函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)§1.1

函數(shù)

、常量與變量在觀察過程中保持不變的量，稱為常量。在觀察過程中變化著的量，稱為變量。習(xí)慣上，常量用字母等表示，變量用等表示.

例如，當(dāng)密閉的容器被加熱時(shí)，其中氣體的體積和分子；而容器的溫度和壓強(qiáng)在加熱過程中是變化的，因此它們是變量。數(shù)量保持不變，它們都是常量。第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)二、區(qū)間與鄰域（1）開區(qū)間：設(shè)

為實(shí)數(shù),且則區(qū)間的記號和定義如下：（2）閉區(qū)間：（3）半開半閉區(qū)間：以上區(qū)間都稱為有限區(qū)間，稱為區(qū)間的長度.和稱為區(qū)間的端點(diǎn)，第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)某個(gè)確定的數(shù)，因此它們不能參與數(shù)的運(yùn)算.注：都只是表示無限性的一種記號，它們都不是（4）無限區(qū)間：第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)的鄰域，記作,其中稱為鄰域的中心點(diǎn)，稱為鄰域的設(shè)，以點(diǎn)為中心的開區(qū)間稱為時(shí)，簡記為半徑，當(dāng)不需要強(qiáng)調(diào)，·（）.，

稱為的去心鄰域，記作分別記為.，的右鄰域，其中稱為的左鄰域，稱為第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)三、函數(shù)的概念是變量的函數(shù)，記作定義和設(shè)是兩個(gè)變量，是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，若有一個(gè)，都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，使得對于每一個(gè)與對應(yīng)法則為定義在上的函數(shù)，或稱變量之對應(yīng)，則稱這個(gè)對應(yīng)法則.其中稱為自變量，稱為因變量，稱為函數(shù)的定義域，也記作.

第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù).或稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，記作值,,即.當(dāng)時(shí)，稱在點(diǎn)處有定義，與所對應(yīng)的函數(shù)的函數(shù)值全體組成的集合稱為其值域，記作或即.第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)注：（1）一般函數(shù)的定義域就是使數(shù)學(xué)表達(dá)式有意義的一切.例如，

的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?但在實(shí)際問題中，

除了考慮數(shù)學(xué)表達(dá)式本身的意義外，還應(yīng)考慮函數(shù)的實(shí)際意義.

第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)

有一個(gè)，這種函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù).若無特別（3）函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則稱為函數(shù)的兩個(gè)要素.是不相同的函數(shù).

（2）若自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值，對應(yīng)的函數(shù)值總是只聲明，本教材中的函數(shù)均指單值函數(shù).與

例如，兩個(gè)函數(shù)相同的充要條件是它們的定義域和對應(yīng)法則均相同.

第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集稱為函數(shù)的圖形.許多函數(shù)都是由它們“構(gòu)成”的，所以它們稱為基本初等函數(shù).例1

初等數(shù)學(xué)中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)，是最基本的函數(shù)，第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三例2

常數(shù)函數(shù)（k為常數(shù)）的定義域

值域

圖1-3它圖形是一條平行軸的直線（如圖1-3）.

微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)例3

絕對值函數(shù)

的定義域

，值域

，見圖1-4.圖1-4第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)例4

該函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，其圖形見圖1-5.圖1-5和

稱為其分段點(diǎn).

一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)的不同部分，其對應(yīng)法則由不同的算式表達(dá)，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)，對于例4，第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)四、函數(shù)的特性設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，數(shù)集

.

1．函數(shù)的有界性若存在一個(gè)正數(shù)

，使得對于任一

，都有

，則稱函數(shù)

在

上是有界函數(shù)，稱為它的界.例如，函數(shù)

在內(nèi)有界，.

在內(nèi)無界.

函數(shù)第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)函數(shù)

在一個(gè)區(qū)間

上有界的

幾何解釋是：

在該區(qū)間上的圖形位于兩條直線

和

之間.

圖1—6第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)2．函數(shù)的單調(diào)性

若對于任意兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒有（）則稱函數(shù)

在上是單調(diào)增加（減少）函數(shù).若總有（），則稱在上是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）函數(shù).單調(diào)增加單調(diào)減少第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)在上是單調(diào)減少的，內(nèi)不是單調(diào)的.在上是單調(diào)增加的；在有時(shí)一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義域上不是單調(diào)的，而在定義域中的部分區(qū)間上是單調(diào)的，這些部分區(qū)間稱為該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)例如，

y=x20xy第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)3．函數(shù)的奇偶性設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對于任一，恒有（）則稱函數(shù)在上為偶（奇）函數(shù).例如，是偶函數(shù)，、y=x20xy第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三例如，是偶函數(shù)，、、是奇函數(shù)，既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù).y=x20xy0xy=x3y偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對稱的，而奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.

第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)例5

判斷函數(shù)

的奇偶性.解所以

為奇函數(shù).

因?yàn)榈?0頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)4．函數(shù)的周期性若存在一個(gè)不為零的常數(shù)

，使得對于任一

，都有

，且關(guān)系式恒成立，則稱函數(shù)

在

上是周期函數(shù)，常數(shù)稱為

的一個(gè)周期，通常所說的周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.

例如，函數(shù)

、是以為周期，

是以為周期.第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)五、反函數(shù)以速度

勻速行駛的汽車，其行駛距離

（因變量）與行駛時(shí)間

，所需的時(shí)間為

（自變量）的函數(shù)關(guān)系為

.則要行駛距離

此時(shí)，

為自變量，

為因變量.

為自變量，

為因變量.

為自變量，

為因變量.

第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，值域?yàn)?/p>

，如果對于

，

，都有唯一的

，使得

，則

是

的函數(shù)，記為

即

，稱之為函數(shù)

的反函數(shù).

習(xí)慣用

表示自變量，

用

表示因變量，因此，將反函數(shù)常改寫為

.稱

與

為互為反函數(shù).第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)習(xí)慣用

表示自變量，

用

表示因變量，因此，將反函數(shù)常改寫為

.稱

與

為互為反函數(shù).的圖形和

的圖形關(guān)于直線

對稱.如圖

1-7.指數(shù)函數(shù)

與對數(shù)函數(shù)

互為反函數(shù).

圖1-7第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)反函數(shù)存在定理：

定理

如果一個(gè)函數(shù)在某數(shù)集上是嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它必定存在反函數(shù)，而且反函數(shù)也是嚴(yán)格單調(diào)增（或例6

求給出函數(shù)的反函數(shù)：

（1）

；（2）

.解

（1）由

，解得

因此所求反函數(shù)為

.嚴(yán)格單調(diào)減少）.第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)（2）由

，得

故所求反函數(shù)為

.從而

.解例6

求給出函數(shù)的反函數(shù)：

（1）

；（2）

.第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)六、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)1．復(fù)合函數(shù)某汽車以每小時(shí)公里的速度勻速行駛，每公里耗油量為升，汽車在行駛過程中的耗油量是行駛距離

的函數(shù)

，

行駛距離

又是時(shí)間

的函數(shù)

.汽車的耗油量

，通過距

離

（中間變量）與時(shí)間

建立了關(guān)系，

.第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，若函數(shù)

值域，且

（表示空集），則稱是為和

復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中稱由為中間變量（或稱內(nèi)層函數(shù)），

為外層函數(shù).例如，由函數(shù)

構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)是

微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)1．復(fù)合函數(shù)第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)注（1）不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù).

例如，

，

不能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).

（2）復(fù)合函數(shù)也可以由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成.

由復(fù)合而成.第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)例7設(shè)

，

，

，求

解

與復(fù)合相反，函數(shù)

可看成由函數(shù)，

，

復(fù)合得到，

這種找出中間變量的方法，稱為復(fù)合函數(shù)分解.第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)例8

將函數(shù)

分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合.解復(fù)合函數(shù)

可以分解為如下基本初等函數(shù)：注稱函數(shù)為冪指函數(shù).顯然

第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次加、減、乘、除的四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函

數(shù).

例如初等數(shù)學(xué)中的常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)，稱為基本初等函數(shù).

第32頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三微積分第1章函數(shù)極限與連續(xù)1.1函數(shù)七★、常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)1．總成本函數(shù)、總收益函數(shù)與總利潤函數(shù)固定成本:是指在一定時(shí)期內(nèi)不隨產(chǎn)量變化的那部分成本

.總成本=固定成本+可變成本可變成本:是指隨產(chǎn)量變化的那部分成本.

銷售收入(或收益)是指產(chǎn)品出售后所得的收入，而利潤就是收入扣去成本后的余額.總成本C

，