金屬塑性變形的物性方程第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日§2.1金屬塑性變形過程和力學特點變形過程與特點以單向拉伸為例說明塑性變形過程與特點，如圖2-1所示。金屬變形分為彈性、均勻塑性變形、破裂三個階段。時，。

當以后，變形視作塑性階段。是非線性關系。當應力達到之后，變形轉為不均勻塑性變形，呈不穩(wěn)定狀態(tài)。經(jīng)短暫的不穩(wěn)定變形，試樣以斷裂告終。若在均勻塑性變形階段出現(xiàn)卸載現(xiàn)象，一部分變形得以恢復，另一部分則成為永久變形。卸載階段呈線性關系。這說明了塑性變形時，彈性變形依然存在。彈塑性共存與加載卸載過程不同的關系是塑性變形的兩個基本特征第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日

由于加載、卸載規(guī)律不同，導致關系不唯一。只有知道變形歷史，才能得到一一對應的關系，即塑性變形與變形歷史或路徑有關。這是第3個重要特征。事實上，以后的點都可以看成是重新加載時的屈服點。以g點為例，若卸載則關系為彈性。卸載后再加載，只要點，關系仍為彈性。一旦超過g點，呈非線性關系，即g點也是彈塑性變形的交界點，視作繼續(xù)屈服點。一般有，這一現(xiàn)象為硬化或強化，是塑性變形的第4個顯著特點。第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日

在簡單壓縮下，忽略摩擦影響，得到的壓縮與拉伸基本相同。但是若將拉伸屈服后的試樣經(jīng)卸載并反向加載至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先壓后拉也有類似現(xiàn)象。這種正向變形強化導致后繼反向變形軟化的現(xiàn)象稱作Bauschinger效應。這是金屬微觀組織變化所致。一般塑性理論分析不考慮Bauschinger效應。Bridgman等人在不同的靜水壓力容器中做單向拉伸試驗。結果表明：靜水壓力只引起物體的體積彈性變形，在靜水壓力不很大的情況下（與屈服極限同數(shù)量級）所得拉伸曲線與簡單拉伸幾乎一致，說明靜水壓力對塑性變形的影響可以忽略。第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日集中體現(xiàn)在三個階段和四個特點。三個階段是指：彈性變形階段；均勻塑性變形階段；非均勻變形與斷裂階段。四個特點是：彈塑性共存；加載與卸載時的σ-ε關系不同；塑性變形與變形歷史或路徑有關；存在加工硬化。第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日金屬塑性變形過程

基本假設材料為均勻連續(xù)，且各向同性；體積變化為彈性的，塑性變形時體積不變；靜水壓力不影響塑性變形，只引起體積彈性變化；不考慮時間因素，認為變形為準靜態(tài)；不考慮Bauschinger效應。第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日§2.2塑性條件方程

屈服準則又稱塑性條件(Plasticconditions)或屈服條件(Yieldconditions)，它是描述不同應力狀態(tài)下變形體某點進入塑性狀態(tài)并使塑性變形繼續(xù)進行所必須滿足的力學條件。用屈服函數(shù)(Yieldfunction)表示：

假設材料是各向同性的，屈服函數(shù)與坐標軸的選擇無關，因此可用應力張量不變量表示屈服條件假設塑性變形與球應力張量無關，屈服條件可用偏應力張量的第二，第三不變量表示當用主應力表示，屈服條件為。第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日一、屈服條件的一般形式

由于應力偏量滿足：

總是處在應力π平面上。這樣屈服條件就可以用π平面上的封閉曲線表示。若σij落在該曲線上，表示滿足屈服準則。若σij在這個應力狀態(tài)上在疊加一個靜水應力，這時候在三維主應力空間中，相當于沿著等傾斜線移動π面平行面，而應力點仍滿足屈服準則。因此，在三維主應力空間中，屈服曲面是一等截面柱體。第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日二、屈服曲面和屈服曲線（屈服條件的幾何表達）1．屈服曲面

以σ1、σ2、σ3三個主應力分量作為直角坐標系的三個坐標，構成的空間稱為主應力空間，式的函數(shù)關系在主應力空間所構成的曲面就稱為屈服曲面。注意屈服函數(shù)中的三個主應力分量是可以互換的，即不受σ1>σ2>σ3的限制，因此屈服曲面在主應力空間應是如圖那樣的以經(jīng)原點且與三個坐標軸正向（或負向）成等傾角的直線為軸線的柱面。材料的應力狀態(tài)用主應力表示，在主應力空間就反映為一個點。此點若處于屈服曲面上，材料就屈服；若處于屈服曲面內(nèi)，材料則處于彈性變形狀態(tài)。

第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日2．屈服曲線經(jīng)過主應力空間的坐標原點，且與屈服曲面軸線垂直的平面稱為π平面(見圖中的綠色平面），屈服曲面與π平面的交線稱為屈服曲線(見圖中的藍色圓線），或屈服軌跡。屈服曲線實際反映了屈服曲面這個柱面的橫截面的形狀和大小。所以不同的屈服條件可以用不同的屈服曲線來區(qū)別，而且下面將看到，材料的屈服其實也可用偏應力狀態(tài)與屈服曲線的關系來判斷。

(3)

屈服曲線關于三個主應力坐標軸在π平面上的投影是對稱的（即對稱性）(2)

屈服曲線是外凸的（即外凸性）；(1)

屈服曲線是一條封閉曲線，原點被包圍在內(nèi)（即封閉性）；屈服曲線有如下性質:第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日3．應力矢量的分解處于屈服狀態(tài)的應力狀態(tài)可用屈服曲面上的一點來表示，如圖中的P點。聯(lián)結OP形成的矢量（稱為應力矢量）因而也可表示屈服時的應力狀態(tài)。主應力空間的矢量OP可分解成與等傾線平行的分量ON及π平面上的分量OQ。這樣分解的實質相當于將應力張量分解為球應力張量與偏應力張量。這是因為矢量OP的三個坐標分量可作如下分解：式中i，j，k—主應力空間三個坐標軸上的單位矢量。

第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日式中最后一個等號右邊表示兩個矢量。后一個矢量的三個分量都為σm，說明此矢量的方向與等傾線一致，因而它代表ON；前一個矢量與ON的點乘積為零，因此前一矢量必然與ON垂直故處于π平面上，因而它代表OQ。因此ON與OQ分別代表了球應力分量與偏應力分量，即：

如前所述，屈服與平均應力無關，因此要判斷材料是否屈服只需看OQ矢量的端點是否處在屈服曲線上。

第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日4．π平面上的坐標為了分析不同屈服條件所對應的屈服曲線的形狀、大小，可首先將主應力空間的三個坐標軸向π平面(見圖中的綠色平面）上投影，然后以σ2軸的投影方向作為y軸，其垂直方向作為x軸建立如圖所示的直角坐標系。

現(xiàn)考察主應力空間坐標軸單位矢量與其在x、y坐標軸上投影的關系。為此，在主應力空間從原點出發(fā)，在σ1、σ2坐標軸上截取單位矢量oa、ob。為確定oa或ob在π平面上的投影的長度值，可先分析主應力空間ab的連線在π平面上的投影值。由于在主應力空間很容易確定ab的長度為（見主應力空間中的紫色三角形oab)，且因為ab平行于π平面，所以ab在π平面的投影也是。oa或ob在π平面上的投影為/cos30°。因此主應力空間中的分量σ1、σ2、σ3與其在π平面投影的x，y坐標分量有如下關系。

第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日主應力空間中的分量σ1、σ2、σ3與其在π平面投影的x，y坐標分量有如下關系。應力矢量在π平面上的投影的x、y坐標系上的坐標可表示為

－第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日若在π平面上建立極坐標，應力矢量在π平面上的投影的極坐標為

定義為μσ：羅德參數(shù)第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日6．Tresca屈服條件

Tresca屈服條件表述為：最大切應力達到一定值材料就屈服。設σ1>σ2>σ3，Tresca屈服條件的數(shù)學表達為式中

C—與屈服有關的常數(shù)若用單向拉伸試驗來確定常數(shù)C，將σ1=σs（屈服應力），σ2=σ3=0，代入5-11式可得C=σs/2，因而Tresca屈服條件也可表示為第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日若用扭轉試驗來確定常數(shù)C，將σ1=τs（剪切屈服應力），σ2=0，σ3=-τs代入上式可得C=τs，因而Tresca屈服條件可表示為：

按Tresca條件，兩種屈服應力有如下關系：Tresca條件表示在π平面上：第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日Tresca條件表示在π平面上的x-y坐標系中的方程為

根據(jù)屈服曲線的對稱性和封閉性可知，Tresca條件表示在π平面上為一個邊長距圓心距離為σs，頂點距圓心距離為σs的正六邊形。

第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日7．Mises屈服條件

密席斯屈服準則可以表述為：當應力偏張量的第二不變量I2/達到某定值時，材料就會屈服。更為方便的表述方式是：當應力狀態(tài)的等效應力達到某一與應力狀態(tài)無關的定值時，材料就屈服；或者說，材料處于塑性狀態(tài)時，等效應力始終是一不變的定值。密席斯屈服準則的表達式為：第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日若用單向拉伸試驗來確定上式中的常數(shù)C，將σ1=σs，σ2=σ3=0代入上式可得C=σs２/３，因而Mises屈服條件為

若用扭轉試驗來確定常數(shù)C，將σ1=τs，σ2=0，σ3=－τs代入式可得C=τs２，因而Mises屈服條件也可表示為第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日說明Mises屈服條件表示在π平面上為一個圓，且此圓為Tresca屈服曲線的正六邊形的外接圓。

第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日8.中間主應力對屈服的影響設σ1>σ2>σ3，由Tresca條件，中間主應力σ2對屈服無影響，而按Mises條件，中間主應力對屈服有影響，其影響程度可用羅德參數(shù)μσ來表示。根據(jù)μσ的定義式可知，當σ2在σ1與σ3之間變化時，μσ在+1~-1間變化，且可用羅德參數(shù)來表示中間主應力

帶入后，Mises屈服條件可表示為

式中β—中間主應力影響系數(shù)。

第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日式與Tresca條件很相仿，因而很利于比較兩種屈服條件的差別。

由于μσ的變化范圍為-1～+1，β的變化范圍為1～1.155，現(xiàn)考慮兩種特殊情況：

（1）

當σ2=σ1或σ2=σ3時，μσ=1或-1，β取值為1，兩種屈服條件的形式是一樣的。其實，參考式可知，此時θ=π/6或-π/6，屈服點正處于Tresca屈服曲線的正六邊形的頂點上。

第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日（2）

當σ2=(σ1+σ3)/2時，μσ=0，β取值為1.155，兩種屈服條件有差別。其實此時θ=0，按Tresca屈服條件，屈服點在正六邊形邊長的中點上，與Mises屈服條件的差別最大。

9.兩種屈服條件的實驗驗證P38σ1-σ3=2τs式中K—平面變形抗力。按Tresca條件，K=σs=2τs；按Mises條件K=1.155σs=2τs，因此對于平面變形狀態(tài)，Tresca條件和Mises條件可統(tǒng)一表示為(σ1-σ3)=K對應著平面變形狀態(tài)。平面變形狀態(tài)的屈服條件常表示為第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日10.硬化材料的屈服條件從單向拉伸曲線可以看出，進入塑性變形以后的應力都可以視作屈服點，稱為后續(xù)屈服點，而且其值總是大于初始屈服點σs。對于三維應力空間，初始屈服條件為一曲面。實驗表明，硬化材料存在后續(xù)屈服曲面，也稱為加載曲面。最簡單的等強強化模型認為：后續(xù)屈服曲面或加載曲面在應力空間中作形狀相似地放大，且中心位置不變。在π平面上，加載曲面變?yōu)榍€，它與初始屈服曲線相似。因此，Tresca準則的加載曲面是一系列的同心六棱柱，VonMises準則的加載曲面是一系列的同心圓柱面。第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日

Tresca

屈服準則（最大剪應力準則）

Mises

屈服準則

第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日比較兩屈服準則的區(qū)別：（1）物理含義不同：Tresca：最大剪應力達到極限值KMises：畸變能達到某極限（2）表達式不同;（3）幾何表達不同：

Tresca準則：在主應力空間中為一垂直π平面的正六棱柱；

Mises準則：在主應力空間中為一垂直于π平面的圓柱。(π平面:在主應力坐標系中，過原點并垂直于等傾線的平面)第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日比較兩屈服準則的區(qū)別第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日兩準則的聯(lián)系：（1）空間幾何表達：Mises圓柱外接于Tresca六棱柱；在π平面上兩準則有六點重合；（2）通過引入羅德參數(shù)和中間主應力影響系數(shù)β，可以將兩準則寫成相同的形式：

其中稱為中間主應力影響系數(shù)

稱為Lode參數(shù)。第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日討論：①當材料受單向應力時，β=1，兩準則重合；②在純剪應力作用下，兩準則差別最大；按Tresca準則：按Mises準則：

③一般情況下，β=1－1.154

第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日§2.3塑性應力應變關系（本構關系）

描述變形體應力應變關系的方程稱為物理方程或物性方程，在塑性力學中又稱為本構方程。因此應力應變關系也稱為本構關系。本構方程和屈服條件一樣，是求解塑性成形問題的重要補充方程。

第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日（1）應變增量理論應變增量與應力偏張量成正比第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日應力-應變速率方程將增量理論式兩邊除以時間dt，可得應力—應變速率方程，稱為圣文南塑性流動方程。即：塑性流動方程第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日（2）全量理論若已知應變的變化歷史，則沿路徑可以積分得出應力與應變?nèi)康年P系，建立全量理論或形變理論，尤其是簡單加載下，把增量理論中的增量符號“d”取消即可。等效應力是等效應變的函數(shù)應力偏量分量與應變偏量分量成比例……第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日增量理論與全量理論增量理論：

全量理論：

第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日例題講解：

例：求之比（滿足塑性條件）

第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日解：對（A）有所以有：第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日對（B）有所以有：第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日對（C）有所以有：第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日§2.4變形抗力曲線與加工硬化在σ－ε關系中含有dλ：要確定dλ，必須知道σe－εe關系，即等效應力應變曲線。第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日變形抗力是指材料在一定溫度、速度和變形程度條件下，保持原有狀態(tài)而抵抗塑性變形的能力。它是一個與應力狀態(tài)有關的量。不同的應力狀態(tài)，有不同的變形抗力。第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日2.4.1變形抗力曲線與等效應力應變曲線不同的應力狀態(tài)，會有不同的變形抗力曲線……第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日等效應力與等效應變曲線與數(shù)學模型每一種應力狀態(tài)，都會有其特有的抗力曲線。如何更準確地反映材料的曲線。第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日根據(jù)不同的曲線，可以劃分為以下若干種類型：冪函數(shù)強化模型、線性強化模型、線性剛塑性強化模型、理想塑性模型、理想剛塑性模型第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日§2.5影響變形抗力的因素化學成份的影響變形溫度的影響變形程度的影響變形速度的影響接觸摩擦的影響應力狀態(tài)的影響組織結構的影響第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日化學成分的影響化學成分對變形抗力的影響非常復雜。一般情況下，對于各種純金屬，因原子之間相互作用不同，變形抗力也不同。同一種金屬純度愈高，變形抗力愈小。組織狀態(tài)不同，抗力值也有差異，如退火態(tài)與加工態(tài)，抗力明顯不同。第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日合金元素對變形抗力的影響，主要取決于合金元素的原子與基體原子間相互作用特性、原子體積的大小以及合金原子在基體中的分布情況。合金元素引起基體點陣崎變程度愈大，變形抗力也越大?；瘜W成分的影響第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日變形溫度的影響

由于溫度升高，金屬原子間的結合力降低了，金屬滑移的臨界切應力降低，幾乎所有金屬與合金的變形抗力都隨溫度升高而降低。但是對于那些隨溫度變化產(chǎn)生物理－化學變化和相變的金屬與合金，則存在例外。第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日變形程度的影響

無論在室溫或高溫條件下，只要回復和再結晶過程來不及進行，則隨著變形程度的增加必然產(chǎn)生加工硬化，使變形抗力增大，通常變形程度在30％以下時，變形抗力增加顯著。當變形程度較大時，變形抗力增加緩慢，這是因為變形程度的進一步增加，晶格崎變能增加，促進了回復與再結晶過程的發(fā)生與發(fā)展，也使變形熱效應增加。第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日變形速度的影響

變形速度的提高，單位時間內(nèi)的發(fā)熱率增加，有利于軟化的產(chǎn)生，使變形抗力降低。另一方面，提高變形速度縮短了變形時間，塑性變形時位錯運動的發(fā)生與發(fā)展不足，使變形抗力增加。一般情況下，隨著變形速度的增大，金屬和合金的抗力提高，但提高的程度與變形溫度密切相關。冷變形時，變形速度的提高，使抗力有所增加，或者說抗力對速度不是非常敏感。而在熱變形時，變形速度的提高，會引起抗力明顯波動，即抗力對速度敏感。第五十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日接觸摩擦的影響

實際變形抗力還受接觸摩擦影響，一般摩擦力愈大，實際變形抗力愈大。實際上摩擦的存在使應力狀態(tài)發(fā)生變化，三向壓應力更大，導致變形抗力增大。第五十三頁，共六十一頁，2022