【高中數(shù)學】高中數(shù)學《平面向量》期末考知識點一、選擇題1．在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且3a2+3c2-3b2=2ac，?=2，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求出B的余弦函數(shù)值，結(jié)合向量的數(shù)量積求出ca的值，然后求解三角形的面積．【詳解】在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且3a2+3c2﹣3b2＝2ac，可得cosB，則sinB，?2，可得cacosB＝2，則ac＝6，∴△ABC的面積為：2．故選C．【點睛】本題考查三角形的解法，余弦定理以及向量的數(shù)量積的應用，考查計算能力．2．在中，，，，若，則實數(shù)()A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.3．延長線段到點，使得，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法、減法的幾何意義，即可得答案；【詳解】，，，，故選：A.【點睛】本題考查向量的線性運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.4．在中，已知，，點D為BC的三等分點(靠近C)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法則把所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，再利用余弦函數(shù)求最值，得解．【詳解】如圖，＝8﹣1＝7﹣2cos∠BAC∵∠BAC∈（0，π），∴cos∠BAC∈（﹣1，1），∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），故選C．【點睛】此題考查了數(shù)量積，向量加減法法則，三角函數(shù)最值等，難度不大．5．已知點在以為圓心，以1為半徑的圓上，距離為的兩點在圓上，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設中點，得到，求得，再利用圓與圓的位置關系，即可求解故，得到答案.【詳解】依題意，設中點，則，所以，，在以1為半徑，以為圓心的圓上，，故.【點睛】本題主要考查了圓的方程，圓與圓的位置關系的應用，以及平面向量的數(shù)量積的應用，著重考查了推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想.6．已知向量，，則在方向上的投影為A． B． C．1 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)在方向上的投影定義求解.【詳解】在方向上的投影為，選C.【點睛】本題考查在方向上的投影定義，考查基本求解能力.7．在中，，，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由題意轉(zhuǎn)化，利用數(shù)量積的分配律即得解.【詳解】，，故選：C【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量數(shù)量積綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于中檔題.8．在邊長為1的等邊三角形中，點P是邊上一點，且．，則（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】【分析】利用向量的加減法及數(shù)乘運算用表示，再利用數(shù)量積的定義得解．【詳解】依據(jù)已知作出圖形如下：.所以故選C【點睛】本題主要考查了向量的加減法及數(shù)乘運算，還考查了數(shù)量積的定義，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．9．已知向量，則的值為A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】【詳解】因為，所以，故選B.點睛：在向量問題中，注意利用，涉及向量模的計算基本考慮使用此公式，結(jié)合數(shù)量積的運算法則即可求出.10．如圖，在圓O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，則·的值是A．－8 B．－1 C．1 D．8【答案】D【解析】【分析】【詳解】因為，所以，而，所以，則所以，故選D11．如圖，在等腰直角中，，分別為斜邊的三等分點（靠近點），過作的垂線，垂足為，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設出等腰直角三角形的斜邊長，由此結(jié)合余弦定理求得各邊長，并求得，由此得到，進而利用平面向量加法和減法的線性運算，將表示為以為基底來表示的形式.【詳解】設，則，，，所以，所以.因為，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，屬于中檔題.12．設，，若，則實數(shù)的值為（）A． B．2 C． D．-3【答案】C【解析】【分析】計算，根據(jù)向量垂直公式計算得到答案.【詳解】，∵，∴，即，解得.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，意在考查學生的計算能力.13．下列命題為真命題的個數(shù)是（）①是無理數(shù)，是無理數(shù)；②若，則或；③命題“若，，，則”的逆否命題為真命題；④函數(shù)是偶函數(shù).A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判斷①的正誤；利用平面向量垂直的等價條件可判斷②的正誤；判斷原命題的真假，利用逆否命題與原命題的真假性一致的原則可判斷③的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于①中，當時，為有理數(shù)，故①錯誤；對于②中，若，可以有，不一定要或，故②錯誤；對于③中，命題“若，，，則”為真命題，其逆否命題為真命題，故③正確；對于④中，，且函數(shù)的定義域是，定義域關于原點對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故④正確.綜上，真命題的個數(shù)是.故選：B.【點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及全稱命題的真假的判斷、逆否命題真假的判斷、向量垂直等價條件的應用以及函數(shù)奇偶性的判斷，考查推理能力，屬于中等題.14．已知平面向量滿足，，，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】以點為原點，，分別為軸，軸的正方向建立直角坐標系，根據(jù)，得到點在圓，再結(jié)合直線與圓的位置關系，即可求解．【詳解】設，以點為原點，，分別為軸，軸的正方向建立直角坐標系，則，依題意，得，所以點在以為直徑的圓上運動，設點，則，，由圓心到直線的距離，可得.故選：D．【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標運算，以及直線與圓的位置關系的綜合應用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力．15．已知，是圓上的兩個動點，，，若是線段的中點，則的值為（）.A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】判斷出是等邊三角形，以為基底表示出，由此求得的值.【詳解】圓圓心為，半徑為，而，所以是等邊三角形.由于是線段的中點，所以.所以.故選：D【點睛】本小題主要考查用基底表示向量，考查向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.16．在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據(jù)求出的坐標，求出邊所在直線的方程，設，利用坐標表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，由，，，，，，，因為點在線段的延長線上，設，解得，所在直線的方程為因為點在邊所在直線上，故設當時故選：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，關鍵是建立平面直角坐標系，屬于中檔題.17．已知向量，，則以下說法不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若取得最大值，則 D．的最大值為【答案】B【解析】【分析】A選項利用向量平行的坐標表示來判斷正確性.B選項利用向量垂直的坐標表示來判斷正確性.C選項求得的表達式，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，判斷C選項的正確性.D選項利用向量模的運算來判斷正確性.【詳解】A選項，若，則，即，A正確.B選項，若，則，則，B不正確.C選項，，其中.取得最大值時，，，，則，則C正確.D選項，由向量減法、模的幾何意義可知的最大值為，此時，反向.故選項D正確.故選：B【點睛】本小題主要考查向量平行、垂直的坐標表示，考查向量數(shù)量積的運算，考查向量減法的模的幾何意義，屬于中檔題.18．已知向量，滿足，，且，則向量與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平方運算可求得，利用求得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查向量夾角的求解問題，關鍵是能夠通過平方運算求得向量的數(shù)量積.19．已知向量，，若，則等于（）A．10 B．16 C． D．【答案】C【解析】【分析】先利用向量垂直的坐標表示求出實數(shù)的值，得出向量的坐標，并計算出向量，最后利用向量模的坐標運算得出結(jié)果．【詳解】，，，則，得，，則，因此，，故選C.【點睛】本題考查向量垂直的坐標表示以及向量模的坐標運算，意在考查學生對這些公式的理解掌握情況，考查運算求解能力，屬于中等題．20．在中，已知，，，點滿足，其中，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù),,,由正弦定理可得為等腰直角三角形,進而求得點坐標.結(jié)合平面向量的數(shù)乘運算與坐標加