助相關(guān)函數(shù)、方程的性質(zhì)來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題，常能起到化難為易的功能。以下是小編給大家?guī)?lái)的方程思想在數(shù)列上的應(yīng)用，僅供考生閱讀。函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用(含詳細(xì)案例)本文列舉幾例分類剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式集中了等差(或等比)數(shù)列的五個(gè)基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)數(shù)列最基本的題型，經(jīng)過(guò)解方程的方法達(dá)到解決問(wèn)題的目的.例1等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因?yàn)閚∈N*，因此n=11.2.轉(zhuǎn)變?yōu)榛玖吭诘炔?等比)數(shù)列中，若是求得a1和d(q)，那么其余的量立刻可得.例2在等比數(shù)列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8項(xiàng)的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.將a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);將a1q3=8代入(1)，得q=±2.當(dāng)q=2時(shí)，a1=1，S8=255;當(dāng)q=―2時(shí)，a1=―1，S8=85.3.加減消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通項(xiàng)公式的一種重要方法，其實(shí)這種方法就是方程思想中加減消元法的運(yùn)用.例3(2011年佛山二模)已知數(shù)列{an}、{bn}中，對(duì)任何正整數(shù)n都有：a1b1+a2b2+a3b3++an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解將等式左邊看作Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3++an―1bn―1+anbn.依題意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又結(jié)構(gòu)Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3++an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)兩式相減可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因?yàn)閿?shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n―1，因此an=n(n≥2).當(dāng)n=1，由題設(shè)式子可得a1=1，符合an=n.進(jìn)而對(duì)所有n∈N*，都有an=n.因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n.4.等差、等比的綜合問(wèn)題這一類的綜合問(wèn)題經(jīng)常仍是回歸到數(shù)列的基本量去成立方程組.例4設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解依照求和定義和等差中項(xiàng)成立對(duì)于a1，a2，a3的方程組.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由題意得q>1，因此q=2.可得a1=1，進(jìn)而數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n―1.二、函數(shù)思想數(shù)列是一類定義在正整數(shù)或它的有限子集上的特別函數(shù).可見(jiàn)，任何數(shù)列問(wèn)題都蘊(yùn)含著函數(shù)的實(shí)質(zhì)及意義，擁有函數(shù)的一些固有特點(diǎn).如一次、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單一性、周期性等在數(shù)列中有寬泛的應(yīng)用.如等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n項(xiàng)和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，當(dāng)d≠0時(shí)，能夠看作自變量n的一次和二次函數(shù).因此我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)相關(guān)知識(shí)，以它的見(jiàn)解、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，揭示了它們間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而有效地分解數(shù)列問(wèn)題.1.運(yùn)用函數(shù)剖析式解數(shù)列問(wèn)題在等差數(shù)列中，Sn是對(duì)于n的二次函數(shù)，故可用研究二次函數(shù)的方法進(jìn)行解題.例5等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出當(dāng)n為何值時(shí)Sn有最大值.剖析顯然公差d≠0，因此Sn是n的二次函數(shù)且無(wú)常數(shù)項(xiàng).解設(shè)Sn=an2+bn(a≠0)，則a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.因此Sn=―11100n2+11110n.進(jìn)而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函數(shù)Sn=―11100n2+11110n的對(duì)稱軸為n=111102×11100=55211=50211.因?yàn)閚∈N*，因此n=50時(shí)Sn有最大值.2.利用函數(shù)單一性解數(shù)列問(wèn)題經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單一性，進(jìn)而證明數(shù)列的單一性.例6已知數(shù)列{an}中

an=ln(1+n)n(n

≥，2)求證

an>an+1.解設(shè)

f(x)=ln(1+x)x(x

≥，2)則f′(x)=x1+x―ln(1+x)x2.因?yàn)閤≥2，因此x1+x<1，ln(1+x)>1，因此f′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是單一減函數(shù).故當(dāng)n≥2時(shí)，an>an+1.例7已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值;(2)若對(duì)隨意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍.(1)剖析最大、最小是函數(shù)的一個(gè)特點(diǎn)，一般能夠從研究函數(shù)的單一性下手，用來(lái)研究函數(shù)最大值或最小值的方法同樣合用于研究數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).解由題設(shè)易得an=n―72，因此bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可察看函數(shù)f(x)=1+22x―7的單一性.當(dāng)x<72時(shí)，f(x)為減函數(shù)，且f(x)<1;當(dāng)x>72時(shí)，f(x)為減函數(shù)，且f(x)>1.因此數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為b4=3，最小項(xiàng)為b3=―1.(2)剖析因?yàn)閷?duì)隨意的n∈N*，都有bn≤b8成立，此題實(shí)質(zhì)上就是求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng).因?yàn)閎n=1+1n―1+a1，故能夠察看函數(shù)f(x)=1+1x―1+a1的形態(tài).解由題，得an=n―1+a1，因此bn=1+1n―1+a1.察看函數(shù)f(x)=1+1x―1+a1，當(dāng)x<1―a1時(shí)，f(x)為減函數(shù)，且f(x)<1;當(dāng)x>1―a1時(shí)，f(x)為減函數(shù)，且f(x)>1.因此要使b8是最大項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)7<1―a1<8，因此a1的取值范圍是―73.利用函數(shù)周期性解數(shù)列問(wèn)題例8數(shù)列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.試求S100=a1+a2++a100的值.剖析從遞推式不易直接求通項(xiàng)，察看前幾項(xiàng)a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，可猜想該數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.解由已知兩式相減得經(jīng)過(guò)上述實(shí)例的剖析與說(shuō)明，我們能夠發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的授課中，應(yīng)重視方程函數(shù)思想的浸透，應(yīng)當(dāng)把函數(shù)見(jiàn)解、圖象、性質(zhì)有機(jī)地融入到數(shù)列中，經(jīng)過(guò)數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的互相交匯，使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完滿，同時(shí)也使學(xué)生的思想能力得以不斷發(fā)展與提高.高中數(shù)學(xué)思想方法介紹，高中數(shù)學(xué)解題思想方法與解說(shuō)數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反應(yīng)到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)歸納后產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)認(rèn)識(shí);基本數(shù)學(xué)思想則是表現(xiàn)或應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的擁有確定性、總結(jié)性和最寬泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精髓和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特點(diǎn)，并且是歷史地發(fā)展著的。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)及規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上漲的數(shù)學(xué)見(jiàn)解方法。學(xué)生大腦中若不包括數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)致使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏自主性，經(jīng)常就成為離不開(kāi)教師這個(gè)拐棍的被動(dòng)學(xué)習(xí)者，學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)不能夠用數(shù)學(xué)思想方法有效連結(jié)，支離破裂。因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大腦有了數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)才有方導(dǎo)游引，心中有了明確方向，才能主動(dòng)思慮，才有利于對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)，才能知道怎樣去思慮和解決問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想1.轉(zhuǎn)變與化歸思想：是把那些待解決或難解決的問(wèn)題化歸到已有知識(shí)范圍內(nèi)可解問(wèn)題的一種重要的基本數(shù)學(xué)思想.這種化歸應(yīng)是等價(jià)轉(zhuǎn)變，即要求轉(zhuǎn)變過(guò)程中的前因結(jié)果應(yīng)是充分必要的，這樣才能保證轉(zhuǎn)變后所得結(jié)果仍為原題的結(jié)果.高中數(shù)學(xué)中新知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，就是一個(gè)在已有知識(shí)和新見(jiàn)解的基礎(chǔ)進(jìn)步行化歸的過(guò)程.因此，化歸思想在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在.化歸思想在解題授課中的的運(yùn)用可歸納為：化未知為已知，化難為易，化繁為簡(jiǎn).進(jìn)而達(dá)到知識(shí)遷徙使問(wèn)題獲得解決.但若化歸不當(dāng)也可能使問(wèn)題的解決墜入窘境.例證2.邏輯區(qū)分思想(即分類與整合思想)：是當(dāng)數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)質(zhì)屬性在局部上有不同樣點(diǎn)而又不便化歸為單一實(shí)質(zhì)屬性的問(wèn)題解決時(shí)，而依照其不同樣點(diǎn)選擇適合的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)分類求解，并綜合得出答案的一種基本數(shù)學(xué)思想.但要注意按區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)所分各樣間應(yīng)知足互相排擠，不重復(fù)，不遺漏，最簡(jiǎn)短的要求.在解題授課中常用的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)有：按定義區(qū)分;按公式或定理的合用范圍區(qū)分;按運(yùn)算法例的合用條件范圍區(qū)分;按函數(shù)性質(zhì)區(qū)分;按圖形的地點(diǎn)和形狀的變化區(qū)分;按結(jié)論可能出現(xiàn)的不同樣情況區(qū)分等.需說(shuō)明的是：有些問(wèn)題既可用分類思想求解又可運(yùn)用化歸思想或數(shù)形聯(lián)合思想等將其轉(zhuǎn)變到一個(gè)新的知識(shí)環(huán)境中去考慮，而防范分類求解.運(yùn)用分類思想的重點(diǎn)是搜尋惹起分類的原因和找準(zhǔn)區(qū)分標(biāo)準(zhǔn).例證函數(shù)與方程思想(即聯(lián)系思想或運(yùn)動(dòng)變化的思想)：就是用運(yùn)動(dòng)和變化的見(jiàn)解去剖析研究詳細(xì)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，抽象其數(shù)量特點(diǎn)，成立函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)或方程相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的一種重要的基本數(shù)學(xué)思想.數(shù)形聯(lián)合思想：將數(shù)學(xué)識(shí)題中抽象的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為必然的幾何圖形的性質(zhì)(或地點(diǎn)關(guān)系);或許把幾何圖形的性質(zhì)(或地點(diǎn)關(guān)系)抽象為適合的數(shù)量關(guān)系，使抽象思想與形象思想聯(lián)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的詳細(xì)形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)變，進(jìn)而使隱蔽的條件光明化，是化難為易，研究解題思想路子的重要的基本數(shù)學(xué)思想.整體思想：辦理數(shù)學(xué)識(shí)題的著眼點(diǎn)或在整體或在局部.它是從整體角度出發(fā)，剖析條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系，互相聯(lián)系及變化規(guī)律，進(jìn)而找出最優(yōu)解題路子的重要的數(shù)學(xué)思想.它是控制論，信息論，系統(tǒng)論中“整體—部分—整體”原則在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn).在解題中，為了便于掌握和運(yùn)用整體思想，可將這一思想歸納為：記著已知(用過(guò)哪些條件?還有哪些條件未用上?怎樣創(chuàng)辦機(jī)會(huì)把未用上的條件用上?)，想著目標(biāo)(向著目標(biāo)步步推理，必要時(shí)可利用圖形標(biāo)示出已知和求證);看聯(lián)系，抓變化，或化歸;或數(shù)形變換，追求解答.一般來(lái)說(shuō)，整體范圍看得越大，解法