熱點(diǎn)08+解析幾何解答題-2023年高考數(shù)學(xué)三輪講練測(cè)核心熱點(diǎn)總發(fā)動(dòng)(新課標(biāo)版)+Word版含解析高考資源網(wǎng)〔〕，您身邊的高考專(zhuān)家1歡迎廣闊教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。2高考資源網(wǎng)〔〕，您身邊的高考專(zhuān)家歡迎廣闊教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。2023年高考三輪復(fù)習(xí)系列：講練測(cè)之核心熱點(diǎn)【全國(guó)通用版】熱點(diǎn)八解析幾何解答題【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1.【2023課標(biāo)3，理20】拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)〔2,0〕的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.〔1〕證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；〔2〕設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.【解析】所以，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.2.【2023課標(biāo)1，理20】橢圓C：〔a>b>0〕，四點(diǎn)P1〔1,1〕，P2〔0,1〕，P3〔–1，〕，P4〔1，〕中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.〔1〕求C的方程；〔2〕設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).假設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).【解析】〔1〕由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此解得故C的方程為.〔2〕設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為〔t，〕，〔t，〕.那么，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：〔〕.將代入得.由題設(shè)可知.設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，于是l：，即，所以l過(guò)定點(diǎn)〔2，〕.3.【2023課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足。求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F?！窘馕觥俊?〕設(shè)，設(shè)，．由得．因?yàn)樵贑上，所以．因此點(diǎn)P的軌跡方程為．4.【2023全國(guó)卷3理】拋物線的焦點(diǎn)為,平行于軸的兩條直線分別交于,兩點(diǎn),交的準(zhǔn)線于,兩點(diǎn).〔1〕假設(shè)在線段上,是的中點(diǎn),證明；〔2〕假設(shè)△的面積是△的面積的兩倍,求中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)連接,,由,及,得,所以.因?yàn)槭侵悬c(diǎn),,所以,所以,,又,所以,所以〔等角的余角相等〕,所以.55.【2023全國(guó)卷1理】設(shè)圓的圓心為,直線過(guò)點(diǎn)B1,0且與x軸不重合,l交圓于,兩點(diǎn),過(guò)作的平行線交于點(diǎn).〔1〕證明為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；〔2〕設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線交于,兩點(diǎn),過(guò)且與垂直的直線與圓交于,兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.【解析】(1)如以下列圖,圓的圓心為,半徑,因?yàn)?所以.又因?yàn)?所以,于是,所以.故為定值.又,點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,由,,得.故點(diǎn)的軌跡的方程為.〔2〕因?yàn)橹本€與軸不重合,故可設(shè)的方程為,過(guò)且與垂直的直線方程為.由,得.設(shè),,那么,.得.由,得.設(shè),,那么,.得.四邊形的面積.因?yàn)?所以,故.即四邊形面積的取值范圍是.6.【2023全國(guó)卷2理】橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上,是的左頂點(diǎn),斜率為的直線交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在上,.〔1〕當(dāng),時(shí),求的面積；〔2〕當(dāng)時(shí),求的取值范圍.【解析】〔1〕解法一：當(dāng)時(shí),由于,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知,所以,得,所以.又,所以,所以.解法二：設(shè)點(diǎn),且交軸于點(diǎn).因?yàn)?且,所以,.由,得.又,所以,解之得或.所以,所以.〔2〕解法一：設(shè)直線,,.那么,,所以.同理.因?yàn)?所以.所以.因?yàn)?所以,整理得,．因?yàn)闄E圓E的焦點(diǎn)在x軸,所以,即,整理得,解得．【熱點(diǎn)深度剖析】1.圓錐曲線的解答題新課標(biāo)的要求理科一般以橢圓或拋物線為背景,而文科一般以橢圓或圓或拋物線為背景進(jìn)行綜合考查,由于雙曲線的弱化,故以雙曲線為背景的解析幾何解答題不在考慮.在2023年文科考查了圓的方程,理科高考試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),弦長(zhǎng)公式,函數(shù)的最值,直線的方程,根本不等式等,考查學(xué)生的運(yùn)算能力、化簡(jiǎn)能力以及數(shù)形結(jié)合的能力.從近幾年高考來(lái)看,圓錐曲線的解答題中主要是以橢圓,拋物線為根本依托,考查橢圓,拋物線方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法,這道解答題往往是試卷的壓軸題之一．從近幾年高考來(lái)看,計(jì)算量都不是太大,說(shuō)明文理難度都在降低,特別是計(jì)算量不大,但要求的邏輯思維能力,數(shù)形結(jié)合的能力與往年差不多,表達(dá)高考重能力,輕運(yùn)算．由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),在高考命題上已經(jīng)比較成熟,考查的形式和試題的難度、類(lèi)型已經(jīng)較為穩(wěn)定,預(yù)測(cè)2023年高考很有可能以橢圓,拋物線為背景,考查軌跡問(wèn)題、探索性命題及最值問(wèn)題,文科也有可能以圓為背景命題,也有可能繼續(xù)保持題型不變,考查細(xì)節(jié)上有所變化.2.從近幾年高考來(lái)看,求曲線的軌跡方程是高考的?？碱}型,主要以解答題的形式出現(xiàn),考查軌跡方程的求法以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質(zhì),一般用直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)代入法等求曲線的軌跡方程,其關(guān)鍵是找到與任意點(diǎn)有關(guān)的等量關(guān)系．軌跡問(wèn)題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識(shí)相融合,著重考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,對(duì)邏輯思維能力、運(yùn)算能力也有一定的要求．預(yù)測(cè)2023年高考仍將以求曲線的方程為主要考點(diǎn),考查學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯推理能力．【重點(diǎn)知識(shí)整合】1.橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)〔〕的點(diǎn)的軌跡.注意：橢圓中,與兩個(gè)定點(diǎn)F,F的距離的和等于常數(shù),且此常數(shù)一定要大于,當(dāng)常數(shù)等于時(shí),軌跡是線段FF,當(dāng)常數(shù)小于時(shí),無(wú)軌跡.2．直線和橢圓的位置關(guān)系〔1〕位置關(guān)系判斷：直線與橢圓方程聯(lián)立方程組,消掉y,得到的形式〔這里的系數(shù)A一定不為0〕,設(shè)其判別式為,〔1〕相交：直線與橢圓相交；〔2〕相切：直線與橢圓相切；〔3〕相離：直線與橢圓相離；(2弦長(zhǎng)公式：〔1〕假設(shè)直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B,且分別為A、B的橫坐標(biāo),那么＝,假設(shè)分別為A、B的縱坐標(biāo),那么＝,假設(shè)弦AB所在直線方程設(shè)為,那么＝.〔2〕焦點(diǎn)弦〔過(guò)焦點(diǎn)的弦〕：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算,一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算,而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用第二定義求解.橢圓左焦點(diǎn)弦,右焦點(diǎn)弦.其中最短的為通徑：,最長(zhǎng)為；〔3〕橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理〞或“點(diǎn)差法〞求解.在橢圓中,以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.3.與焦點(diǎn)三角形相關(guān)的結(jié)論橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角,通常叫做焦點(diǎn)三角形.一般與焦點(diǎn)三角形的相關(guān)問(wèn)題常利用橢圓的第一定義和正弦、余弦定理求解.設(shè)橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為,焦點(diǎn)的面積為,設(shè),那么在橢圓中,有以下結(jié)論：(1)＝,且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí),最大為＝；〔2〕；焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為；(3),當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí),的最大值為；4.直線和拋物線的位置關(guān)系〔1〕位置關(guān)系判斷：直線與雙曲線方程聯(lián)立方程組,消掉y,得到的形式,當(dāng),直線和拋物線相交,且與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸并行,此時(shí)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)設(shè)其判別式為,①相交：直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；②相切：直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；③相離：直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn).注意：過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱(chēng)軸的直線.〔2〕焦點(diǎn)弦：假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)弦為AB,,那么有,.〔3〕在拋物線中,以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.〔4〕假設(shè)OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦,那么直線AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn),反之亦成立.5.求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步驟含義說(shuō)明1、“建〞：建立坐標(biāo)系；“設(shè)〞：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo).所研究的問(wèn)題已給出坐標(biāo)系,即可直接設(shè)點(diǎn).沒(méi)有給出坐標(biāo)系,首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.2、現(xiàn)(限)：由限制條件,列出幾何等式.寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)}這是求曲線方程的重要一步,應(yīng)仔細(xì)分析題意,使寫(xiě)出的條件簡(jiǎn)明正確.3、“代〞：代換用坐標(biāo)法表示條件P(M),列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式.4、“化〞：化簡(jiǎn)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式.要注意同解變形.5、證明證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).化簡(jiǎn)的過(guò)程假設(shè)是方程的同解變形,可以不要證明,變形過(guò)程中產(chǎn)生不增根或失根,應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍).注意：這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣〞：建設(shè)現(xiàn)(限)代化.【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1.直線與橢圓的位置關(guān)系在直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題中,一類(lèi)是直線和橢圓關(guān)系的判斷,利用判別式法.另一類(lèi)常與“弦〞相關(guān)：“平行弦〞問(wèn)題的關(guān)鍵是“斜率〞、“中點(diǎn)弦〞問(wèn)題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理〞或“小小直角三角形〞或“點(diǎn)差法〞、“長(zhǎng)度〔弦長(zhǎng)〕〞問(wèn)題關(guān)鍵是長(zhǎng)度〔弦長(zhǎng)〕公式.在求解弦長(zhǎng)問(wèn)題中,要注意直線是否過(guò)焦點(diǎn),如果過(guò)焦點(diǎn),一般可采用焦半徑公式求解；如果不過(guò),就用一般方法求解.要注意利用橢圓自身的范圍來(lái)確定自變量的范圍,涉及二次方程時(shí)一定要注意判別式的限制條件.2.如何利用拋物線的定義解題〔1〕求軌跡問(wèn)題：主要抓住到定點(diǎn)的距離和到定直線距離的幾何特征,并驗(yàn)證其滿(mǎn)足拋物線的定義,然后直接利用定義便可確定拋物線的方程；〔2〕求最值問(wèn)題：主要把握兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離；二是把點(diǎn)到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離.在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握題設(shè)的條件,進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化,探求最值問(wèn)題.3.求曲線方程的常見(jiàn)方法：(1)直接法：直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件或者等量關(guān)系,直接坐標(biāo)化,列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程(2)定義法：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一根本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等),可用定義直接探求(3)相關(guān)點(diǎn)法：即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)依賴(lài)于它,那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程,通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(4)參數(shù)法：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)()中的分別隨另一變量的變化而變化,我們可以以這個(gè)變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件,用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),間接地把坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái),得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù),就可以得到軌跡的普通方程.注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后,再進(jìn)一步說(shuō)明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程,一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡〞與“軌跡方程〞是兩個(gè)不同的概念.4.解析幾何解題的根本方法解決圓錐曲線綜合題,關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì),注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律,通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新組合,以到達(dá)穩(wěn)固知識(shí)、提高能力的目的.綜合題中常常離不開(kāi)直線與圓錐曲線的位置,因此,要樹(shù)立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識(shí).解析幾何應(yīng)用問(wèn)題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,合理建立曲線模型,然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法,以形助數(shù),用數(shù)定形.在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中,常借助于“平面幾何性質(zhì)〞數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對(duì)稱(chēng)性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)〞化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、“分類(lèi)討論思想〞化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系〞等等.5.防止繁復(fù)運(yùn)算的根本方法可以概括為：回避,選擇,尋求.所謂回避,就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征,靈巧運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等,從而防止化簡(jiǎn)方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇,就是選擇適宜的公式,適宜的參變量,適宜的坐標(biāo)系等,一般以直接性和間接性為根本原那么.因?yàn)閷?duì)普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題,用參數(shù)方程可能會(huì)簡(jiǎn)單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題,通過(guò)移軸可能會(huì)簡(jiǎn)單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問(wèn)題,在極坐標(biāo)系下可能會(huì)簡(jiǎn)單“所謂尋求〞.6.解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：〔1〕給出直線的方向向量或；〔2〕給出與相交,等于過(guò)的中點(diǎn);〔3〕給出,等于是的中點(diǎn);〔4〕給出,等于與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;〔5〕給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③假設(shè)存在實(shí)數(shù),等于三點(diǎn)共線；〔6〕給出,等于是的定比分點(diǎn),為定比,即；〔7〕給出,等于,即是直角,給出,等于是鈍角,給出,等于是銳角；〔8〕給出,等于是的平分線；〔9〕在平行四邊形中,給出,等于是菱形;〔10〕在平行四邊形中,給出,等于是矩形;〔11〕在中,給出,等于是的外心〔三角形外接圓的圓心,三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)〕；〔12〕在中,給出,等于是的重心〔三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)〕；〔13〕在中,給出,等于是的垂心〔三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)〕；〔14〕在中,給出等于通過(guò)的內(nèi)心；〔15〕在中,給出等于是的內(nèi)心〔三角形內(nèi)切圓的圓心,三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)〕；〔16〕在中,給出,等于是中邊的中線.7.定點(diǎn)、定值問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量,那么就可以用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值,就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類(lèi)問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．8．解決圓錐曲線中最值、范圍問(wèn)題的根本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍,因此這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn),就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)適宜變量,其原那么是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問(wèn)題,這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等,要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況靈巧處理.【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】１．判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中與的分母大小,假設(shè)的分母比的分母大,那么焦點(diǎn)在x軸上,假設(shè)的分母比的分母小,那么焦點(diǎn)在y軸上．２．注意橢圓的范圍,在設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),那么,這往往在求與點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題中特別有用,也是容易忽略導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因．３．注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍,特別是把橢圓上某一點(diǎn)坐標(biāo)視為某一函數(shù)問(wèn)題求解,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最值有重要意義．4．直線和拋物線假設(shè)有一個(gè)公共點(diǎn),并不能說(shuō)明直線和拋物線相切,還有可能直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行．5．在求得軌跡方程之后,要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點(diǎn)？是否還有另一個(gè)滿(mǎn)足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中,x,y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點(diǎn)“不多不少〞．6.作為解答題的倒數(shù)第二個(gè),試題的難度較大,也表達(dá)在計(jì)算量上尤為明顯,學(xué)生在解題時(shí)往往會(huì)思路,但計(jì)算往往不對(duì),對(duì)此,建議如下：第一問(wèn)保證準(zhǔn)確,如軌跡方程,曲線方程,或者幾何性質(zhì)等,因?yàn)榈诙?wèn)往往以第一問(wèn)為根底,故第一問(wèn)要舍得花時(shí)間去驗(yàn)證一下；對(duì)于第二問(wèn),往往就是曲線與直線聯(lián)立,建立方程組,利用判別式,韋達(dá)定理等這些都已經(jīng)成立的模式,建立關(guān)系式,即使思路無(wú)法進(jìn)行,也要準(zhǔn)確的放在卷面上,一般它們都要占到局局部數(shù)；如果涉及到直線方程的探索,特別注意斜率不存在的情況,有時(shí)一些定值定點(diǎn)問(wèn)題,可以通過(guò)這種特殊情況直接得到.【名題精選練兵篇】1．【寧夏石嘴山市2023屆高三4月一?！繖E圓：過(guò)點(diǎn)，且兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，.〔1〕求的方程；〔2〕假設(shè)，，〔點(diǎn)不與橢圓頂點(diǎn)重合〕為上的三個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求所在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.【解析】〔1〕由得，∴，那么的方程為；〔2〕設(shè)代入得，設(shè)，那么，，設(shè)，由，得，∵點(diǎn)在橢圓上，∴，即，∴，在中，令，那么，令，那么.∴三角形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)，∴所求三角形面積的最小值為.2．【河北省武邑中學(xué)2023屆高三下學(xué)期期中】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，拋物線的焦點(diǎn)，以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為；自引直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè).〔1〕求拋物線的方程橢圓的方程；〔2〕假設(shè)，求的取值范圍.(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由消去整理得〔*〕∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，∴，設(shè)，那么①，②，∵，∴∴，③由①②③消去得.∴，即，將代入上式得，，∵在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，∴，即的取值范圍為.3．【四川省綿陽(yáng)市2023屆高三第三次診斷】在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且軸，直線交軸于點(diǎn)，，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為1.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕過(guò)的直線交橢圓于，，且滿(mǎn)足，求的面積.【解析】〔1〕設(shè)，由題意可得，即.∵是的中位線，且，∴，即，整理得.①又由題知，為橢圓的上頂點(diǎn)，∴的面積，整理得，即，②聯(lián)立①②可得，變形得，解得，進(jìn)而.∴橢圓的方程為.(2)由可得，兩邊平方整理得.直線斜率不存在時(shí)，，，不滿(mǎn)足.直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去，得，∴，，〔*〕由得.將，代入整理得，展開(kāi)得，將〔*〕式代入整理得，解得，∴，，的面積為，代入計(jì)算得，即的面積為.4．【重慶市2023屆高三4月調(diào)研測(cè)試〔二診〕】分別為橢圓：的左、右頂點(diǎn),為橢圓上異于兩點(diǎn)的任意一點(diǎn),直線的斜率分別記為．〔1〕求；〔2〕過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作與直線平行的兩條射線分別交橢圓于點(diǎn),問(wèn)：的面積是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】〔Ⅰ〕設(shè),那么；〔Ⅱ〕由題知,直線,直線,設(shè),那么,由,同理可得,故有,又,故,.5．【湖南省婁底市2023屆高考仿真模擬〔二?！场繖E圓：〔〕的離心率為,、分別是它的左、右焦點(diǎn),且存在直線,使、關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好是圓：〔,〕的一條直徑的四個(gè)端點(diǎn).〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕設(shè)直線與拋物線〔〕相交于、兩點(diǎn),射線、與橢圓分別相交于點(diǎn)、.試探究：是否存在數(shù)集,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),總存在,使點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)？假設(shè)存在,求出數(shù)集；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】〔Ⅰ〕將圓的方程配方得：,所以其圓心為,半徑為2.由題設(shè)知,橢圓的焦距等于圓的直徑,所以,又,所以,從而,故橢圓的方程為.注意到與同向,與同向,所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi),②當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),總存在,使②成立.又當(dāng)時(shí),由韋達(dá)定理知方程的兩根均為正數(shù),故使②成立的,從而滿(mǎn)足①.故存在數(shù)集,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),總存在,使點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi).6．【天津市紅橋區(qū)重點(diǎn)中學(xué)八校2023屆高三4月聯(lián)考】橢圓的中心在原點(diǎn),離心率等于,它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)〔1〕求橢圓的方程；〔2〕、是橢圓上的兩點(diǎn),,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).①假設(shè)直線的斜率為,求四邊形面積的最大值；②當(dāng),運(yùn)動(dòng)時(shí),滿(mǎn)足,試問(wèn)直線的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】〔1〕∴∴又∴∴橢圓方程為〔2〕①設(shè),設(shè)方程代入化簡(jiǎn),又、當(dāng)時(shí),最大為②當(dāng)時(shí),、斜率之和為.設(shè)斜率為,那么斜率為設(shè)方程代入化簡(jiǎn)同理,∴直線的斜率為定值7．【天津市十二重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三畢業(yè)班聯(lián)考〔一〕】橢圓：的焦點(diǎn)在軸上,橢圓的左頂點(diǎn)為,斜率為的直線交橢圓于,兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,直線交軸于點(diǎn).〔Ⅰ〕當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),的面積為時(shí),求橢圓的離心率；〔Ⅱ〕當(dāng),時(shí),求的取值范圍.【解析】〔Ⅰ〕直線的方程為直線的方程為,令,于是,〔Ⅱ〕直線的方程為,聯(lián)立并整理得,解得或,因?yàn)?整理得,．因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸,所以,即,整理得,解得．8．【河北省唐山市2023-2023學(xué)年度高三年級(jí)第二次模擬】的頂點(diǎn),點(diǎn)在軸上移動(dòng),,且的中點(diǎn)在軸上.〔Ⅰ〕求點(diǎn)的軌跡的方程；〔Ⅱ〕軌跡上的不同兩點(diǎn),與的連線的斜率之和為2,求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】〔Ⅰ〕設(shè)〔〕,因?yàn)樵谳S上且中點(diǎn)在軸上,所以,由,得,化簡(jiǎn)得,所以點(diǎn)的軌跡的方程為〔〕．〔Ⅱ〕設(shè)直線的方程為,,,由得,所以,,同理,所以,化簡(jiǎn)得,又因?yàn)?所以,所以直線過(guò)定點(diǎn).9．【陜西省漢中市2023屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)〔4月模擬〕】直線：與軸的交點(diǎn)是橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)假設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn),是否存在使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？假設(shè)存在,求出的值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．(Ⅱ)將直線的方程代入并整理得.設(shè)點(diǎn),那么．假設(shè)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),那么,即．又,于是,解得,經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)〔*〕式,適合題意.故存在,使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．10．【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2023屆高三二?！繄A與軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)為圓上異于的任意一點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線與圓在點(diǎn)處的切線分別交于,直線和交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.〔1〕求曲線的方程；〔2〕曲線與軸正半軸交點(diǎn)為,那么曲線是否存在直角頂點(diǎn)為的內(nèi)接等腰直角三角形,假設(shè)存在,求出所有滿(mǎn)足條件的的兩條直角邊所在直線的方程,假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】〔Ⅰ〕設(shè),那么處的切線為,那么,,那么,那么；〔Ⅱ〕由于直線不與坐標(biāo)軸平行或垂直,可設(shè),那么,得,由于恒成立,設(shè)兩個(gè)根為,那么,同理,由知：,得：〔1〕時(shí),得得：或〔2〕時(shí),得得：或綜上,共分三種情況〔1〕兩條直角邊所在直線方程為：；〔2〕兩條直角邊所在直線方程為：〔3〕兩條直角邊所在直線方程為：11．【2023屆淮北市高三第二次模擬考試】橢圓,是坐標(biāo)原點(diǎn),分別為其左右焦點(diǎn),,是橢圓上一點(diǎn),的最大值為〔Ⅰ〕求橢圓的方程;〔Ⅱ〕假設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),且〔i〕求證：為定值;〔ii〕求面積的取值范圍.【解析】〔1〕由題意得,得橢圓方程為：〔2〕i)當(dāng)斜率都存在且不為0時(shí),設(shè),由消得,同理得,故當(dāng)斜率一個(gè)為0,一個(gè)不存在時(shí),得綜上得,得證.ii)當(dāng)斜率都存在且不為0時(shí),又所以當(dāng)斜率一個(gè)為0,一個(gè)不存在時(shí),綜上得12．【2023屆湖南省長(zhǎng)沙市高三下學(xué)期統(tǒng)一模擬考試】過(guò)的動(dòng)圓恒與軸相切,設(shè)切點(diǎn)為是該圓的直徑．〔Ⅰ〕求點(diǎn)軌跡的方程；〔Ⅱ〕當(dāng)不在y軸上時(shí),設(shè)直線與曲線交于另一點(diǎn),該曲線在處的切線與直線交于點(diǎn)．求證:恒為直角三角形．【解析】(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,那么點(diǎn)坐標(biāo)為．因?yàn)槭侵睆?所以,或、均在坐標(biāo)原點(diǎn)．因此,而,,故有,即,另一方面,設(shè)是曲線上一點(diǎn),那么有,中點(diǎn)縱坐標(biāo)為,故以為直徑的圓與軸相切．綜上可知點(diǎn)軌跡的方程為．直線的斜率,于是．因此．所以恒為直角三角形．13．【湖北省六校聯(lián)合體2023屆高三4月聯(lián)考】如圖,圓經(jīng)過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn),與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為,且,,三點(diǎn)共線.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)與直線〔為原點(diǎn)〕平行的直線交橢圓于兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e取取最大值時(shí),求直線的方程.【解析】(1)∵,,三點(diǎn)共線,∴為圓的直徑,且,∴.由,得,∴,∵,∴,∴,.∵,∴,∴橢圓的方程為.(2)由〔1〕知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,∴直線的斜率為,故設(shè)直線的方程為,將方程代入消去得：,設(shè)∴,,,∴,又：=,∵點(diǎn)到直線的距離,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)直線的方程為.14．【福建省2023屆高三4月單科質(zhì)量檢測(cè)】點(diǎn),直線,直線垂直于點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn).〔1〕求點(diǎn)的軌跡的方程；〔2〕點(diǎn),過(guò)且與軸不垂直的直線交于兩點(diǎn),直線分別交于點(diǎn),求證：以為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn).【解析】〔1〕依題意得,即到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)拋物線方程為,那么,即點(diǎn)的軌跡的方程是.〔2〕由題意可設(shè)直線,代入,得,設(shè),那么；又,設(shè)直線的斜率分別為,那么,設(shè),令,得,同理,得,從而；.又以為直徑的圓的方程為：,即,即,令,解得或,從而以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)和.15．【安徽省合肥市2023屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】如圖,拋物線：與圓：相交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.過(guò)劣弧上動(dòng)點(diǎn)作圓的切線交拋物線于,兩點(diǎn),分別以,為切點(diǎn)作拋物線的切線,,與相交于點(diǎn).〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解析】〔Ⅰ〕由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入,解得16．【2023屆陜西省西北工大附中高三第四次適應(yīng)性考試】、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．〔1〕假設(shè)是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),,求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且為銳角〔其中為坐標(biāo)原點(diǎn)〕,求直線的斜率的取值范圍．【解析】〔1〕因?yàn)闄E圓方程為,知,∴,設(shè),那么,又,聯(lián)立,解得,∴．〔2〕顯然不滿(mǎn)足題意,可設(shè)的方程為,設(shè),聯(lián)立,∴,且,∴,又為銳角,∴,∴,∴,∴,∴,又∵,∴,∴.【名師原創(chuàng)測(cè)試篇】1．圓：及點(diǎn),為圓上一動(dòng)點(diǎn),在同一坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)Ｍ滿(mǎn)足：．〔Ⅰ〕求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；〔Ⅱ〕設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且為銳角〔其中為坐標(biāo)原點(diǎn)〕,求直線的斜率的取值范圍．〔Ⅲ〕設(shè)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線與相交于點(diǎn),與橢圓相交于兩點(diǎn)．求四邊形面積的最大值【解析】〔Ⅰ〕又,圓,那么半徑為4,由,那么三點(diǎn)共線,且,那么,故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的橢圓,且,所以,動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.〔Ⅱ〕顯然直線不滿(mǎn)足題設(shè)條件,可設(shè)直線,聯(lián)立,消去,整理得：,∴,由得：,又∴,又∵,即∴,故由①、②得或.〔Ⅲ〕解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知,點(diǎn)到的距離分別為,．又,所以四邊形的面積為=,當(dāng),即當(dāng)時(shí),上式取等號(hào)．所以的最大值為．解法二：由題設(shè),,．設(shè),,由①