本文格式為Word版，下載可任意編輯——考研概率論講義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計考研輔導(dǎo)講義

白云霄

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第一章隨機事件及其概率

1、隨機事件、樣本空間、概率的定義

例1.寫出以下試驗的樣本空間與事件A的樣本點

1．同時擲兩顆骰子，記錄其點數(shù)之和；A：點數(shù)之和為偶數(shù)2．相繼擲兩次硬幣。A：第一次出現(xiàn)正面

3．研究甲、乙兩件產(chǎn)品的銷售狀況（暢銷、滯銷）4．經(jīng)過三個十字路口遇到紅燈的個數(shù)

2、事件的關(guān)系及其運算

例2設(shè)A,B是任意兩個隨機事件，則PA?B?A?B?A?BA?B?______例3設(shè)A,B,C為三個事件，試將以下事件用A,B,C表示出來：（1）（2）（3）（4）（5）（6）

????????A發(fā)生，B與C不發(fā)生A，B，C至少有一個發(fā)生A，B，C恰好有一個發(fā)生A，B，C至少有一個不發(fā)生A，B，C最多有一個不發(fā)生

A不發(fā)生，B，C中至少有一個發(fā)生

3、概率的計算

方法有：古典概率、加法公式、乘法公式、條件概率、全概公式及逆概公式、二項公式1．古典概型I取次品

例1一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任意抽取4個，求：

（1）只有一件次品的概率；（2）至多一個次品的概率；（3）至少一個次品的概率。例2袋中有50個乒乓球，其中20個黃球，30個白球，今有兩個人依次隨機的從袋中各

取一球，取后不放回，則其次個人取得黃球的概率是?II排數(shù)字

例3從1，2，3，4中任意選出三個不同的數(shù)字形成三位數(shù)，求此三位數(shù)大于300的概率。例4一個三位數(shù)由1，2，3，4中的三個數(shù)字形成（個、十、百位可以一致），求此三位

數(shù)大于300的概率。

2

例5把10本書任意地放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率III質(zhì)點入盒

例6將3個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別為1,2,3的概率各是

多少？

例7設(shè)將C,C,E,E,I,N,S等7個字母隨意地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的

概率為?

IV配鞋子

例8從5雙不同大小的鞋中取出4只，求：（1）剛好是兩雙的概率；（2）不配隊的概率V幾何概型

例9設(shè)x,y在[0，1]隨機取值，求（1）P(x?y?1)；（2）P(xy?1)4例10某碼頭上只能容一只船，現(xiàn)預(yù)知某日將獨立來到兩只船，且在24小時內(nèi)隨機到達(dá)，如他們需要?？康臅r間為3小時，求一船要在江中等待的概率。2利用公式

例1設(shè)p(A)=0.4,p(A

p(B)=______

例2設(shè)隨機事件A事件。那么，B及其和事件AUB的概率分別為0.4,0.3和0.6B)=0.7,若事件A,B互斥，則p(B)=______若事件A,B獨立，則

P?AB??________

例3設(shè)p(A)=0.7,p(A-B)=0.3，則P(AB)?

例4設(shè)隨機事件A，B獨立,P(A)=0.5,P(AUB)?0.8，則P(AB)?P(AB)?例5已知p(A)=p(B)=p(C)=的概率為_______

例6設(shè)兩兩相互獨立的事件A,B,C滿足條件ABC??,p(A)?p(B)?p(C)?11,p(AB)?0,p(AC)?p(BC)?,則事件A,B,C全不發(fā)生4161,2且p(A

BC)?9,求p(A)=?163

例7設(shè)兩個相互獨立的事件A，B都不發(fā)生的概率為

生A不發(fā)生的概率相等，則p(A)=?

1，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)9例8設(shè)三臺機器相互獨立地運轉(zhuǎn)著，第一、其次、第三臺機器不發(fā)生故障的概率依次為

0.9、0.8、0.7，求這三臺機器全不發(fā)生故障的概率以及它們中至少有一臺發(fā)生故

障的概率。

例9甲乙輪番投骰子，求加先投出6的概率

例10．設(shè)A,B是任意兩個概率不為0的不相容事件，則以下結(jié)論中確定正確的是()

（A）A與B不相容（B）A與B相容（C）p(AB)=p(A)p(B)（D）p(A?B)?p(A)例11．設(shè)0（A）事件A與B互不相容（B）事件A與B相互對立（C）事件A與B不獨立（D）事件A與B相互獨立

3．條件概率

例1一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任意抽取2個，每次抽取一個，抽取后不再放

回，則第一次為正品，其次次抽取的也是正品的概率。例2連投兩次骰子，設(shè)第一、二次出現(xiàn)的點數(shù)為x1,x2，

A?{(x1,x2)x1?x2?10},B?{(x1,x2)x1?x2},求：P(BA)

例3某動物活到20歲的概率0.8，活到25歲的概率0.4，問現(xiàn)在20歲的動物能活到25

歲的概率

4．全概公式，貝葉斯公式

例1設(shè)工廠A和工廠B的產(chǎn)品的次品率分別是1%和2%，現(xiàn)在從由A和B的產(chǎn)品分

別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品則該次品屬于A生產(chǎn)的概率是？

例2三個箱子，第一個箱子中有黑球4個，白球1個。第一個箱子中有黑球3個，白

球3個。第三個箱子中有黑球3個，白球5個。現(xiàn)隨機地取一個箱子，再從這個箱子中取出一個球，這個球為白球的概率為______已知取出的球是白球，此球?qū)儆谄浯蝹€箱子的概率為__________.

4

例3三人同時向一架飛機射擊，設(shè)他們射中的概率分別為0.5，0.6，0.7．又設(shè)無人射中，飛機不會墜毀；只有一人擊中飛機墜毀的概率為0.2；兩人擊中飛機墜毀的概率為0.6；三人射中飛機一定墜毀．求三人同時向飛機射擊一次飛機墜毀的概率．

例4.現(xiàn)有8個乒乓球，4新4舊，甲取一個用完放回，乙再從中取一個為新球的概率。5．伯努利概型

例1設(shè)一個均勻陀螺的圓周上均勻的刻上了區(qū)間[2,5]上的諸數(shù)值，將這陀螺重復(fù)旋轉(zhuǎn)5次，計算這5次中恰好有3次停下來時接觸桌面的點的刻度在區(qū)間[3.5,4.5]上的概率。例2設(shè)三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于

19，則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為?27例3設(shè)一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為P,現(xiàn)進行n次獨立試驗，則A至少發(fā)生一次

的概率為______,而事件A至多發(fā)生一次的概率為______