第13章結構的動力計算13-2單自由度體系的自由振動13-3單自由度體系的強迫振動13-4阻尼對振動的影響13-5多自由度體系的自由振動13-6多自由度體系主振型的正交性和主振型矩陣13-7多自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動13-11近似法求自振頻率13-1動力計算的特點和動力自由度1結構動力計算的特點若荷載對結構所產生的影響與靜荷載相比相差甚微

——按靜荷載考慮；若荷載對結構所產生的影響與靜荷載相比相差甚大

——按動荷載考慮.◆動荷載與靜荷載的區(qū)別動荷載(大小、方向、作用位置）隨時間變化。◆動力計算與靜力計算的區(qū)別(1)平衡方程中包括慣性力。(2)平衡方程是瞬間平衡,荷載和內力都是時間的函數(shù)15-1動力計算的特點和動力自由度2動荷載的分類典型的周期荷載是簡諧荷載。機器轉動部分引起的荷載屬于簡諧荷載◆第一類——周期荷載：荷載隨時間作周期性的變化。tt簡諧荷載：可用正弦或余弦函數(shù)表示非簡諧性的周期荷載各種爆炸荷載屬于這一類◆第二類——沖擊荷載：荷載在很短的時間內急劇增大或減小。ttrttd地震荷載和風荷載是隨機荷載的典型例子◆第三類——隨機荷載：荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。某次地震波時程3動力計算中體系的自由度自由度:為了確定運動過程中任一時刻全部質量的位置所需確定的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目.動力體系的簡化方法梁上集中質量多層房屋(1)集中質量法*(2)廣義質量法*(3)有限元法EIEIEIEIEI質點體系自由度的幾種情況自由度為1a梁式桿（不計軸變）EIEIy1y1y2自由度為2EI=∞y1自由度為1y1y2自由度為2自由度與質體的數(shù)目無關b彈簧支撐自由度為2y1y2EIEI彈簧和桁架桿不影響體系的自由度自由度為2EIEIc考慮軸變的桁架桿EIEIEAy1y2舉例自由度為1EIEI1=∞y1y1EIEI2EIEI1=∞y2y3自由度為3y1y113-2單自由度體系的自由振動達朗伯原理d’Alembert’sprincipleky(t)y(t)k彈性力,與位移方向相反慣性力,與加速度方向相反FP(t)FP(t)必須明確的是由牛頓第二定律得:整理得:體系在動荷載、彈性力和慣性力的共同作用下處于動態(tài)平衡1振動方程的建立y(t)kmky(t)剛度法

體系在慣性力作用下處于動態(tài)平衡。柔度法

質體的動位移等于質體在慣性力作用下的靜位移。由剛度系數(shù)和柔度系數(shù)互為倒數(shù)可知，兩種方法建立的振動微分方程是等價的。★對于超靜定結構，剛度系數(shù)容易確定，常用剛度法；

★對于靜定結構，柔度系數(shù)容易確定，常用柔度法2振動方程的解將振動微分方程改寫為代入初始條件通解得動位移為由y0引起的由v0

引起的總動力位移將動位移表達式改寫成單項式——初始相位角

——振幅（amplitudeofvibration）ya3結構的自振周期和圓頻率※※

（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）周期頻率圓頻率完成一次振動需要的時間單位時間內完成振動的次數(shù)2π個單位時間內完成振動的次數(shù)先明確幾個定義ya計算公式的幾種形式自振周期的特性（1）自振周期只與體系的質量和剛度有關，與外界因素無關。（2）自振周期與質量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比。（3）自振周期相近的體系，動力性能基本一致。4例題例題1

求圖示單層剛架的自振頻率和周期EIEI1=∞EImh體系k116i/h6i/h單位側移時的彎矩圖k1112i/h212i/h2隔離體解(1)超靜定剛架，采用剛度法(2)畫質體發(fā)生單位位移時的彎矩圖。(3)取隔離體，列平衡方程，求剛度系數(shù)(4)EA=∞k12i/l2體系單位側移時的彎矩圖隔離體EIEIEIEIllm12i/l212i/l212i/l21解(3)(2)建立振動方程(1)例題1建立圖示體系的振動方程,求體系的自振頻率和周期例題2

求圖示伸臂梁體系的自振遠頻率和周期mEIll/21l/2解(1)靜定梁，采用柔度法(2)畫質體單位力下的彎矩圖。(3)彎矩圖自乘，求柔度系數(shù)。(4)lEAEIEI1=∞lm1FN=13例題求圖示體系的自振圓頻率和周期EI=∞l/2l/2lkm1=mm1=m/33例題求圖示體系的自振圓頻率和周期★兩個質體具有相同的轉動自由度；★對于轉動自由度，與平動自由度質量對應的是繞轉動中心的轉動慣量。與平動自由度剛度對應的是發(fā)生單位轉角時需要施加的外力偶。k3例題求圖示體系的自振圓頻率和周期lEI1=∞l/2l/2lEIEImmEI1=∞l/2l/2lEIEImm3例題求圖示體系的自振頻率和周期——用動力平衡法A13-3單自由度體系的強迫振動1強迫振動微分方程的建立剛度法

體系在慣性力和動荷載的共同作用下處于動態(tài)平衡。柔度法

質體的動位移等于質體在慣性力和動荷載的共同作用下的靜位移。y(t)kmky(t)例如：對于圖示體系例如：對于圖示體系EIEI1=∞EImhFP(t)h/2h/2FP(t)y(t)FR(t)≡0只有慣性力1單位位移FP(t)FP(t)/2只有動荷載振動微分方程為例：剛度法建立振動微分方程EIEI1=∞EImhFP(t)h/2h/2原體系EIEI1=∞EImhh/2h/2等效體系FP(t)/2等效動荷載★當荷載不作用在質體上時，只需求出等效動荷載寫在等號右側即可?！镌谶@里等效體系的含義是：當荷載作用在質體上時，質體的動力位移與原體系質體的動力位移相等。例：柔度法建立振動微分方程mEIl/2l/2l/2FP(t)質體動位移以向下為正mEIFP(t)/4等效動荷載1l/2圖FP(t)FPl/4圖等效體系lFP(t)l圖11100圖FP(t)000FP(t)FP(t)llmm1圖l/2★質量對應的是同一個自由度，可以相加。FP(t)2振動方程的解將振動微分方程寫成——二階常系數(shù)非齊次方程齊次通解將特解代入方程,得非齊次特解1)簡諧荷載全解為代入初始條件瞬態(tài)振動由于阻尼的存在很快消失穩(wěn)態(tài)振動—特解考慮穩(wěn)態(tài)振動動荷載幅值當作靜載作用時質體的位移動力系數(shù)動力系數(shù)的討論增加增加共振增加降低（剛性方案）（柔性方案）增大剛度減小剛度減小振幅的方法非齊次特解代入方程，得故分母為零失效令非齊次特解共振時動力位移會突然增大嗎?非齊次通解零初始條件★共振時，位移是隨時間逐漸增大。時間越短，位移越??；對于轉速高的機器，在啟動或停車的過程中，應迅速通過共振區(qū)?！锢霉舱裾穹怀龃蟮奶攸c，不斷改變機器的轉速，可以測定自振頻率。故★三者同時達到最大值?！餅樨摂?shù)時，位移和慣性力與動荷載方向相反?！飸T性力與位移總是同向。動荷載、動位移、慣性力三者的關系例題試求剛架在動荷載作用下的質體振幅和柱端剪力和彎矩。1ABCD解（1）質體振幅Dhh/2ABC1k（2）柱端剪力和彎矩的幅值為F=4.9kg，轉數(shù)為n=1200轉/分，質量為m=123kg。梁截面轉動慣量為I=78cm4，彈性模量為E=2.1×106kg/cm2，長為l=1m。試求梁端最大動位移和動彎矩圖。在挑梁上有一電動機，擾力1m解（1）自振圓頻率（2）頻率比（3）靜位移和動力系數(shù)（4）梁端最大動位移（5）固定端最大動彎矩★動內力是動荷載和慣性力共同作用下產生的.慣性力幅值動荷載幅值靜彎矩圖動彎矩幅值圖m2a2aa1a圖圖已知:，EI=常數(shù)。試求：質體振幅和動彎矩幅值圖。解（1）質體振幅（2）動彎矩幅值圖F/5Fa/511Fa/10M圖ml/2已知:EI=常數(shù)。試求：質體和梁兩端轉角的位移幅值。解（1）質體振幅l/2圖1l/4圖MM靜位移動力系數(shù)（2）兩端的轉角位移振幅l/2l/2動力系數(shù)★力不作用在質點上時，體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)2一般動荷載：將動荷載分成一系列瞬時沖量（1）在τ時刻瞬時沖量的作用下質體獲得速度（2）質體以這個速度作為初速度,開始作自由振動t時刻的動位移為（3）將時刻t之前的每一個瞬時沖量的反應進行疊加零初始條件下，單自由度體系在任意荷載下的動位移公式杜哈梅積分(Duhamel)（1）突加荷載FP(t)FP0t（2）短時荷載FP(t)FP0tu（3）線性漸增荷載FP(t)FP0ttr★1<<2；★如果升載時間很短(

tr

<T/4)，接近2，相當于突加荷載；★如果升載時間很長(

tr>4T)，接近1，相當于靜荷載。

動力系數(shù)反應譜01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0βtrFP01有阻尼的自由振動其解為13-4阻尼對振動的影響★這兩種情況下的動位移具有衰減的性質,不具有波動的性質.(2)臨界阻尼(1)高阻尼阻尼過大,由于外界干擾積聚的能量均用于消耗阻尼,沒有多余的能量再引起的振動臨界阻尼(3)低阻尼★影響小,可以忽略阻尼對自振特性的影響★阻尼越大,衰減速度越快★振幅的對數(shù)衰減率或★通過實測振幅,可以測定阻尼比ξ阻尼對振幅的影響例題解在橫梁處加F=98kN的水平力，橫梁發(fā)生側移y0=0.5cm。突然釋放。測得周期Tr=1.5s，一個周期后，橫梁的側移為y1=0.4cm。試求：質體的質量、對數(shù)衰減率、阻尼比。1有阻尼的強迫振動（1）在τ時刻瞬時沖量的作用下質體獲得速度（2）質體以這個速度作為初速度，開始作自由振動t時刻的動位移為（3）將時刻t之前的每一個瞬時沖量的反應進行疊加（1）突加荷載FP(t)FP0t圖13-28(2)簡諧荷載瞬態(tài)振動，很快消失穩(wěn)態(tài)振動只考慮穩(wěn)態(tài)振動寫成單項式振幅相位差動力系數(shù)（1）/對β的影響★/<<1時，1，F(xiàn)(t)

可作為靜力荷載F處理。

★/>>1時，0，做極微小的振動，動位移0?！?=1的附近，阻尼對影響明顯。

大、小?！?.75</<1.3——共振區(qū)共振區(qū)以外不考慮阻尼的影響，按無阻尼計算。

★β的最大值并不發(fā)生在/=1處。實際中（2）/對α的影響

★位移與動荷載同步。

★最大位移處，動荷載與彈性力平衡。動荷載動位移彈性力阻尼力慣性力討論三個典型情況

★與彈性力相比,阻尼力和慣性力都很小。動荷載的作用相當于靜載

★動荷載振動很慢。

★位移滯后動荷載900。

★動荷載與阻尼力平衡。共振時,增大阻尼,可以降低位移動荷載動位移彈性力阻尼力慣性力

★位移與動荷載反向,滯后1800。

★與慣性力相比,彈性力與阻尼力很小。

★動荷載振動很快。動荷載動位移彈性力阻尼力慣性力

★動荷載與慣性力平衡。例題解已知:機器的轉速為n=800轉/分,擾力幅值F=3T,地基剛度k=134000T/m,機器和基礎的重量為Q=156T,阻尼比為0.2.試求：質體的振幅。13-5多自由度體系的自由振動1剛度法——兩個自由度FR1(t)≡0FR2(t)≡01k12k22質體2單位位移1k11k21質體1單位位移只有慣性力在慣性力和質點位移的作用下，附加約束上的反力為零。a振動方程令兩個質體的運動具有以下特點:★兩個質體具有相同的圓頻率和相位角.★兩個質體的位移比值不變.b振型方程和頻率方程將位移表達式代入振動方程振型方程振型取非零振型解,則展開,得從小到大排列:ω1:第一頻率或基本頻率;ω2:第二頻率;頻率方程或特征方程將ω=ω1代入振型方程第一振型此時,位移為位移速度初位移初速度★若體系按第一振型振動,需要滿足初始條件.將ω=ω2代入頻率方程第二振型此時,位移為位移速度初位移初速度★若體系按第二振型振動,需要滿足初始條件.★體系按某一振型振動是由初始條件決定的.一般情況下,振動是兩種振型的組合例題

試求圖示體系的頻率和振型解(1)求剛度系數(shù)EI1=∞m1EI1=∞m2k1k21k21k111k12k22(2)求頻率若則即討論將ω=ω1代入振型方程,得第一振型將ω=ω2代入振型方程,得第二振型(3)求振型1.61810.6181★第一振型的初始條件容易滿足,所以位移中第一振型的比例較大例題試求圖示體系的頻率和振型1k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l6i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lEI1=∞m1=mEI1=∞m2=1.5mii2iill解(1)求剛度系數(shù)(2)求頻率解得將ω=ω1代入振型方程,得第一振型將ω=ω2代入振型方程,得第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.19811剛度法——多個自由度a振動方程寫成矩陣形式簡寫為b振型方程和頻率方程代入振動方程，得到振型方程令位移解為頻率方程為展開頻率方程得到n個頻率，按從小到大排列。將ω=ωi代入振型方程，得n個方程不獨立，一般令其中一個元素為1，得到振型向量的其它元素。其中第i振型向量1例題

已知

m1=2m，m2=m3=m，

k1=k，k2=k/3，k3=k/5，橫梁剛度EI=∞。試求圖示體系的頻率和振型，m1解(1)求剛度系數(shù)m2m3k1k2k31k21k11k311k12k22k321k13k23k33(2)形成剛度矩陣和質量矩陣解得將ω=ω1代入振型方程,得(2)求振型展開令Y31=1，解得同理，可求得第二、第三振型10.5690.163第一振型11.2270.924第二振型13.3422.76第三振型2柔度法a振動方程在慣性力的作用下，質體的位移等于實際動位移。振動方程1質體1單位力1質體2單位力令b振型方程和頻率方程頻率方程或特征方程將位移表達式代入振動方程振型方程展開頻率方程,得頻率為將ω=ω1,ω=ω2分別代入振型方程,得第一振型第二振型例題試求結構的自振頻率和振型.EI=常數(shù),m1=m2=mm1m2l/3l/3l/3解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率12l/912l/9圖圖(3)求振型1111第一振型(正對稱)第二振型(正對稱)例題試求結構的自振頻率和振型.1l/41l/2圖圖m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常數(shù)解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率(3)求振型第一振型第二振型10.30511.6392柔度法——多自由度體系a振動方程寫成矩陣形式簡寫為令b振型方程和頻率方程將位移表達式代入振動方程振型方程令頻率方程或特征方程例題

試求結構的自振頻率和振型.EI=常數(shù)mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/4圖圖13l/16圖解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率(3)求振型令每個振型的第一個元素為1，得11.4141第三振型(正對稱)第二振型(反對稱)11第一振型(正對稱)11.414113-6多自由度體系振型的正交性和振型矩陣1振型的正交性第一振型Y11Y21Y31若體系按第一振型振動，則第三振型Y13Y23Y33第一振型Y11Y21Y31第三振型Y13Y23Y33功的互等定理因為,故寫成矩陣形式簡寫一般地同理★振型對質量矩陣正交★振型對剛度矩陣正交★利用正交性判斷各振型的形狀特點和所求振型是否正確當時，定義k振型的廣義質量k振型的廣義剛度由第k振型方程左乘得★利用廣義剛度和廣義質量求自振頻率★利用廣義剛度和廣義質量求自振頻率★利用正交性判斷各振型的形狀特點和所求振型是否正確★利用正交性進行位移按振型的分解位移按振型分解左乘得2振型矩陣廣義質量矩陣廣義剛度矩陣1剛度法y1y2FR2≡0FR1≡0在荷載、慣性力和質點位移的作用下，附加約束上的反力為零。a振動方程只有動荷載1k12k22質體2單位位移1k11k21質體1單位位移只有慣性力若荷載為簡諧荷載，即則穩(wěn)態(tài)振動的解為代入振動方程，得位移幅值為位移幅值為若則★n個自由度體系有n個共振區(qū)頻率方程（1）共振問題荷載位移慣性力★荷載、位移、慣性力同時達到幅值?！锟梢灾苯恿蟹捣匠?，求動位移和動內力幅值。（2）荷載、位移、慣性力同步13-7多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動例題解(1)求剛度系數(shù)EI1=∞m1EI1=∞m2k1k2(2)求位移幅值試求圖示體系的動位移幅值。已知：動力吸振器原理0例題m1EI1=∞m2k1k2EI1=∞hh解(1)求剛度系數(shù)(2)求位移幅值已知。求：一、二層樓面的位移幅值、慣性力幅值及柱底截面彎矩值。由已知條件知:（3）計算慣性力幅值（4）計算內力：將荷載幅值和慣性力幅值作用在結構上，按靜力進行計算1剛度法:多自由度a振動方程2柔度法a振動方程質體在慣性力和荷載的作用的靜位移等于動位移。振動方程FP2FP11質體1單位力1質體2單位力荷載FP2FP1令將位移表達式代入振動方程12l/9圖12l/9圖m1m2l/3l/3l/3已知：EI=常數(shù)，解：(1)求柔度系數(shù)和自由項F2Fl/9MP圖(2)振幅求振幅和動彎矩圖及動剪力圖.（3）慣性力幅值F動彎矩幅值圖0.952F0.342F0.611F動剪力幅值圖F荷載幅值的靜彎矩圖2F/3F/3荷載幅值的靜剪力圖★多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)位移動力系數(shù)彎矩動力系數(shù)剪力動力系數(shù)13-8多自由度體系在一般荷載下的強迫振動振型疊加法a振動方程先復習廣義剛度質量阻尼矩陣及正交性，并定義廣義荷載矩陣和已知位移和振型求正則坐標的公式。例題m1m2l/3l/3l/3（1）求廣義質量（2）求廣義荷載（3）寫出正則坐標方程，求正則坐標（3）求動位移×0.1054×2.41132.51672.3059總位移幅值1111（4）討論★第一振型在動位移中比例大的主要原因是第一振型的頻率低。m1m2l/3l/3l/3若動荷載做如下變化★雖然全部為第二振型，但位移值很小。因此，實際工程中如果有這樣的情況發(fā)生，動荷載的作用也可忽略不計。m1m2l/3l/3l/3例題試用振型分解法計算圖示體系的動位移。已知：m1=1.5mk3=kygygy1y2y3m2=mm3=1.5mk2=kk