第2課時空間幾何體的表面積和體積考點點擊棱柱、棱錐、臺、球的表面積和體積的計算公式考向定位從2022年高考來看不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。預測2022年高考有以下特色：（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計算問題；考綱解讀了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶），會求直棱柱、正棱錐、正棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球的表面積和體積重難點空間幾何體的表面積和體積的計算考點梳理1、多面體的面積和體積公式名稱側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體積(V)棱柱棱柱直棱柱棱錐棱錐各側(cè)面積之和正棱錐棱臺棱臺各側(cè)面面積之和正棱臺注意：S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長。2、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側(cè)S全V注意：表中、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺上、下底面半徑，R表示半徑基礎(chǔ)自測1、棱長都是的三棱錐的表面積為（）A.B.C.D.2、長方體的一個頂點上三條棱長分別是，且它的個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是（）A.B. C.D.都不對3、正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A. B.C. D.4、在△ABC中，,若使繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（）A.B.C.D.5、底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為，它的對角線的長分別是和，則這個棱柱的側(cè)面積是（）A.B.C.D.【答案與解析】1、A解析：因為四個面是全等的正三角形，則2、B解析：長方體的對角線是球的直徑，3、D解析：正方體的棱長是內(nèi)切球的直徑，正方體的對角線是外接球的直徑，設(shè)棱長是4、D解析：5、D解析：設(shè)底面邊長是，底面的兩條對角線分別為，而而即熱點題例例1、（1）已知直三棱柱底面各邊的比為17∶10∶9，側(cè)棱長為16cm，全面積為1440cm2，求底面各邊之長.分析：這是一道跟直棱柱側(cè)面積有關(guān)的問題，從結(jié)論出發(fā)，欲求底面各邊之長，而各邊之比已知，可分別設(shè)為17a、10a、9a，故只須求出參數(shù)a即可，那么如何利用已知條件去求a呢？解析：設(shè)底面三邊長分別是17a、10a、9a,S側(cè)＝（17a＋10a＋9設(shè)17a所對三角形內(nèi)角α，則cosα＝eq\f(（10a）2＋（9a）2－（17a）2,2×10a×9a)＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)S底＝eq\f(1,2)·10a·9a·eq\f(4,5)＝36a2∴576a＋72a2＝1440解得：∴三邊長分別為34cm，20cm，18cm.點評：此題中先設(shè)出參數(shù)a，再消去參數(shù)，很有特色.（2）從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐A—BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？分析：在準確識圖的基礎(chǔ)上，求出所截得的每個三棱錐的體積和正三棱錐A—BCD的體積即可.解：設(shè)正方體體積為Sh,則每個截去的三棱錐的體積為eq\f(1,3)·eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.∵三棱錐A—BCD的體積為Sh－4·eq\f(1,6)Sh＝eq\f(1,3)Sh.∴正三棱錐A—BCD的體積是正方體體積的eq\f(1,3).例2、（1）正三棱錐底面邊長為a，側(cè)棱與底面成45°角，求此棱錐的側(cè)面積與全面積.分析：可根據(jù)正棱錐的側(cè)面積與全面積公式求得.解：如圖所示，設(shè)正三棱錐S—ABC的高為SO，斜高為SD，在Rt△SAO中，∴AO＝SA·cos45°∵AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)eq\f(\r(3),2)a∴SA＝eq\f(\r(6),3)a在Rt△SBD中SD＝∴S側(cè)＝eq\f(1,2)·3a·SD＝eq\f(\r(15),4)a2.∵S底＝eq\f(\r(3),4)a2∴S全＝（eq\f(\r(15),4)＋eq\f(\r(3),4)）a2（2）假設(shè)正棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，求對角面的面積和側(cè)面積.解：如圖所示，在正四棱錐P—ABCD中，AB＝a，PB＝2a，作PO⊥底面ABCD于O.連結(jié)BD，則O∈BD，且PO⊥BC，由AB＝a，得BD＝eq\r(2)a，在Rt△PAB中，PO2＝PB2－BO2＝（2a）2－（eq\f(\r(2),2)a）2∴PO＝eq\f(\r(14),2)a，S對角面＝eq\f(1,2)PO·BD＝eq\f(\r(7),2)a2.又作PE⊥BC于E，這時E是BC的中點∴PE2＝PB2－BE2＝（2a）2－（eq\f(1,2)a）2∴PE＝eq\f(\r(15),2)a∴S側(cè)＝4×PE·BC＝eq\r(15)a2∴對角面面積為eq\f(\r(7),2)a2,側(cè)面積為eq\r(15)a2.例3、（1）如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：eq\o\ac(○,1)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積；eq\o\ac(○,2)球的表面積等于圓柱全面積的eq\f(2,3)（1）證明：eq\o\ac(○,1)設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，得S球＝4πR2，S圓柱側(cè)＝2πR·2R＝4πR2∴S球＝S圓柱側(cè)eq\o\ac(○,2)∵S圓柱全＝4πR2+2πR2＝6πR2S球＝4πR2∴S球＝eq\f(2,3)S圓柱全（2）已知圓錐的全面積是它內(nèi)切球表面積的2倍，求圓錐側(cè)面積與底面積之比.（2）解：過圓錐的軸作截面截圓錐和內(nèi)切球分別得軸截面SAB和球的大圓⊙O，且⊙O為△SAB的內(nèi)切圓.設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為l;內(nèi)切圓半徑為R，則S錐全＝πr2＋πrl，S球＝4πR2，∴r2＋rl＝8R2 ①又∵△SOE∽△SAO1∴ ②由②得：R2＝r2·代入①得：r2＋rl＝8r2·，得：l＝3r∴∴圓錐側(cè)面積與底面積之比為3∶1.（3）有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體各條棱都相切，第三個球過這個正方體的各頂點，求這三個球的表面積之比.（3）解：設(shè)正方體的棱長為a，則第一個球的半徑為eq\f(a,2)，第二個球的半徑是eq\f(\r(2),2)a，第三個球的半徑為eq\f(\r(3),2)a.∴r1∶r2∶r3＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∴S1∶S2∶S3＝1∶2∶3（4）求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比.（4）解：如圖所示，等邊△SAB為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圓圓O1.設(shè)球的半徑O1O＝R，則它的外切圓柱的高為2R，底面半徑為R，則有OB＝O1O·cot30°＝eq\r(3)RSO＝OB·tan60°＝eq\r(3)R·eq\r(3)＝3R∴V球＝eq\f(4,3)πR3,V柱＝πR2·2R＝2πR3V錐＝eq\f(1,3)π（eq\r(3)R）2·3R＝3πR3∴V球∶V柱∶V錐＝4∶6∶9（5）半徑為R的球的內(nèi)接四面體內(nèi)有一內(nèi)切球，求這兩球的體積比？（5）解：如圖所示，大球O的半徑為R；設(shè)正四面體A—BCD的棱長為a，它的內(nèi)切球半徑為r，依題意BO1＝eq\f(2,3)eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，AO1＝eq\r(AB2－BO12)＝eq\r(a2－（eq\f(\r(3),3)a）2)＝eq\f(\r(6),3)a又∵BO2＝BO12＋OO12，∴R2＝（∴a＝R連結(jié)OA，OB，OC，OD，內(nèi)切球球心到正四面體各面距離為r,VO—BCD＝VO—ABC＋VO—ACD＋VO—AOB＋VO—BCD∴∴r＝∴r＝∴V小球∶V大球＝π·（R）3∶π·R3＝1∶27∴內(nèi)切球與外接球的體積比為1∶27.達標測試1．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積為()A．32πB．16πC．12πD．8π2、已知A、B為球面上的兩點，O為球心，且AB＝3，∠AOB＝120°，則球的體積為()\f(9π,2)B．4eq\r(3)πC．36πD．32eq\r(3)π3、若三個球的表面積之比是，則它們的體積之比是________。4、正方體中，是上底面中心，若正方體的棱長為，則三棱錐的體積為_________。5、已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是、、，這個長方體的對角線長是_______；若長方體的共頂點的三個側(cè)面面積分別為，則它的體積為_______。6、一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為。7、一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)：(1)試畫出它的直觀圖；(2)求它的表面積和體積．參考答案：1、解析：選C.由三視圖可知幾何體是半徑為2的半球，故其表面積應(yīng)為半球的表面積與底面圓的面積之和，即S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝12π.2、解析：選B.△AOB為等腰三角形，∠AOB＝120°，AB＝3，通過解三角形解出OA和OB，即OA＝OB＝R＝eq\r(3)，從而求出球的體積4eq\r(3)π，故選B.3、解析：4、解析：畫出正方體，平面與對角線的交點是對角線的三等分點，三棱錐的高或：三棱錐也可以看成三棱錐，顯然它的高為，等腰三角形為底面。5、解析：設(shè)則設(shè)則6、 7、解析：(1)直觀圖如圖所示：(2)法一：由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個角，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長方體的體積的eq\f(3,4)，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，則AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1.在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，∴BB1＝eq\r(2).∴幾何體的表面積S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1＝1＋2×eq\f(1,2)×(1＋2)×1＋1×eq\r(2)＋1＋1×2＝7＋eq\r(2)(m2)．∴幾何體的體積V＝eq\f(3,4)×1×2×1＝eq\f(3,2)(m3)，∴該幾何體的表面積為(7＋eq\r(2))m2，體積為eq\f(3,2)m3.法二：幾何體也可以看作是以AA1B1B為底面的直四棱柱，其表面積求法同法一，V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝＝eq\f(1,2