本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023屆高三數(shù)學(xué)第79練離散型隨機(jī)變量的均值與方差練習(xí)95第79練離散型隨機(jī)變量的均值與方差

訓(xùn)練目標(biāo)熟練把握隨機(jī)變量的均值與方差的求法．訓(xùn)練題型(1)求隨機(jī)變量的均值；(2)求隨機(jī)變量的方差；(3)統(tǒng)計(jì)知識與均值、方差的綜合應(yīng)用．解題策略(1)熟練把握均值、方差的計(jì)算公式及其性質(zhì)；(2)此類問題的關(guān)鍵是分析概率模型，正確求出概率.1.袋中有20個(gè)大小一致的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上n號的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標(biāo)號．(1)求ξ的分布列，均值和方差；

(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，試求a，b的值．

3

2．(2023·威海模擬)三人參與某消遣闖關(guān)節(jié)目，假設(shè)甲闖關(guān)成功的概率是，乙、丙兩人同

536

時(shí)闖關(guān)成功的概率是，甲、丙兩人同時(shí)闖關(guān)失敗的概率是，且三人各自能否闖關(guān)成功相

1025互獨(dú)立．

(1)求乙、丙兩人各自闖關(guān)成功的概率；

(2)設(shè)ξ表示三人中最終闖關(guān)成功的人數(shù)，求ξ的分布列和均值．

1

3.某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬試驗(yàn)，準(zhǔn)備用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨，其試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

方式實(shí)施地點(diǎn)甲乙丙大雨4次3次2次中雨6次6次2次小雨2次3次8次模擬試驗(yàn)總次數(shù)12次12次12次ABC假定對甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響，請你根據(jù)人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

(1)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；

(2)考慮到旱情和水土流失，假使甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，乙地必需是大雨才達(dá)到理想狀態(tài)，丙地只要是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個(gè)數(shù)〞為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值E(ξ)．

4．(2023·鄭州模擬)某市公安局為加強(qiáng)安保工作，特舉行安保項(xiàng)目的選拔比賽活動，其中

A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行對抗賽，每隊(duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A1、A2、A3，B隊(duì)隊(duì)員是B1、B2、B3，按以往屢屢比賽的統(tǒng)計(jì)，對陣隊(duì)員之間輸贏概率如下表，現(xiàn)按表中對陣方式進(jìn)行三場比

賽，每場勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最終所得總分分別為ξ，η，且ξ＋η＝3.

對陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝232537A隊(duì)隊(duì)員負(fù)133547A1對B1A2對B2A3對B3(1)求A隊(duì)最終所得總分為1的概率；(2)求ξ的分布列，并用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識說明哪個(gè)隊(duì)實(shí)力較強(qiáng)．

2

3

答案精析

1．解(1)ξ的分布列為

ξ012112021103320415P∴E(ξ)＝0×12＋1×1131320＋2×10＋3×20＋4×5＝2

，

D(ξ)＝(0－3

)2×1＋(1－3)2×1＋(2－3)2×1＋(3－3)2×3＋(4－3)2×1＝1122220230220254

.

(2)由題意可知D(η)＝a2D(ξ)＝a2

×114＝11，∴a＝±2.

又E(η)＝aE(ξ)＋b，

∴當(dāng)a＝2時(shí)，1＝2×3

2＋b，得b＝－2；

當(dāng)a＝－2時(shí)，1＝－2×3

2＋b，得b＝4.

∴?

??

a＝2，??

??a＝－2，

?b＝－2

或??b＝4.

2．解(1)記甲，乙，丙各自闖關(guān)成功的事件分別為A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互獨(dú)立，且滿足

??P(A31)＝5

，?[1－P(A1

)][1－P(A3

)]＝6?25

，?P(A2

)P(A33

)＝10

，

解得P(A32

2)＝4，P(A3)＝5

.所以乙、丙各自闖關(guān)成功的概率分別為32

4，5.

(2)ξ的可能取值為0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝??1－332?

5?????

?

1－4?????

?

1－5

??＝2×1×3＝6?5

45100＝350，P(ξ＝1)＝3??1－3????

1－2?＋?13??

22?3??

35?

4??

5?3??4?

－5????

1－5???＋5?

?1－5????

1－4

??＝

31?100

，

4

P(ξ＝2)＝××?1－?＋××?1－?＋××?1－?＝

545

33

543354

??

2?32??55?

3??

25

3?4?

3??

459＝，10020

P(ξ＝3)＝××＝

2189

＝.510050

所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ035013110029203950P331991757

所以隨機(jī)變量ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.

5010020501004

3．解(1)由人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：

方式實(shí)施地點(diǎn)甲乙丙大雨中雨小雨ABCP(A1)＝P(B1)＝P(C1)＝161413P(A2)＝P(B2)＝P(C2)＝161212P(A3)＝P(B3)＝P(C3)＝2314161111記“甲、乙、丙三地都恰為中雨〞為事件E，則P(E)＝P(A2)P(B2)P(C2)＝××＝.22624(2)設(shè)甲、乙、丙三地達(dá)到理想狀態(tài)的概率分別為p1、p2、p3，

115

則p1＝P(A2)＝，p2＝P(B1)＝，p3＝P(C2)＋P(C3)＝，ξ的可能取值為0,1,2,3，

246

P(ξ＝0)＝(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝××＝；

P(ξ＝1)＝p1(1－p2)(1－p3)＋(1－p1)p2(1－p3)＋(1－p1)(1－p2)p3

＝××＋××＋××＝；24624624648

131324648

P(ξ＝2)＝p1p2(1－p3)＋(1－p1)p2p3＋p1(1－p2)p3＝××＋××＋××＝；P(ξ＝3)＝p1p2p3＝××＝.

所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ03481194822148354812

1554648

1211461124516235462148

P5

E(ξ)＝3×0＋19×1＋21×2＋5×3＝194848484812

.

4．解(1)記“A隊(duì)最終所得總分為1〞為事件A0，∴P(A23412413341

0)＝3×5×7＋3×5×7＋3×5×7＝105.(2)ξ的所有可能取值為3,2,1,0，

P(ξ＝3)＝2×2×3＝

124

357105＝35，P(ξ＝2)＝2×2×4＋1×2×3＋2×334035

7357

3

5×7＝105＝8

21

，

P(ξ＝1)＝

41105，P(ξ＝0)＝1×3×41235

7＝

105＝4

35

，∴ξ的分布列為

ξ0123P44184351052135E(ξ)＝0×4＋1×418435

105＋2×21＋3×35＝157105

.∵ξ＋η＝3，∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝158

105

.由于E(η)>E(ξ)，故B隊(duì)的實(shí)力較強(qiáng)．

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________