基本信息地區(qū)安徽省淮北市學(xué)?；幢笔袑?shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)姓名張慧影聯(lián)系電科數(shù)學(xué)電子郵箱811197390@年級(jí)高一教材北師大版普通高中教科書(shū)必修第二冊(cè)《余弦定理（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)單元內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)主要有三個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，一是用向量導(dǎo)出余弦定理的基礎(chǔ)上進(jìn)而得出正弦定理，然后用余弦定理、正弦定理解三角形；二是用向量研究幾何證明中的問(wèn)題；三是研究向量在物理中的應(yīng)用問(wèn)題.平面向量及其應(yīng)用屬于必修課程的幾何與代數(shù)部分，向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.本單元借助向量的物理背景和平面向量運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)一步解決平面幾何和物理中的問(wèn)題，感受向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用.同時(shí)歸納總結(jié)向量法解決平面幾何和物理中的基本套路，基本步驟.向量在平面幾何和物理中應(yīng)用，讓學(xué)生深切體會(huì)到向量是工具，也是方法，更是一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)后續(xù)選擇性必修課程中空間向量在立體幾何的應(yīng)用具有啟發(fā)性，類比向量的解析法為學(xué)習(xí)解析幾何做好準(zhǔn)備.本單元研究向量的應(yīng)用方法，借助向量的幾何和物理背景，充分體現(xiàn)向量的工具性、方法性和思想性.進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)向量是代數(shù)和幾何完美結(jié)合，解決問(wèn)題的一把利器，因而本單元的內(nèi)容蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的極好載體.基于以上分析，確定【單元教學(xué)重點(diǎn)】用向量法證明余弦定理及正弦定理的推導(dǎo)，及正余弦定理的應(yīng)用.用向量法解決簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題、物理中的應(yīng)用問(wèn)題的方法和步驟.二、單元目標(biāo)及其解析1.教學(xué)目標(biāo)①借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.②能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.③會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、物理中的應(yīng)用問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的作用.2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志：①學(xué)生能利用所學(xué)數(shù)量積等相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)出余弦定理，體會(huì)到向量推導(dǎo)余弦定理是最簡(jiǎn)潔的；進(jìn)而進(jìn)一步研究三角形中邊角定量關(guān)系，推導(dǎo)得到正弦定理，同時(shí)能應(yīng)用這兩個(gè)定理，解三角形和判斷三角形的形狀.②學(xué)生能認(rèn)識(shí)到：三角形是平面幾何中最基本的圖形之一.能夠?qū)⑸钪袩o(wú)法直接度量的長(zhǎng)度和角度歸結(jié)到合適的三角形中，直接度量出相關(guān)的邊和角，通過(guò)解三角形計(jì)算出要度量的長(zhǎng)度和角度.③學(xué)生能從應(yīng)用向量解決平面幾何中的具體實(shí)例中，總結(jié)出向量的運(yùn)算與相關(guān)的問(wèn)題的對(duì)應(yīng)關(guān)系.比如利用共線可以解決平行，利用數(shù)量積可以解決垂直和角度問(wèn)題，利用向量的模可以解決長(zhǎng)度問(wèn)題，從而進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合在解決問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性，并能夠在老師的引導(dǎo)下，歸納向量法解決平面幾何的“三部曲”.④學(xué)生能把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即如何將物理量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；同時(shí)能利用數(shù)學(xué)模型的解來(lái)解釋問(wèn)題中反映的物理現(xiàn)象.并引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出向量法解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟.單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析【學(xué)情分析】學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念、運(yùn)算以及平面向量的基本定理，初步體會(huì)到向量有其豐富的幾何和物理背景，再?gòu)南蛄康倪\(yùn)算中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到向量的幾何意義這些為進(jìn)一步理解和掌握平面向量打下良好的基礎(chǔ)，也為選擇性必修中應(yīng)用空間向量解決立體幾何的學(xué)習(xí)做好鋪墊.學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想認(rèn)識(shí)不足，看到圖形圖不知道怎么下手寫(xiě)出式子，這也是值得我們?nèi)リP(guān)注的地方.針對(duì)這些問(wèn)題，我們要做好以下幾點(diǎn)：一是加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，讓學(xué)生能夠在圖中找到一些有效的信息，然后根據(jù)余弦定理的特點(diǎn)，列出相關(guān)式子，從而解決相關(guān)問(wèn)題.加強(qiáng)向量在幾何證明中的分析.二是鞏固向量的應(yīng)用的訓(xùn)練，余弦定理的推導(dǎo)就是利用向量法來(lái)證明，通過(guò)學(xué)習(xí)好向量法的相關(guān)知識(shí)，以此為基礎(chǔ)，那么余弦定理這塊，學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)顯得輕松很多.同時(shí)提高學(xué)生在物理中應(yīng)用的能力.基于以上分析，確定【單元教學(xué)難點(diǎn)】①向量法證明余弦定理.②如何把幾何問(wèn)題、實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；課時(shí)教學(xué)安排本單元建議用8課時(shí)，具體安排如下：余弦定理2課時(shí)，正弦定理1課時(shí)，正余弦定理的應(yīng)用3課時(shí)，平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例2課時(shí).單元教學(xué)過(guò)程課時(shí)教學(xué)內(nèi)容本課時(shí)內(nèi)容學(xué)習(xí)之前，已經(jīng)研究過(guò)有關(guān)三角形、三角函數(shù)和解直角三角形、平面向量等知識(shí)，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)知識(shí)研究余弦定理的證明.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)①在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，能主動(dòng)探索、發(fā)現(xiàn)余弦定理，掌握用向量法推證余弦定理，并能運(yùn)用余弦定理理解簡(jiǎn)單的三角形；②通過(guò)觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，養(yǎng)成觀察與邏輯思維能力，能夠?qū)⑸顔?wèn)題抽象概括成數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).（三）課時(shí)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：探究和證明余弦定理的過(guò)程；理解掌握余弦定理的內(nèi)容；初步運(yùn)用余弦定理.難點(diǎn)：利用向量法證明余弦定理的思路.教學(xué)過(guò)程流程：設(shè)計(jì)意圖：梳理本單元研究?jī)?nèi)容脈絡(luò)，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容及目標(biāo)設(shè)計(jì)意圖：梳理本單元研究?jī)?nèi)容脈絡(luò)，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容及目標(biāo)環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)回顧，明確目標(biāo)設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際問(wèn)題中，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，同時(shí)讓定理的引入更生活化、更自然.環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設(shè)情境，引出新課環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設(shè)情境，引出新課設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)已知條件的分析類比向量的數(shù)量積，通過(guò)數(shù)學(xué)對(duì)象的轉(zhuǎn)化構(gòu)建向量模型，依據(jù)相關(guān)的運(yùn)算法則求解，體現(xiàn)了由特殊到一般數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的推理論證和運(yùn)算求解能力.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)已知條件的分析類比向量的數(shù)量積，通過(guò)數(shù)學(xué)對(duì)象的轉(zhuǎn)化構(gòu)建向量模型，依據(jù)相關(guān)的運(yùn)算法則求解，體現(xiàn)了由特殊到一般數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的推理論證和運(yùn)算求解能力.環(huán)節(jié)三：探索新知，推導(dǎo)定理環(huán)節(jié)三：探索新知，推導(dǎo)定理環(huán)節(jié)四：新知應(yīng)用，鞏固內(nèi)化環(huán)節(jié)四：新知應(yīng)用，鞏固內(nèi)化設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，讓學(xué)生熟悉余弦定理及推論.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，讓學(xué)生熟悉余弦定理及推論.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用思維導(dǎo)圖從知識(shí)、方法、研究路徑等多角度梳理概括所學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)學(xué)生歸納概括能力.環(huán)節(jié)五：歸納總結(jié)，反思提升設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用思維導(dǎo)圖從知識(shí)、方法、研究路徑等多角度梳理概括所學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)學(xué)生歸納概括能力.環(huán)節(jié)五：歸納總結(jié)，反思提升教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)回顧，明確目標(biāo)前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的概念和運(yùn)算，從本節(jié)開(kāi)始我們將學(xué)習(xí)向量方法解決平面幾何、物理中的問(wèn)題，感受向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用。三角形作為平面幾何中的基本圖形，本節(jié)課我們首先借助向量的運(yùn)算，探索三角形中邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系。向量概念向量概念向量運(yùn)算平面向量基本定理向量應(yīng)用設(shè)計(jì)意圖：梳理本單元研究?jī)?nèi)容脈絡(luò)，明確本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容及目標(biāo)環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設(shè)情境，引出新課問(wèn)題1：如圖，小明步行從A地前往C地購(gòu)物，但在路途中，道路不暢，需要繞行，于是小明先直線步行2km到B地，再與B地成60°直線步行3km到達(dá)C地，請(qǐng)問(wèn)小明的行駛路程比原計(jì)劃多了多少？設(shè)計(jì)意圖：選擇學(xué)生在生活中常見(jiàn)的一類問(wèn)題，并以此類問(wèn)題作為客觀材料，激發(fā)學(xué)生探究、解決問(wèn)題的欲望，感受數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，能夠培養(yǎng)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化的能力，深刻感受知識(shí)的必要性和簡(jiǎn)潔性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).問(wèn)題2：要解決上述實(shí)際問(wèn)題需要解決什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？數(shù)學(xué)抽象：在任意△ABC中，已知AB=c，AC=b,及角A，求a(即BC).問(wèn)題3：回顧所學(xué)知識(shí)，如何解決上述問(wèn)題？師生活動(dòng)：學(xué)生積極思考，小組交流探究回答教師提出的問(wèn)題，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上投影或板書(shū)答案，教師啟發(fā)學(xué)生在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展新知.師：這是我們本節(jié)課要研究和解決的主要問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系舊知，發(fā)展新知.引導(dǎo)學(xué)生思考已知三角形兩邊及其夾角，如何求解第三邊的問(wèn)題.結(jié)合初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)，學(xué)生可能提出過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線將三角形分割成兩個(gè)直角三角形求解.此時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生探索更直接的求解方法.環(huán)節(jié)三：探索新知，推導(dǎo)定理問(wèn)題4：在這個(gè)問(wèn)題中，因?yàn)樯婕暗氖侨切蔚膬蛇吋捌鋳A角，我們?cè)谀囊?jiàn)過(guò)類似的情景？生：在向量的數(shù)量積中有類似的結(jié)構(gòu).設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系舊知，發(fā)展新知.引導(dǎo)學(xué)生思考已知三角形兩邊及其夾角，如何求解第三邊的問(wèn)題.問(wèn)題5：從向量的角度，小明直線行駛的路徑如何用向量表示？未知向量該如何用已知向量表示？生：?jiǎn)栴}6：所要求解的是的模，怎么樣才能把和它的模聯(lián)系起來(lái)呢?生:結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)，可利用平方關(guān)系，因?yàn)椋瑤煟簭倪@道問(wèn)題中可以看出“向量自乘”是向量式與數(shù)量式之間轉(zhuǎn)化的常用方法。向量作為一種工具，在解決幾何圖形長(zhǎng)度及夾角問(wèn)題中的優(yōu)越性，直接由兩邊及其夾角就可以表示出第三邊.師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生積極思考，教師與學(xué)生協(xié)同合作求解AC的長(zhǎng)度并導(dǎo)余弦定理.設(shè)計(jì)意圖：向量是有方向和大小的量，本題要求解的是線段的長(zhǎng)度，兩者有區(qū)別又有聯(lián)系，利用向量的模長(zhǎng)和向量的平方關(guān)系可溝通起兩者，實(shí)現(xiàn)解三角形和數(shù)量積的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而推導(dǎo)出余弦定理.辨析概念之間的相似性，是利用向量法證明余弦定理的關(guān)鍵.問(wèn)題7：在三角形ABC中，如果已知已知邊b，c和它們的夾角A,能否表示第三邊a呢？以及用邊a，b和它們的夾角C表示第三邊c？同理可得：余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍.問(wèn)題8：觀察余弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，和哪個(gè)定理有相似之處？生：余弦定理涉及三邊平方，與勾股定理相似.師：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.余弦定理把初中“SAS”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫(huà).環(huán)節(jié)四：新知應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1變式師生活動(dòng)：學(xué)生思考并上臺(tái)書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程，或由教師將學(xué)生答案拍照投影，教師點(diǎn)評(píng)并給出規(guī)范解答.設(shè)計(jì)意圖：例1設(shè)置了兩個(gè)問(wèn)題，目的是讓學(xué)生熟悉余弦定理及其推論，明確余弦定理在解三角形問(wèn)題中的適用范圍，深化學(xué)生對(duì)公式的理解.針對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，選擇合適的公式，教師點(diǎn)撥運(yùn)算技巧，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【應(yīng)用案例】山腳A、C兩點(diǎn)不可直接到達(dá)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種測(cè)量通過(guò)這座山隧道的長(zhǎng)度(即AC的長(zhǎng))的方案.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)建模解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)