擬合優(yōu)檢驗(yàn)的學(xué)習(xí)教案第1頁/共65頁擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的應(yīng)用總體分布未知，從樣本數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（總體分布），再利用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)對(duì)假設(shè)的總體分布進(jìn)行驗(yàn)證。第2頁/共65頁【引例1】某地區(qū)在1500到1931年的432年間，共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個(gè)隨機(jī)變量X）：戰(zhàn)爭次數(shù)X0123422314248154

發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)第3頁/共65頁根據(jù)我們對(duì)泊松分布產(chǎn)生的一般條件的理解，可以用一個(gè)泊松隨機(jī)變量來近似描述每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)。也就是說，我們可以假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布X近似泊松分布?，F(xiàn)在的問題是：

上面的數(shù)據(jù)能否證實(shí)X

具有泊松分布的假設(shè)是正確的？第4頁/共65頁【引例2】某鐘表廠對(duì)生產(chǎn)的鐘進(jìn)行精確性檢查，抽取100個(gè)鐘作試驗(yàn)，校準(zhǔn)24小時(shí)后進(jìn)行檢查，將每個(gè)鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來。問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？第5頁/共65頁【引例3】某工廠制造了一批骰子，聲稱它是均勻的。為檢驗(yàn)骰子是否均勻，要把骰子實(shí)地投擲若干次，統(tǒng)計(jì)各點(diǎn)出現(xiàn)的頻率與1/6的差距。問題是：得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設(shè)是可信的？第6頁/共65頁K.皮爾遜解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中介紹了χ2檢驗(yàn)法。第7頁/共65頁擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的工具-χ2

檢驗(yàn)χ2檢驗(yàn)法是在總體X的分布未知時(shí)，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗(yàn)方法。

第8頁/共65頁

H0：總體X的分布函數(shù)為F(x)然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布和所假設(shè)的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設(shè)。

這種檢驗(yàn)通常稱作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，它是一種非參數(shù)檢驗(yàn)。使用χ2檢驗(yàn)法對(duì)總體分布進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，先提出原假設(shè):第9頁/共65頁擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的一般步驟將總體X的取值范圍分成k個(gè)互不重疊的小區(qū)間，記作A1,A2,…,Ak。

把落入第i個(gè)小區(qū)間Ai的樣本值的個(gè)數(shù)記作fi

，稱為實(shí)測(cè)頻數(shù)；

所有實(shí)測(cè)頻數(shù)之和（f1+f2+…+fk）等于樣本容量n。根據(jù)所假設(shè)的理論分布，可以算出總體X的值落入每個(gè)Ai的概率pi，npi就是落入?yún)^(qū)間Ai的樣本值的理論頻數(shù)。第10頁/共65頁皮爾遜引進(jìn)如下統(tǒng)計(jì)量表示經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布之間的差異:在理論分布已知的條件下,npi是常量實(shí)測(cè)頻數(shù)理論頻數(shù)觀測(cè)頻數(shù)與理論頻數(shù)比較，判斷二者不符合程度是否由于機(jī)會(huì)所造成。第11頁/共65頁統(tǒng)計(jì)量的分布是什么?皮爾遜為什么會(huì)選用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量?兩個(gè)問題：第12頁/共65頁關(guān)于第一個(gè)問題，皮爾遜證明了如下定理:若原假設(shè)中的理論分布F(x)已經(jīng)完全給定，那么當(dāng)n→∞

時(shí)，統(tǒng)計(jì)量：的分布漸近

(k-1)個(gè)自由度的分布。如果理論分布F(x)中有r

個(gè)未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計(jì)量來代替，那么當(dāng)n→∞時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的分布漸近(k-1-r)個(gè)自由度的分布。第13頁/共65頁皮爾遜定理的幾點(diǎn)說明統(tǒng)計(jì)量的選擇自由度的確定連續(xù)性矯正第14頁/共65頁統(tǒng)計(jì)量的選擇求

k個(gè)

Oi－Ti之和，顯然它們恒等于0求

k個(gè)(Oi－Ti)2之和，得不出相對(duì)的不符合程度Oi＝9、Ti＝6，Oi－Ti＝3；Oi＝49、Ti＝46，Oi－Ti＝3。前者的不符合程度遠(yuǎn)大于后者。求

k個(gè)[(Oi－Ti)/Ti]2之和，但仍有問題如：Oi＝8、Ti＝5以及Oi＝80、Ti＝50時(shí)(Oi－Ti)/Ti都等于0.6。第15頁/共65頁統(tǒng)計(jì)量的選擇為了解決上述問題，以

Ti為權(quán)求加權(quán)值第16頁/共65頁自由度的確定變量之間存在著一個(gè)制約關(guān)系：故統(tǒng)計(jì)量漸近(k-1)個(gè)自由度的分布。第17頁/共65頁

在F(x)尚未完全給定的情況下，每個(gè)未知參數(shù)用相應(yīng)的估計(jì)量代替，就相當(dāng)于增加一個(gè)制約條件，因此，自由度也隨之減少一個(gè)。若有r

個(gè)未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計(jì)量來代替，自由度就減少r

個(gè)。故統(tǒng)計(jì)量漸近(k-1-r)個(gè)自由度的分布。第18頁/共65頁

如果根據(jù)所給的樣本值X1,X2,…,Xn算得統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則就認(rèn)為差異不顯著而接受原假設(shè)。得拒絕域:(不需估計(jì)參數(shù))(估計(jì)r

個(gè)參數(shù))根據(jù)皮爾遜定理，對(duì)給定的顯著性水平α，查分布表可得臨界值，使得第19頁/共65頁連續(xù)性矯正當(dāng)df＝1時(shí)應(yīng)做連續(xù)性矯正，矯正方法如下：第20頁/共65頁

皮爾遜定理是在n無限增大時(shí)推導(dǎo)出來的，因而在使用時(shí)要注意n要足夠大，以及npi

不太小這兩個(gè)條件。

根據(jù)計(jì)算實(shí)踐，要求n不小于50，以及npi

都不小于5。否則應(yīng)適當(dāng)合并區(qū)間，使npi滿足這個(gè)要求。皮爾遜定理小結(jié)第21頁/共65頁

奧地利生物學(xué)家孟德爾進(jìn)行了長達(dá)八年之久的豌豆雜交試驗(yàn)，并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，運(yùn)用他的數(shù)理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)了分離規(guī)律。孟德爾

以遺傳學(xué)上的一項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計(jì)方法在研究自然界和人類社會(huì)的規(guī)律性時(shí)，是起著積極的、主動(dòng)的作用。第22頁/共65頁【例1】子二代子一代…黃色純系…綠色純系他的一組觀察結(jié)果為：黃70，綠27近似為2.59:1，與理論值相近。

根據(jù)他的理論，子二代中，黃、綠之比近似為3:1，第23頁/共65頁這里，n=70+27=97，k=2,檢驗(yàn)孟德爾的3:1理論:提出假設(shè)H0:O-T=0(p1=3/4，p2=1/4)理論頻數(shù)為：

np1=72.75，np2=24.25實(shí)測(cè)頻數(shù)為70（黃），27（綠）。第24頁/共65頁自由度為2-1=1未落入拒絕域。故認(rèn)為試驗(yàn)結(jié)果符合孟德爾的3:1理論。按α

=0.05，自由度為1，查表得由于統(tǒng)計(jì)量=0.4158<3.841第25頁/共65頁【引例1】某地區(qū)在1500到1931年的432年間，共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個(gè)隨機(jī)變量X）：戰(zhàn)爭次數(shù)X0123422314248154

發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)第26頁/共65頁【例2】引例1，檢驗(yàn)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布是否服從泊松分布。

按參數(shù)λ

為0.69的泊松分布，計(jì)算事件X=i的概率pi

，pi的估計(jì)是：H0：O-T=0（X服從參數(shù)為λ的泊松分布）根據(jù)觀察結(jié)果，得參數(shù)λ

的極大似然估計(jì)為：解：將有關(guān)計(jì)算結(jié)果列表如下:第27頁/共65頁2.因H0所假設(shè)的理論分布中有一個(gè)未知參數(shù)λ，故自由度為4-1-1=2。1.將npi<5的組予以合并，即將發(fā)生3次及4次戰(zhàn)爭的組歸并為一組。第28頁/共65頁按α

=0.05，自由度為4-1-1=2，查表得：統(tǒng)計(jì)量:未落入拒絕域。故認(rèn)為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)X服從參數(shù)為0.69的泊松分布。第29頁/共65頁

χ2檢驗(yàn)的另一應(yīng)用-獨(dú)立性檢驗(yàn)是指研究兩個(gè)或兩個(gè)以上的計(jì)數(shù)資料（或?qū)傩再Y料）之間是否相互獨(dú)立的假設(shè)檢驗(yàn)，先假設(shè)所觀測(cè)的各屬性之間沒有關(guān)聯(lián)，然后檢驗(yàn)這種無關(guān)聯(lián)的假設(shè)是否成立。方法1：列聯(lián)表χ2檢驗(yàn)第30頁/共65頁【例】下表給出不同給藥方式與給藥效果，問給藥方式與給藥效果是否有關(guān)聯(lián)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：？第31頁/共65頁【例】下表給出不同給藥方式與給藥效果，求證：給藥方式與給藥效果有無關(guān)聯(lián)。若事件A和事件B是相互獨(dú)立的，則P(AB)=P(A)P(B)第32頁/共65頁列聯(lián)表χ2檢驗(yàn)一般步驟提出零假設(shè)：假設(shè)實(shí)測(cè)數(shù)與理論數(shù)無差異。即H0：O－T＝0。計(jì)算理論數(shù)：若事件

A和事件

B是相互獨(dú)立的，則

P(AB)=P(A)P(B)。例如：在給藥方式和效果之間是相互獨(dú)立的前提下，計(jì)算口服（事件B）有效（事件A）的概率

P(BA)＝P(B)P(A)=(98/193)(122/193)。其理論數(shù)T1＝(98/193)(122/193)193=(98)(122)/193。每個(gè)理論值用Tij表示，Tij=(i行總數(shù))(j列總數(shù))/總數(shù)。第33頁/共65頁列聯(lián)表χ2檢驗(yàn)一般步驟計(jì)算

χ2值：若

χ2<χ2α，則接受H0；若

χ2>χ2α，則拒絕H0。確定

df：因?yàn)槊恳恍械母骼碚摂?shù)受該行總數(shù)約束，每一列的各理論數(shù)受該列總數(shù)約束，所以

df＝(r-1)(c-1)。給出結(jié)論。第34頁/共65頁2.計(jì)算理論數(shù)：1.零假設(shè)H0：O－T＝0Tij=(i行總數(shù))(j列總數(shù))/總數(shù)第35頁/共65頁3.計(jì)算

χ2值第36頁/共65頁4.確定dfdf＝(r-1)(c-1)＝(2-1)(2-1)＝1取α

=0.05，5.給出結(jié)論：

接受H0，不同給藥方式的治療效果沒有顯著不同。注意：本例的df=1應(yīng)當(dāng)矯正，矯正后的χ2值更小，不會(huì)影響結(jié)論，可以不再矯正。第37頁/共65頁r×c列聯(lián)表χ2檢驗(yàn)r×c列聯(lián)表是2×2

表的擴(kuò)展；反之，2×2

表也可以看成是r×c列聯(lián)表的一個(gè)特例。r×c列聯(lián)表理論數(shù)的計(jì)算與2×2列聯(lián)表相同：Tij=(i行總數(shù))(j列總數(shù))/總數(shù)。df=(r-1)(c-1)。第38頁/共65頁【例】檢查魚的飼養(yǎng)方式與魚的等級(jí)是否有關(guān)，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)：按不同方式分為三種網(wǎng)箱飼養(yǎng)類型：A、B、C，統(tǒng)計(jì)不同飼養(yǎng)方式下魚的等級(jí)情況，得如下數(shù)據(jù)，試分析。等級(jí)飼養(yǎng)方式總數(shù)ABC甲22181656乙18161448丙11131438丁8111029總數(shù)595854171第39頁/共65頁等級(jí)飼養(yǎng)方式總數(shù)ABC甲22（19.32）18（18.99）16（17.68）56乙18（16.56）16（16.28）14（15.16）48丙11（13.11）13（12.89）14（12.0）38丁8（10.01）11（9.84）10（9.16）29總數(shù)5958541712.計(jì)算理論數(shù)：1.零假設(shè)H0：O－T＝0Tij=(i行總數(shù))(j列總數(shù))/總數(shù)第40頁/共65頁3.計(jì)算χ2值第41頁/共65頁等級(jí)飼養(yǎng)方式總數(shù)ABC甲22（19.32）18（18.99）16（17.68）56乙18（16.56）16（16.28）14（15.16）48丙11（13.11）13（12.89）14（12.0）38丁8（10.01）11（9.84）10（9.16）29總數(shù)5958541714.計(jì)算df：df=(r-1)(c-1)=(4-1)(3-1)=6第42頁/共65頁接受原假設(shè)，即商品魚的規(guī)格與飼養(yǎng)方式無關(guān)。5.結(jié)論第43頁/共65頁r×c列聯(lián)表χ2檢驗(yàn)的局限性與吻合度檢驗(yàn)一樣，理論數(shù)不得小于5。第44頁/共65頁2×2

列聯(lián)表的精確檢驗(yàn)法aba+bcdc+da+cb+dN第45頁/共65頁044325369134235369224145369314055369表1表2表3表445369第46頁/共65頁044325369表145369根據(jù)組合公式，9分解為4和5，共：9分解為3和6，共：9在行間分解為4和5，在列間分解為3和6，共：根據(jù)組合公式，9分解為0，4，3和2，共：第47頁/共65頁044325369表145369出現(xiàn)表1的概率是：第48頁/共65頁044325369134235369224145369314055369表1表2表3表4各列聯(lián)表的概率：第49頁/共65頁求任一列聯(lián)表概率的通式：aba+bcdc+da+cb+dN注意：原假設(shè)是處理間不存在差異；如果P>α，接受原假設(shè)；如果P<α，接受備擇假設(shè)。第50頁/共65頁飼料未增重/只增重/只總數(shù)A415B066總數(shù)4711【例1】用兩種飼料A和B飼養(yǎng)小白鼠，一周后測(cè)小白鼠增重情況（如下表）。問用不同飼料飼養(yǎng)的小白鼠體重是否存在差異？第51頁/共65頁飼料未增重/只增重/只總數(shù)A415B066總數(shù)4711解：1.原假設(shè)H0：兩種飼料的飼養(yǎng)效果相同2.計(jì)算P

值第52頁/共65頁飼料未增重/只增重/只總數(shù)A415B066總數(shù)4711解：3.結(jié)論雙側(cè)檢驗(yàn)，P值與α/2比較P=0.015<0.025拒絕原假設(shè)，兩種飼料的飼養(yǎng)效果不同。第53頁/共65頁【例2】檢測(cè)性別對(duì)藥物的反應(yīng)，結(jié)果如下：性別有效無效總數(shù)男415女369總數(shù)7714性別有效無效總數(shù)男505女279總數(shù)7714第54頁/共65頁【例2】解：1.

原假設(shè)H0：男女對(duì)該藥物的反應(yīng)沒區(qū)別2.計(jì)算P1

值性別有效無效總數(shù)男415女369總數(shù)7714第55頁/共65頁【例2】解：性別有效無效總數(shù)男505女279總數(shù)7714計(jì)算P2

值第56頁/共65頁【例2】解：性別有效無效總數(shù)