三年級學(xué)生分?jǐn)?shù)初始概念學(xué)習(xí)特征研兗［摘要“部分/整體”概念是分?jǐn)?shù)教學(xué)的起點(diǎn)，也是兒童深入學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)。本研究對市區(qū)和郊縣小學(xué)三年級兩個(gè)班136名學(xué)生的分?jǐn)?shù)單元測試進(jìn)行事后對比分析，結(jié)果表明“部分/整體”概念的認(rèn)知過程為：由物品分割形成部分與整體的對應(yīng)關(guān)系；并從分物情景進(jìn)入抽象數(shù)字符號(hào)的表征;再通過同分母分?jǐn)?shù)大小比較，特別是分?jǐn)?shù)與1的轉(zhuǎn)換和比較，形成分?jǐn)?shù)的數(shù)量表征。其中，被分割整體的屬性及分率、分量的相對關(guān)系成為三年級分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。［關(guān)鍵詞］學(xué)習(xí)；分?jǐn)?shù);部分/整體；學(xué)習(xí)特征—、弓I言分?jǐn)?shù)是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。國內(nèi)外教育心理學(xué)研究者對分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)具有極大的研究熱情。分?jǐn)?shù)與有理數(shù)有著密切的聯(lián)系，是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的基礎(chǔ)。然而也正是從分?jǐn)?shù)開始,好多學(xué)生的數(shù)學(xué)便走上了下坡路'「。國外學(xué)者最早提出了分?jǐn)?shù)的五種子概念:部分/整體、除商、比、測量、算子，并將“部分/整體”關(guān)系作為分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的初始概念國內(nèi)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書將分?jǐn)?shù)定義為“把事物平均分成若干份,表示其中的一份或幾分的數(shù)?！倍?多個(gè)版本的教科書都將分?jǐn)?shù)的這個(gè)含義放在分?jǐn)?shù)教學(xué)的開始。分?jǐn)?shù)部分/整體的這一“分一取”方式或份數(shù)定義3,充分利用了學(xué)生在生活中平分事物的直觀經(jīng)驗(yàn)。不僅如此,皮亞杰把兒童對分?jǐn)?shù)的理解過程細(xì)化為:能將整體分割;能決定部分量；分割必須窮盡；能決定分割數(shù)與整體的關(guān)系;所有被分割量相等;部分來自整體;部分綜合等于整體,且整體不變等七個(gè)方面。表征和可視化是數(shù)學(xué)理解的核心寸，在Kieren給出的多個(gè)子概念中，部分/整體之所以可以成為初始概念,是因?yàn)槠渲庇^化的形式最多，程度也最高,可成為更復(fù)雜概念的切入點(diǎn)。具體而言，首先，部分/整體最大限度地包含了自然數(shù)的概念,有助于感知分?jǐn)?shù)符號(hào)表示一個(gè)對象或集合具體量，方便了學(xué)生由整數(shù)到分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)遷移虧。其次，部分/整體的含義更易實(shí)現(xiàn)圖形與數(shù)字間的心理對應(yīng)與轉(zhuǎn)換。最后，部分量與原始整體量之間的隸屬、包含關(guān)系直觀明確。這些特點(diǎn)在很大程度上增加了部分/整體概念認(rèn)知的優(yōu)越性，甚至使得其他子概念的認(rèn)知對其產(chǎn)生了依賴。有研究指出，當(dāng)兒童在其他子概念學(xué)習(xí)中遇到困難時(shí)，他們會(huì)主動(dòng)將其還原為部分/整體概念，而且問題越難,這種還原傾向越明顯丁。因此,作為初始概念,部分/整體概念為其他子概念的理解提供了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)虧。例如，對圖形或事物的平均分割操作,是對除法的反復(fù)運(yùn)用。兒童從中形成并發(fā)展分子、分母的不同理解,即從“部分/整體”到“整體/份數(shù)”除商關(guān)系。當(dāng)這些關(guān)系得以在數(shù)軸上表征時(shí),就實(shí)現(xiàn)了測量子概念的理解。兒童從“盡管分割的份數(shù)不同，但得到的數(shù)量相同”中體會(huì)到了等值分?jǐn)?shù);又從“盡管所分得的數(shù)量不同,但部分與整體的關(guān)系卻相同”中感受分?jǐn)?shù)比的性質(zhì)。不僅如此，部分整體間的乘法關(guān)系也為算子概念的生產(chǎn)和運(yùn)用提供了幫助L學(xué)校課堂教學(xué)是學(xué)生分?jǐn)?shù)概念形成的主渠道。綜合國內(nèi)外的數(shù)學(xué)教學(xué)研究，小學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)多從三年級開始。以使用較廣的人教版教材為例，三年級學(xué)生開始學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步知識(shí)，在認(rèn)知分?jǐn)?shù)含義的基礎(chǔ)上掌握分?jǐn)?shù)的簡單計(jì)算與應(yīng)用寸（見圖1）。圖1人教版三年級上冊分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容教材首先創(chuàng)設(shè)了分月餅的生活情景，學(xué)生需要借助并脫離4份中的1份認(rèn)知，形成整體1和1/4的類比關(guān)系從而確立分?jǐn)?shù)單位的概念。同時(shí)，分?jǐn)?shù)單位是構(gòu)成分?jǐn)?shù)的元素，也能反映分?jǐn)?shù)的稠密性和連續(xù)性。但學(xué)生在初學(xué)階段已經(jīng)自上而下地形成了分?jǐn)?shù)單位是由整體分割而得，很難實(shí)現(xiàn)由“分”到“總”地理解分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位的累積。應(yīng)當(dāng)說，學(xué)生在日常的學(xué)與教中完成分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)，其中不乏既困擾自身,也困擾教師的認(rèn)知滯阻與反復(fù)。因此，了解自然背景下分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，觀察學(xué)生真實(shí)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)狀態(tài)，捕捉學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知問題,優(yōu)化教學(xué)方法，以更多地消解學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知困難就顯得尤為重要。為此，本研究主要圍繞小學(xué)生初始分?jǐn)?shù)概念，分析和探討如下問題:（1）分析三年級分?jǐn)?shù)測試題目，對分?jǐn)?shù)部分/整體概念的具體內(nèi)容進(jìn)行梳理匯總；（2）依據(jù)題目的總體作答情況及學(xué)校、性別差異分析對比部分/整體概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)；（3）結(jié)合潛在剖面分析法，對三年級學(xué)生分?jǐn)?shù)部分/整體概念的掌握情況進(jìn)行分類，并分析不同類型學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)；（4）總體分析學(xué)生在分?jǐn)?shù)初始概念認(rèn)知中存在的問題。二、研究方法（一） 研究對象研究分別在呼和浩特市區(qū)及郊縣各選定一所小學(xué)，從三年級中隨機(jī)抽取兩個(gè)自然教學(xué)班，共計(jì)136名學(xué)生，其中市區(qū)77人（男生40人，女生37人）;郊縣59人（男生32人，女生27人）。兩所學(xué)校教學(xué)質(zhì)量均位于所在轄區(qū)的前列，數(shù)學(xué)教師均為有5年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的青年教師。學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)所使用的教材均為人教版教材。接受測試前學(xué)生均剛剛完成了小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊第八單元“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”相關(guān)單元的學(xué)習(xí)。測試均為2所學(xué)校的常規(guī)單元測試環(huán)境:學(xué)生單獨(dú)座位，任課教師組織測試，測試時(shí)長55分鐘。為還原學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)與教學(xué)自然真實(shí)狀態(tài)，本研究采用事后研究，即測試前任課教師和學(xué)生均對本研究不知情。（二） 測試題目分析測試題目為2所學(xué)校日常教學(xué)共同甄選的某配套練習(xí)測試內(nèi)容。測試題目為學(xué)生熟悉的類型:填空（28分）、判斷（5分）、選擇（5分）、圖形題（17分）、計(jì)算題（13分）、解決問題（32分）、附加題（10分），滿分110分。其中的附加題涉及分?jǐn)?shù)乘法，但可以轉(zhuǎn)換為用整數(shù)乘、除法加以解決的三步運(yùn)算題。大小測試題目共計(jì)67項(xiàng)。通過與課程標(biāo)準(zhǔn)及教材核查比對發(fā)現(xiàn)，教學(xué)內(nèi)容要求的所有知識(shí)點(diǎn)在測試題目中均得到不同題型的呈現(xiàn)。結(jié)合理論研究及課程教學(xué)目標(biāo)，試題內(nèi)容可分為9個(gè)類別，具體情況見表1。研究利用SPSS21.。進(jìn)行數(shù)據(jù)的管理和分析，包括對學(xué)生基本信息和作答情況進(jìn)行分析。根據(jù)《分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)》單元測試的結(jié)果，用Mplus7.4對學(xué)生進(jìn)行分類。同時(shí)，為避免原測試項(xiàng)目分值對研究結(jié)果的影響，研究按“通過與否”用1、0重新對測試題目計(jì)分并進(jìn)入統(tǒng)計(jì)分析。表1小學(xué)三年級《分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)》單元測試題目分類匯總序號(hào)題目類型題目數(shù)量所占比例題例1部分/整體命名57.5%把一個(gè)月餅平均分成3份，每份是它的（），2份是它的（）。2分?jǐn)?shù)單位理解69.0%7是（）個(gè)7,5個(gè)9是（），（）是3個(gè)§。3連續(xù)與離散整體的分?jǐn)?shù)表征1116.4%用分?jǐn)?shù)表示陰影部分—（）攵貸分（）4分率和分量的區(qū)分811.9%把12個(gè)桃子平均分成4份,1份是桃子總數(shù)的（）,有（）個(gè),3份是桃子總數(shù)的（）,有（）個(gè)。5同分子、分母大小比較710.4%在（）里填上或“=”￥ ）56同分母分?jǐn)?shù)加減法913.4%計(jì)算2+5=5-4=計(jì)算88997自然數(shù)1的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換710.4%心二冬二DD1=T=n=T=n81為被減數(shù)的分?jǐn)?shù)減法811.9%1-7=；三（1）班男生占全部人數(shù)的5，女生人數(shù)占全班人數(shù)幾分之幾？9分?jǐn)?shù)綜合應(yīng)用69.0%把一張圓形的紙對折3次,每份是這張圓形紙的合計(jì)67100%三、測試結(jié)果（一） 測試題目作答情況學(xué)生的分?jǐn)?shù)掌握情況總體較好。圖2的數(shù)據(jù)反映出，除第9個(gè)類型分?jǐn)?shù)綜合應(yīng)用之外，學(xué)生的正確作答率均在80%以上。尤其第6個(gè)類型同分母分?jǐn)?shù)的加減法正確率達(dá)99.02%。第2類分?jǐn)?shù)單位理解和第7類自然數(shù)1的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換的正確率也分別達(dá)到95.71%和95.27%。與第7類相關(guān)，同樣涉及自然數(shù)1的第8類“1為被減數(shù)的分?jǐn)?shù)減法”的正確率為93.57%。相比之下，學(xué)生在第1、3、4、5、9四類問題上的正確率較低。這也說明雖經(jīng)學(xué)習(xí)，但學(xué)生對部分/整體的基本概念、對不同性質(zhì)整體的理解、分率和分量的區(qū)分、分?jǐn)?shù)大小比較及綜合運(yùn)用方面仍有欠缺?？傮w對比不難發(fā)現(xiàn)，正確率高的題目涉及的分?jǐn)?shù)概念較少，因?yàn)閱挝环謹(jǐn)?shù)理解、同分母加減法以及1為被減數(shù)的分?jǐn)?shù)減法均可以通過整數(shù)經(jīng)驗(yàn)的遷移而實(shí)現(xiàn)，而其他項(xiàng)目的解答則依賴對分?jǐn)?shù)概念的深入理解。（二） 學(xué)生差異研究分別以學(xué)校、性別為自變量考察學(xué)生正確作答題目的差異發(fā)現(xiàn)，測試題目正確數(shù)量的校際差異顯著（T=6.92,p<0.001）,市區(qū)學(xué)校明顯優(yōu)于郊縣學(xué)校。9個(gè)類型的對比情況如圖3。市區(qū)學(xué)生與郊縣學(xué)生各項(xiàng)目作答水平的總體波動(dòng)情況趨于一致，只在第4項(xiàng)“分率和分量的區(qū)分”上，郊縣學(xué)生的認(rèn)知水平明顯低于市區(qū)學(xué)生。郊縣學(xué)生在所有題目上的正確率均低于市區(qū)學(xué)校的學(xué)生，其中第1、4、5項(xiàng)最為嚴(yán)重。進(jìn)一步分析總體67個(gè)題目，市區(qū)學(xué)校學(xué)生通過率在66%以下的題目僅有3題，郊縣學(xué)生則有10個(gè)題目的通過率均低于66%（具體見表2）。目前本研究尚無法確定二者在分?jǐn)?shù)中的差異，但就已有的關(guān)于城鄉(xiāng)學(xué)生廣義學(xué)習(xí)差異來源看，可能的因素是學(xué)生早期數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)習(xí)慣"「、師資等教學(xué)條件。

■市區(qū)■市區(qū)■郊縣表2郊縣與市區(qū)學(xué)生作答題目通過率對比通過率％題目數(shù)量（題）郊縣市區(qū)390含（100）32(6)60(28)3801823706236041<6072合計(jì)6767此外，就性別而言,題目正確作答也存在性別差異,女生的作答情況均優(yōu)于男生。這與小學(xué)階段的女生愿意遵守課堂紀(jì)律、學(xué)業(yè)上更多地自覺與主動(dòng)以及作業(yè)中因書寫的規(guī)范而使得錯(cuò)誤減少不無關(guān)系?？傮w上，盡管郊縣學(xué)生與市區(qū)學(xué)生存在差異，但研究目的并不在于展示這種差異,而是希望更多地發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知中存在的問題。同時(shí)本研究也認(rèn)為郊縣學(xué)校學(xué)生所體現(xiàn)的差異可以用來精準(zhǔn)識(shí)別和定位分?jǐn)?shù)認(rèn)知中的基礎(chǔ)概念。因?yàn)檫@些學(xué)生目前存在的認(rèn)知困難也可能是其他學(xué)生曾經(jīng)經(jīng)歷的，或即將經(jīng)歷的。如果這些甄別出的基本問題能得到教學(xué)的重視,那么學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知的整體水平就會(huì)進(jìn)一步發(fā)展。根據(jù)學(xué)生9類問題的作答情況，研究利用Mplus7.4軟件對所有數(shù)據(jù)進(jìn)行潛在剖面分析。結(jié)果顯示，4個(gè)剖面的模型的擬合性最好，表明潛在結(jié)構(gòu)是分類的。從圖4中可以看出，第一類學(xué)生只占總數(shù)的2.2%,他們除了在“2.分?jǐn)?shù)單位理解”和“5.同分子、分母大小比較”兩個(gè)基本概念通過率相對較高外，其余問題的掌握情況都低于其他學(xué)生，尤其“1.部分/整體命名”“3.連續(xù)與離散整體的分?jǐn)?shù)表征”“6.同分母分?jǐn)?shù)加減法”及“7.自然數(shù)1的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換”的差異更為突出，因此將其命名為“分?jǐn)?shù)認(rèn)知低水平組”。第二個(gè)類別中，學(xué)生正確率較高的題目集中在“1.部分/整體命名“5.同分子、分母大小比較”和“6.同分母分?jǐn)?shù)加減法”三項(xiàng)，而在其他幾項(xiàng)的作答都不理想，最低的是第3項(xiàng)“連續(xù)及離散整體的表征”?？梢钥闯?，這類學(xué)生擅長分?jǐn)?shù)運(yùn)算和大小比較,但不能排除不同屬性的“整體”對分?jǐn)?shù)表征的影響。因此，將其命名為“整體性質(zhì)認(rèn)知欠缺組”，占據(jù)總?cè)藬?shù)的5.1%。在第三個(gè)類別中，學(xué)生在各個(gè)維度上的得分均較高，結(jié)合這類被試特征，可以將這類學(xué)生命名為“分?jǐn)?shù)認(rèn)知高水平”組，他們占據(jù)總?cè)藬?shù)的80.7%。最后一個(gè)類別中，學(xué)生在第5個(gè)類型“同分母或同分子的分?jǐn)?shù)大小比較”得分最高,而在第3個(gè)類型“連續(xù)與離散整體的分?jǐn)?shù)表征”與第4個(gè)類型“分率和分量的區(qū)分”上得分較低，根據(jù)這樣的特征，將該類學(xué)生命名為“分?jǐn)?shù)量率對應(yīng)缺失組”。這類學(xué)生占據(jù)總?cè)藬?shù)的11.9%。圖4四個(gè)潛在剖面被試的作答概率分布僅就分類結(jié)果看，雖然學(xué)生分?jǐn)?shù)掌握水平分類的同質(zhì)化現(xiàn)象比較嚴(yán)重，但也表明多數(shù)學(xué)生都能較好地掌握分?jǐn)?shù)初始概念。從教學(xué)角度講，當(dāng)學(xué)生的整體素質(zhì)提升后，教學(xué)需要集中精力關(guān)注少數(shù)學(xué)生的認(rèn)知學(xué)習(xí)，而且可以預(yù)知:在他們的認(rèn)知轉(zhuǎn)變中需要付出的個(gè)人努力和教學(xué)投入遠(yuǎn)比其他學(xué)生要多。而對于這部分學(xué)生，分?jǐn)?shù)認(rèn)知的薄弱之處在于“整體”的連續(xù)和離散屬性以及分率與分量的區(qū)別與聯(lián)系。四、學(xué)生分?jǐn)?shù)認(rèn)知能力分析綜合上述研究結(jié)果，測試題目總體情況顯示第1、3、4、5、9類題目存在問題;其中郊縣學(xué)生相比市區(qū)學(xué)生更明顯的差異指向第1、4、5類題目；學(xué)生總體經(jīng)潛在剖面分析確定的四個(gè)類型中又明確地指向了第3、4類型。因此，三年級學(xué)生分?jǐn)?shù)初始概念的認(rèn)知可從如下三個(gè)方面分析。（一）離散圖形表征方式影響分?jǐn)?shù)的抽象理解就測試題目數(shù)量較多且對學(xué)生分類影響較大的第3類“連續(xù)與離散整體的分?jǐn)?shù)表征”問題做進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),該類型下包含11個(gè)題目，其中連續(xù)性質(zhì)整體5個(gè)問題，離散性整體6個(gè)問題。學(xué)生作答連續(xù)性整體分?jǐn)?shù)的正確率（81.1%）優(yōu)于離散整體（59.4%）。換言之，學(xué)生對離散整體分?jǐn)?shù)表征的認(rèn)知存在缺陷。小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)圖形呈現(xiàn)方式主要有兩類，一類是離散化分割的幾何圖形，另一類是離散實(shí)物圖片（如小旗、水果）。幾何圖形不同形式的分割表達(dá)了一個(gè)連續(xù)整體等分后所得的份數(shù)。實(shí)物圖片的使用重在引起學(xué)生對離散整體等分后，每份數(shù)量的關(guān)注及份數(shù)劃分存在多種可能。在連續(xù)幾何圖形的離散化分割中有一個(gè)判斷題：田一個(gè)4等分的正方形，其中2份有陰影。問題表述是：陰影部分可否用1/2表示。學(xué)生受到分割份數(shù)的嚴(yán)重干擾,53%的學(xué)生都認(rèn)為不可以用1/2表示。假如題目中的1/2改為2/4,相信錯(cuò)誤率會(huì)大幅降低。因?yàn)?在另一個(gè)類似的題目：要求學(xué)生根據(jù)所給圖形/寫出分?jǐn)?shù)，57個(gè)正確答案中僅4名學(xué)生填寫了1/2，其余的答案均為2/4。同樣的，在另一個(gè)涂色題中，一個(gè)六等分的圓，要求涂出1/2,學(xué)生的正確作答率為66%。錯(cuò)誤答案集中于涂出6份中1份和6份中的2份。1/2本應(yīng)是學(xué)生最為熟悉，也掌握較好的分?jǐn)?shù)，但在幾何圖形多等分的情況下學(xué)生仍難以排除干擾。與此相對應(yīng)的是離散圖形的表征，其難點(diǎn)在于對“每份包含數(shù)量不為1”的認(rèn)識(shí)。題目的圖片顯示：12頂帽子均勻地排成2行，每行6頂,要求將總數(shù)的3/4涂色。學(xué)生正確作答率為74%。從試題中保留的痕跡分析,學(xué)生的思路有兩種:一種是先確定每份有3頂，然后涂出9頂;另一種是以“十字”形將整體四等分，涂出其中的3份。而錯(cuò)誤的思考結(jié)果源于上下雙行排列的影響，一些學(xué)生將2頂確定為每份的數(shù)量,給出3份,6頂?shù)耐可Y(jié)果。一部分學(xué)生誤將總體的4份作為部分的份數(shù)，給出8頂?shù)慕Y(jié)果。也有部分學(xué)生只涂出3頂作為分量，完全無法解決每份有多個(gè)的問題。與之類似的填空題是，在給出的韋恩圖中有12只小雞，每四只聚在一起，問題是“這些小雞的2/3是（）只”,學(xué)生的正確率為76%。兩類圖形的理解反映學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的認(rèn)知始終無法擺脫分子、分母作為獨(dú)立整數(shù)帶來的影響，更不能從部分/整體的含義出發(fā)，在真分?jǐn)?shù)之間進(jìn)行大小比較?？臻g圖形認(rèn)識(shí)能力是認(rèn)知的重要組成部分?jǐn)?shù)概念是學(xué)生從直觀走向抽象的結(jié)果,這個(gè)過程中往往需要利用更復(fù)雜的直觀工具去增加思維的可觸及性。或者說,分?jǐn)?shù)的認(rèn)知必須經(jīng)由圖形才能擺脫圖形。因此，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生更多地接觸離散整體的分割情景，特別是分割后部分所含事物數(shù)量大于1的情境。相反地，也要引導(dǎo)學(xué)生將部分中的多個(gè)數(shù)量抽象地“合并”為一個(gè)整體。（二）分率與分量兩個(gè)維度的區(qū)分與對應(yīng)成為分?jǐn)?shù)深入理解的關(guān)鍵上述圖形問題也牽涉出分?jǐn)?shù)認(rèn)知中“率、量”對應(yīng)的困難。從對比分析中我們看到,郊縣學(xué)生在第4個(gè)類型“分量與分率的區(qū)分”上，與市區(qū)學(xué)生有著較大差距。該類型包含7個(gè)題目，其中有3個(gè)題目的正確率低于65%。這三個(gè)題目涉及如下內(nèi)容:填空題:①把一個(gè)月餅平均分成3份，每份是它的1/（）,2份是它的（）/（）；②把12個(gè)桃子平均分成4份,1份是桃子總數(shù)的（）/（）,有（）個(gè),3份是桃子總數(shù)的（）/（）,有（）個(gè);選擇題:③把10米長的繩子平均分成5段，每段是這根繩子的（），備選項(xiàng)分別為1/10、1/5、1/2。這里僅以②題12個(gè)桃子相關(guān)四個(gè)空的作答情況進(jìn)行分析，其中，關(guān)于“3份是桃子總數(shù)的（）/（）,有（）個(gè)”的正確率也是三個(gè)題目中分?jǐn)?shù)是最低的，分別為61%和56%。在第一個(gè)空項(xiàng)中“1份是桃子總數(shù)的（）/（）”,學(xué)生出現(xiàn)了三種錯(cuò)誤答案:分別為1/3、3/4和1/12。顯然，回答1/3和3/4的學(xué)生都是把每份所含的數(shù)量混入了部分和整體的份數(shù)比例關(guān)系當(dāng)中。1/3是把每份的量當(dāng)成整體；回答3/4的學(xué)生盡管整體選擇正確,但又把部分的數(shù)量與部分所占的份數(shù)相混淆；1/12是考慮了整體的數(shù)量忽略了整體的份數(shù)特征。即,學(xué)生用“12個(gè)桃子”的總量當(dāng)作總份數(shù)，取代了4份的位置。1份的討論尚且簡單，第三、四兩個(gè)空項(xiàng)考察3份所占的分率及對應(yīng)的分量時(shí)，認(rèn)知矛盾凸顯。學(xué)生給出的錯(cuò)誤答案包括3份是桃子總數(shù)的：1/3、3/3、4/3、3/12,而3份有4個(gè)和3個(gè)的回答最多。1/3的答案可能是僅將“3份”作為唯一的考慮因素,忽略了總體為4份的信息。3/3與4/3的答案又是分率和分量混淆造成的錯(cuò)誤。同時(shí)，也從一個(gè)側(cè)面反映出這個(gè)階段的學(xué)生還只能從部分小于整體的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。因?yàn)樗麄儫o法“用3/3=1”推導(dǎo)出3份不是全部，更不可能大于整體，從而否定自己的錯(cuò)誤答案。3/12仍然是整體量與率的錯(cuò)位。其次,從3份占的分率所對應(yīng)的分量看，學(xué)生似乎面臨著更大的挑戰(zhàn)。認(rèn)為3份占總數(shù)的1/3,有4個(gè)的學(xué)生明顯是將12個(gè)桃子又重新分成了3份，回答了其中1份的量。這也說明，在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的初期，學(xué)生們更習(xí)慣于真分?jǐn)?shù)思維,尤其對單位分?jǐn)?shù)有著明顯的偏好。這與學(xué)校教學(xué)有著直接聯(lián)系。分?jǐn)?shù)概念的初步引入是從部分與整體的關(guān)系開始的。尤其是對連續(xù)量的分割過程中，如一塊月餅、一個(gè)圖形等。此類事物雖然凸顯了部分整體之間的關(guān)系，但也給學(xué)生造成了一種隱喻一分?jǐn)?shù)只是份數(shù)之間的包含關(guān)系,無需對具體的量再做思考。而事實(shí)上,分量與分率的對應(yīng)是同一事物關(guān)系從兩個(gè)維度的考量。學(xué)生首先要有足夠的能力將這兩個(gè)維度區(qū)分開來，在此基礎(chǔ)上再將兩個(gè)維度對應(yīng)地聯(lián)系在一起,并在不同的場景中靈活地進(jìn)行對比和切換。就如同人們對水果和蘋果概念的認(rèn)知。年齡小的兒童最初只能直接使用蘋果概念,到達(dá)一定的思維成熟階段后，才可以理解并運(yùn)用“水果”的概念指代眼前的若干蘋果。量和率的抽象程度不同，率的維度的提取需要克服事物數(shù)量的刺激，抽象出部分與整體的相對關(guān)系。分?jǐn)?shù)的數(shù)量感知是部分/整體概念形成的潛在條件僅就潛在剖面分析所劃分的四個(gè)類型看，“分?jǐn)?shù)認(rèn)知低水平組”測試情況與其他三組的差異最明顯。除了同樣在類型3和4問題上得分低之外，這組學(xué)生在“1.部分/整體命名“6.同分母分?jǐn)?shù)加減法”及“7.自然數(shù)1的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換”的得分差異更為突出。他們僅通過了“2.分?jǐn)?shù)單位理解”和“5.同分子、分母大小比較”兩類問題測試。嚴(yán)格意義上說，這兩個(gè)問題并不足以說明學(xué)生初步掌握了分?jǐn)?shù)。因?yàn)橹T如“4/5中包含幾個(gè)1/5,或4/5和1/5哪個(gè)大”的問題是僅憑整數(shù)經(jīng)驗(yàn)就可以解答的,不足以說明學(xué)生是完全掌握了部分/整體的關(guān)系，還是僅把分?jǐn)?shù)視為兩個(gè)互無關(guān)系的數(shù)字并置。然而，在此基礎(chǔ)上，如果學(xué)生能完成“1.部分/整體命名”，則至少可以說明他們已經(jīng)掌握了分子是源于分母且包含在分母中的部分。所以說，類型“1.部分/整體命名”是分?jǐn)?shù)概念形成的直接標(biāo)準(zhǔn)。此外，“6.同分母分?jǐn)?shù)加減法”與“7.自然數(shù)1的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換”共同預(yù)示