譜序列對于初學(xué)者來說一直很難，G.W.Whitehead也曾經(jīng)說“譜序列這個工具，來源于Lyndon和Koszul的代數(shù)工作，對很多拓?fù)鋵W(xué)家來說是復(fù)雜難懂的?！?自JohnMcCleary“AUser’sGuidetoSpectral為什么會這樣？adnd本的，但是一個雙復(fù)形的譜序列的記號包含了太多項(xiàng)和太多指標(biāo)，乍看起然而的解釋是，譜序列通常不是這樣教授給學(xué)生的：從最開始如何得到譜序列的定義開始解釋。比如，JohnMcCleary的書“使用(從一個非常好的方式，我保證！)。我假定讀者對同調(diào)群比較熟悉，但只需很少。這里的所有東西對專家都是熟知的，但?1Foolsrushinwhereangelsfearto1JohnMcCleary“Ahistoryofspectralsequences：Originsto面解釋只有有限項(xiàng)。在“現(xiàn)實(shí)”中，這些假設(shè)可能并不成立，但其中的關(guān)···?Cd+1?Cd?Cd?1?→··Cd

??Cd,p?Cd?1,p?dp.于是分次允許我構(gòu)。我們通常遇到的帶濾的復(fù)形，即每一個Cd都附有一串子模0=Cd,0?Cd,1?Cd,2?···?Cd,n=?Cd,p?Cd?1,p,?d, (p0pn時自然有意義，但本文中我們有時Cd,?1=0.)Cd,pCd,nCdCd是一個有限維的向量空間(回顧我們之前的假設(shè))，我們可以得到一個空間與=UCd,n?1.UE0E

(E0qdp,稱作互補(bǔ)次數(shù)。這里使用的指標(biāo)約定我感覺是最清楚用來講解的。)則n

??0

0EE

→

0EE

···

E ?→·E ···?→ ?→ ?→ ?→··.

···

E ?→·E ker?0: →E1:=Hd(E0)

im?0:E

→(若喜歡相對同調(diào)，我們 就是相對同調(diào)群Hd(Cd,p,Cd,p?1).)仍

⊕

p 0)(為最初帶濾復(fù)形(Cd,?)相關(guān)聯(lián)分次復(fù)形)的每一項(xiàng)同構(gòu)于原先復(fù)形的相((3))，但這并不保證兩個復(fù)形作為鏈復(fù)形是同構(gòu)的。(⊕和?0并不相同)因此盡 p 的確給出了相關(guān)聯(lián)分次復(fù)形的同調(diào)

~ 但它并不能給出最初復(fù)形的同調(diào)。(Cd

pE0 p Hd(⊕E0)?=p

n=2(4)中的箭頭只有兩行，我們稱“樓上”(p=2)和“樓下”(p=1)2 ···?→ ?→ ···?→ ?→

E ?→·E EE ?→··HdZd/Bd,ZdCd的閉鏈空間，Bd是包含在Cd中的邊緣鏈空間(譯者注：Zd=ker(Cd→Cd?1),Bd=im(Cd+1→Cd)).由于Cd是帶濾的，自然在Zd和Bd上有濾結(jié)構(gòu)：30=Zd,0?Zd,1?Zd,2=0=Bd,0?Bd,1?Bd,2=2···?·····?→··?0?···

? ?

? ?

??→··?3(Zd,1=Zd∩Cd,1=ker(Cd→Cd?1)∩Cd,1=ker(Cd,1→Cd?1)=ker(Cd,1→Cd?1,1)Bd,1=Bd∩Cd,1=im(Cd+1→Cd)∩Cd,1=im(Cd+1→Cd,1).)CdCd,1Cd,2Zd/Bd也不是Zd,1/Bd,1和Zd,2/Bd,2的直和；事實(shí)上Zd,2/Bd,2就已經(jīng)是整個同調(diào)群了。Zd=Zd+Cd,1⊕Zd∩Cd,1 Bd+ =Zd,2+Cd,1⊕Zd,1.Bd,2+Cd,1

E1E

=Zd,2+Cd,1 Bd,2+E1E

=Zd,1 并且甚至想(7)和(8)中的分子和分母就是 中的閉鏈和邊緣鏈(等

→→

E0E

Bd,1Bd中的那些落在Cd,1中的部分，這部分包含I，但它可能也xCd,1從“樓上”降到“樓下”，而I只抓取了那些開始就在“樓下”的元素的邊界。因此Zd,1/Bd,1

現(xiàn)在讓我們接著看“樓上”的

Bd,2→ECd,1((7)中的分母)，然而E12的“閉鏈”是映射?0: d?1,2的ker(E0→ ker(Cd,1→E1=H(E0)

→1,1

im(Cd+1,1→Zd,1=ker(Cd,1→Cd?1,1)=ker(Cd,1→Cd?1,1) im(Cd+1,2→Cd,1) im(Cd+1→Cd,1)0E1= d?1,2)=ker(Cd,2/Cd,1→

d,2→

im(Cd+1,2/Cd+1,1→→Zd,2+Cd,1=ker(Cd,2→Cd?1,2)+Cd,1Bd,2+ im(Cd+1,2→Cd,2)+KE0

?0:Cd,2→Cd?1,2. K?0?送到“樓下”Cd?1,1的鏈。與此相比較而言，Zd,2+Cd,1中的元素更特別：他們的邊界是來自Cd,1的邊界。因此Zd,2+Bd,2+

射?可能將元素降低一或多個層面（不能將元素提升一或多個層面，由于邊緣映射保持濾結(jié)構(gòu)），因此須對層級之間的行為進(jìn)行校正。

→→

?d,

Cd,11:?1Zd,1/Bd,1.(?1的像給出了所有位于Cd,1的邊界5)1

→E0

ker(Cd+1,2/Cd+1,1→ = d,2= →

im(Cd+2,2/Cd+2,1→E1=H

0

ker(Cd,1→)= =

→E im(Cd+1,1→→?1:E → ?1: ker(Cd+1,2/Cd+1,1→Cd,2/Cd,1) →ker(Cd,1→Cd?1,1)im(Cd+2,2/Cd+2,1→ im(Cd+1,1→?1?

im(Cd+1→=im(Cd+1,1→斷言2:?1的核是 Zd+1,2+Cd+1,1Bd+1,2+(驗(yàn)證核中的元素滿足:Cd+1,1中某個元素的邊界7

0GG

0GG

Ed,2E

DD

d,1

(9)(4)那樣是水平箭頭的，而是朝下E2ker?1: →E2:=Hd(E1)

im?1:E

→

⊕⊕

7x+im(Cd+2/Cd+2,1→Cd+1/Cd+1,1)∈ker?1,x∈Cd+1/Cd+1,1,?0:Cd+1/Cd+1,1x∈ker?1,?1(x+im(Cd+2/Cd+2,1→Cd+1/Cd+1,1))=?0x∈im(Cd+1,1→ ker(?0:Cd+1/Cd+1,1→ ~ker(Cd+1,2→Cd,2)+ker?

→

/Cd+1,1)

→=

)+8

1/?/?

~E2:=H

)=ker?1:

11,0=

～Ed,1→E

= =im?: → →

im?:n=2n=2時我們的帶濾復(fù)形的譜序列就是E0,E1,E2。E1看成想要的同調(diào)的一階近似，E2給出了二階近似，當(dāng)n=2的情況下它不只是一個近似值而且真真確確就是答案。→如果n>2是什么情況？定義(2),(5)和(10)都有意義，但此刻E2通常得不到正確的同調(diào)，因?yàn)镋2只考慮了圖(4)中相鄰層面（adjacentlevel）?當(dāng)然可以將東西下降兩個或多個層面。因此我們需要考慮項(xiàng)E3,E4,···,En.比如為了定義E3，我們可以驗(yàn)證?→—?2

.(9)(E22)(E11)E3E

處的(ker?2)/(im?2).一般地，Er的圖像有箭頭?r下r個層面r個層面

→

）,Er+1定義為(Err)nHd=⊕pEn這一事實(shí)從理論上是明顯的，它是我們在分析中，用一個數(shù)列近一個我們感的值這一方法的價值對每r可以得rEr，于是譜E2:=H(E1)=