高中數(shù)學(xué)競賽教程第04講會集的看法與運算高中數(shù)學(xué)競賽教程第04講會集的看法與運算/高中數(shù)學(xué)競賽教程第04講會集的看法與運算.第4講會集的看法與運算本講內(nèi)容包括會集及其性質(zhì)（會集的元素滿足確定性、互異性、無序性）；元素與會集、會集與會集的關(guān)系（屬于、包括、子集、空集、全集）；會集的運算（交、并、補）及容斥原理等?！敖?、并、補”是會集的三種運算。它們的含義能夠用“且、或、非”來理解。這對于運用會集語言描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象，或解讀運用會集語言描述的問題都有幫助。會集及其運算還有以下一些常用的性質(zhì)和公式：若ABB，則BA；若ABB，則AB；ABBA;(AB)CA(BC)；ABBA;(AB)CA(BC)；A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC);[I(AB)[IA[IB;[I(AB)[IA[IB.容斥原理在需要對某一個有限會集的元素進行記數(shù)時，為了便于計算，常常經(jīng)過計算它的若干個子集的元素個數(shù)來實現(xiàn)。實質(zhì)是將整體計數(shù)問題轉(zhuǎn)變成局部計數(shù)問題。我們將此類計數(shù)公式通稱為容斥原理。“容”意指這些子集的并集是原會集，“斥”意指這些子集中兩兩交集不是空集時，需要將重復(fù)的元素個數(shù)排斥掉。平時以|X|表示有限會集X中元素的個數(shù)，參照Venn圖能夠獲取以下計數(shù)公式:|AB||A||B||AB|AB|ABC||A||B||C||AB||BC||CA||ABC|類例題

CAB例1已知數(shù)集A{a2,(a1)2,a23a3}，B{ab,1,ab5}。若AB，求實數(shù)a,b的值。解析兩個會集相等是指這兩個會集的元素完好相同。由會集中元素的互異性及無序性，會集A中三個元素有且僅有一個為1。椐此可求出a，進而求出b。解由AB，得1A。a21a1;(a1)21a0或a2;a23a31a1或a2.由會集A中三個元素有且僅有一個為1，得a0,A{1,2,3}，B{1,b,5b}。由AB，得b2或b3。因此，所求實數(shù)為a0,b2或a0,b3。例2會集M{u|u12m8n4l,m,n,lZ}N{u|u20p16q12r,p,q,rZ}的關(guān)系是（）AMNBMNNMCMNDMN（1989年全國高中聯(lián)賽）解析1經(jīng)過化簡，認識這兩個會集中元素的特色，進而作出判斷。解112m8n4l4(3m2nl)，而3m2nl可取任意整數(shù)，得會集M表示4的倍數(shù)的會集，即M{u|u4k,kZ}。20p16q12r4(5p4q3r)，設(shè)pqk,r0，得N{u|u4k,kZ}。因此，MN，應(yīng)選A。解析2本題供選擇的結(jié)論中，均為兩會集之間的包括關(guān)系。證明會集之間包括關(guān)系的一般方法是“若aAaB，則AB”；證明會集相等關(guān)系的一般方法是“若AB,則BA,B”。解2若uMu12m8n4l。設(shè)m,rn2,q，l則pu20p1q6r12N。MN若uNu20p16q12r。設(shè)pq2nl,rm，則u12m8n4l。MNM由MNMN。因此應(yīng)選A。NM例3已知M{(x,y)|yx2},N{(x,y)|x2(ya)21}，AMN。1）若|A|3，求實數(shù)a的值；2）若A，求實數(shù)a的取值范圍。解析第一對付題中的會集語言進行解讀。MN，意為由會集M,N分別表示的兩個方程組成的方程組的解集。（1）是求實數(shù)a的值，使上述方程組有3解；（2）是求實數(shù)a的取值范圍，使上述方程組無解。解由yx2,2210（*）x2(ya)2y(2a1)ya1,當a當a當a由x2

(2a1)24(a21)54a。5時，0，原方程組無解；45時，y3x3，原方程組有兩解；4425時，0，方程（*）有兩個不等的實根y1,y2。4y0，得方程（*）兩根中，一根為正數(shù)另一根為0時，原方程組有3解；方程（*）兩根均為負根時，原方程組無解。由a210a1，經(jīng)驗算，a1時，原方程組有3解；0由2a10a1，即a1時，原方程組無解。a210因此，若|A|3，實數(shù)a1；若A，實數(shù)a的取值范圍是a1或a5。4情況再現(xiàn)1．已知數(shù)集{0,1,2a}{a1,|a|,a1}，求實數(shù)a的值。（1999年第十屆“希望杯”高一）2．若A{x|0x2ax54}是單元素會集，則實數(shù)a的值為（）A23B2C3D不存在這樣的實數(shù)（1990年江蘇省數(shù)學(xué)競賽）3．數(shù)集X{x|x(2n1),nZ}與數(shù)集Y{y|y(4m1),mZ}之間的關(guān)系是（）AXYBXYCXYDXY（1984年全國高考題）類例題例4設(shè)會集A,B,X滿足：AXBXAB，ABXAB。若A,B為已知會集，求會集X。解析在研究會集之間的運算時，應(yīng)理解會集運算的意義并注意應(yīng)用運算的性質(zhì)。解1由ABXABXAB設(shè)xXxABxA或xB由于xX，得xAxB，即x(AX)(BX)AB。x或xXX由xXxAB，得XAB。又AXABABX因此，XAB。解2由ABXABXAB，因此，XX(AB)(AX)(BX)AB。例5已知會集A{x2(a2)x2a40}，R|xB{xR|x2(2a3)x2a2a30}，若AB，求實數(shù)a的取值范圍。解析由題意，兩個一元二次方程x2(a2)x2a40和x2(2a3)x2a2a30中，最少有一個方程有實數(shù)解。采用直接方法是求兩個方程有解會集的并集；或采用間接方法是求兩個方程無解會集的交集的補集。解1由二次方程x2(a2)x2a40，得1(a2)24(2a4)a24a120a6或a2；由二次方程x2(2a3)x2a2a30，得2(2a3)24(2a2a3)4a28a2107a3；22由AB，得所求實數(shù)a的取值范圍是{a|a6或73a2}{a|a}22{a|a6,7a3或a2}.2212

解2由解1，得06a27或373M{a|6aa2}。0a或a222由AB，得所求實數(shù)a的取值范圍是[RM{a|a6,7a3或a2}.22例6不大于1000的自然數(shù)中，既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)共有多少個？解析若不大于1000的自然數(shù)會集為全集I，其中3的倍數(shù)的會集為A，5的倍數(shù)的集合為B。則要求的是|[I(AB)|。解設(shè)不大于1000的自然數(shù)會集為全集I，其中3的倍數(shù)的會集為A，5的倍數(shù)的會集為B，則|A|1000333,|B|1000200,|A1000]66。[][]B|[3515因此，|AB||A||B||AB|33320066467。因此，不大于1000的自然數(shù)中，既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)共有|[I(AB)|1000|AB|533（個）。情況再現(xiàn)4．已知A{x|x2axa2190},B{x|x25x60}，C{x|x22x80}，且AC，（1）若AB，求實數(shù)a的值；（2）若ABA，求實數(shù)a的取值范圍。5．若非空會集A{x|2a1x3a5},B{x|3x22}，則能使AAB成立的所有a的會集是（）A{a|1a9}B{a|6a9}C{a|a9}D（1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）6．某班期末對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科的總評成績進行統(tǒng)計：數(shù)學(xué)有21人優(yōu)秀，物理有19人優(yōu)秀，化學(xué)有20人優(yōu)秀，數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有9人，物理和化學(xué)都優(yōu)秀的有6個，數(shù)學(xué)和化學(xué)都優(yōu)秀的有8個。若該班有7人數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科中沒有一科優(yōu)秀，試確定該班總?cè)藬?shù)S的范圍及僅數(shù)學(xué)一科優(yōu)秀的人數(shù)x的范圍。C類例題例7設(shè)a,bR，A{(x,y)|xn,yanbnZ}，B{(x,y)|xm,y3m215mZ}，C{(x,y)|x2y2144}，是平面XOY內(nèi)的點集，談?wù)摽煞翊嬖赼,b使得（1）AB；（2）(a,b)C同時成立。（1986年全國高考題）解析第一對付題中的會集語言進行解讀。AB，意為由會集A,B分別表示的兩個方程組成的方程組有整數(shù)解；(a,b)C，則給出了a,b的贊同值范圍。解會集A,B可分別化簡為A{(x,y)y|axb，xZ215xZ}。B{(x,y)|y3xyaxb2ax15b0，y3x2153xa212(15b)144b218012b(b6)2僅當b6且a63(a2b2144)時，0，方程組有解。此時，原方程組的解為x3,由于，原方程組的解不是整數(shù)解，因此滿足條件的實數(shù)a,b不存在。y24.例8一次會議有2005位數(shù)學(xué)家參加，每人最少有1337位合作者，求證：能夠找到4位數(shù)學(xué)家，他們中每兩人都合作過。解析按題意，能夠構(gòu)造一種選法，找出吻合條件的四位數(shù)學(xué)家。解由題意，可任選兩位合作過的數(shù)學(xué)家a,b，設(shè)與a合作過的數(shù)學(xué)家的會集為A，與b合作過的數(shù)學(xué)家的會集為B。則|A|1337，|B|1337。又|AB|2005。于是，|AB||A||B||AB|133713372005669。因此，在會集AB中，有數(shù)學(xué)家且不是a,b。從中選出數(shù)學(xué)家c，并設(shè)與c合作過的數(shù)學(xué)家的會集為C。則|(AB)C|2005，|C|1337。于是，|ABC||AB||C||(AB)C|669133720051因此，在會集ABC中，有數(shù)學(xué)家且不是a,b,c。又可從中選出數(shù)學(xué)家d。則數(shù)學(xué)家a,b,c,d，他們中每兩人都合作過。即原命題得證。情況再現(xiàn)2f(x),xR}，B{x|xf(f(x)),xR}。7．設(shè)fx( )xbxcbc(R,)，A{x|x若會集A是單元素集，則AB。8．計算不高出120的合數(shù)及質(zhì)數(shù)的個數(shù)。習(xí)題41．已知會集M{x|xt24t2,tR}，N{y|yx24x2,xR}，P{(x,y)|yx24x2,xR}，則會集M,N,P的關(guān)系是（）AMNPBMNPCMNPDMNP2．由PMPN能夠推出（）AMNBPMPNCP[IMP[IND[IPM[IPN（1985年上海數(shù)學(xué)競賽）3．設(shè)aR,A{xR||xa|1},B{xR||x1|a2}。若A不是B的真子集，則a的取值范圍是()A1a1Ba2或a1C2a1D2a04．已知A{(x,y)|yax1},B{(x,y)|yx2}，又AB，求實數(shù)a的取值范圍。5．設(shè)A{x|2xa},B{y|y2x3,xA}，C{z|zx2,xA}且CB，求實數(shù)a的取值范圍。6．設(shè)M{a|ax2y2,x,yZ}，求證：（1）所有奇數(shù)屬于M；（2）形如4k2(kZ)的數(shù)不屬于M；（3）M中任意兩個數(shù)的積仍屬于M。7．設(shè)A{n|100n600,nN}，則會集A中被7除余2且不能夠被57整除的數(shù)的個數(shù)為__________。（1994年江蘇省數(shù)學(xué)競賽）8．已知對任意實數(shù)x，函數(shù)f(x)都有定義，且f2(x)2x2f(x)，假如會集2A{a|f(a)2a}A是無量集。（1994年江蘇省數(shù)學(xué)競賽）不是空集，試證明9．設(shè)A,B是坐標平面上的兩個點集，Cr{(x,y)|x2y2r2}，若對任何r0都有CrACrB，則必有AB。此命題可否正確？(1984年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽)10．設(shè)S為滿足以下條件的有理數(shù)會集：（1）若aS,bS，則abS,abS；（2）對任意一個有理數(shù)r，三個關(guān)系rS,rS,r0有且僅有一個成立。證明：S是由全體正有理數(shù)組成的會集。（1972年奧地利數(shù)學(xué)競賽）答案情況再現(xiàn)1．設(shè)a10a1，經(jīng)檢驗吻合題意；|a|0a0，經(jīng)檢驗不合題意；a10a1，經(jīng)檢驗吻合題意。故所求的值為a1。x2ax542．會集A表示不等式組的解集。當兩個不等式的解集有共同的界線點，或x2ax50者兩個不等式的解集中，有一個是單元素集時，不等式組解集有可能為單元素集。由此，不等式x2ax54可化簡為x2ax10，當a2時，此不等式的解集為單元素集。故應(yīng)選B。3．由2n1(nZ)與4m1(mZ)都表示全體奇數(shù)，因此，XY。故應(yīng)選C。4．B{x|x25x60}{2,3}，C{x|x22x80}{4,2}。（1）由AC且AB，得3是會集A的元素。將3代入方程x2axa2190，得a23a100，解此方程得a2或a5。經(jīng)檢驗，所求實數(shù)a的值為a2；（2）由ABAAB，又AC，因此會集A為或{3}.由（1），A}3{不能能。當A,則a24(a219)0a257或a257.33因此，所求實數(shù)a的取值范圍是a257或a257。335．AAB即AAB。因此，2a131a9。因此，應(yīng)選A。3a5226．設(shè)A{該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生}{該班物理成績優(yōu)秀的學(xué)生}{該班化學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生}則|A|21,|B|19,|C|20,|AB|9,|BC|6,|CA|8,|ABC|k.|ABC||A||B||C||AB||BC||CA||ABC|211920968k37k.由ABC是AB,BC,CA的子集，得kmin{9,6,8}0k6。因此，3707S376744S50。x|A[IB[IC||A[I(BC)||ABC||BC||ABC|(|B||C||BC|)37k(19206)k4因此，4x10。因此，該班總?cè)藬?shù)S的范圍是44S50；僅數(shù)學(xué)一科優(yōu)秀的人數(shù)x的范圍是4x10。7．若會集A是單元素集，設(shè)A{}即f(x)x(x)2，則f(x)(x2x，)f(f(x))x[(x)2x]2(x)2xx(x)2[(x1)21](x1)210f(f(x))x0x.B{}A.8．不高出120的合數(shù)的質(zhì)因數(shù)12011，因此不高出120的合數(shù)必定是質(zhì)數(shù)2，3，5，的倍數(shù)。設(shè)I{nN|1n120}，A{I中2的倍數(shù)}，B{I中3的倍數(shù)}，C{I中5的倍數(shù)}，D{I中7的倍數(shù)}。12060,|B|[120|A|[]]40,則23120120|C|[]24,|D|[]17,57120120]8,|AB|[3]20,|BC|[523|AC|[1201202]12,|BD|[]5,537|AD|[120]8,|CD|[120]3,2757|ABC|[120]4,325|ACD|[120]1,527|ABD|[120]2,327|BCD|[120]1,537|ABCD|[120]0.3572不高出120且是2，3，5，7的倍數(shù)共有60402417201288534121093.因此，不高出120的合數(shù)共有93489（個）（除去四個質(zhì)數(shù)）；不高出120的質(zhì)數(shù)共有12089130（個）（1不是質(zhì)數(shù)）。習(xí)題41．24x2(x2)22，得MN(,2]。又會集M,N表示數(shù)集，P表由x2示點集，因此，MNP。故應(yīng)選B。2．解1設(shè)P{1,2,3,4},M{1,5},N{2,5}，則PMPN。經(jīng)驗算，A,B,C均不正確，因此，應(yīng)選D。解2由PMP([IPM),PNP([IPN)，因此，[IPM[IN。故應(yīng)選D。3．A{xR||xa|1}[a1,a1]，B{xR||x1|a2}[1a2,1a2].22若A是B的真子集，則a11a,或a11a,a11a2.a11a2.解得a2或a1。因此，若A不是B的真子集，則2a1。故應(yīng)選C。4．由題意，方程組yax1yx2無解。yax12ax10由方程組yx2x，得a2402a2.因此實數(shù)a的取值范圍是2a2。5．B{y|y2x3,xA}[1,2a3]，[a2,4],2a0,C{z|zx2,xA}[0,4],0a2,[0,a2],a2.當2a0時，2a3411a0;a.22當0a2時，2a34a1.0a2;2當a2時，2a3a21a3.2a3.綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是1a3。26。（1）奇數(shù)會集可表示為P{a|a2n1,nZ}。aPa2n1(n1)2n2aM;（2）x2y2(xy)(xy)。由于xy與xy同