數(shù)列的應(yīng)用一、知識點梳理縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長率，利率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.二、例題選講1．(★）某工廠生產(chǎn)總值月平均增長率為，則年平均增長率為-------------------（D） A、 B、 C、 D、2．（★）某儲蓄所計劃從2022年起力爭每年的吸儲量比前一年增長8%，則到2022年底該儲蓄所的吸儲量將比2022年的吸儲量增加------------------------------------------（B）A、24%B、?100%C、32%D、?3．（★)一彈性球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來的高度的一半再落下，則第10次著地時所經(jīng)過的路程和約是---------------------------------------------------（BA、199.8米B、299.6米Ｃ、166.9米4．（★★）中，tanA是以–4為第三項，–1為第七項的等差數(shù)列的公差，tanB是以為第三項，4為第六項的等比數(shù)列的公比，則該三角形的形狀是-----------（B）A、鈍角三角形B、銳角三角形C、等腰直角三角形D、非等腰直角三角形5．（★★）某純凈水廠在凈化過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)的20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需過濾的次數(shù)為（lg2=,lg3=--(C)A、5B、10C、14D、156．（★★）一套共7冊的書計劃每2年出一冊,若各冊書的出版年份數(shù)之和這13979,則出齊這套書的年份是------------------------------------------------------------------------------(D)A、1997B、1999C、2022D、20227．（★★)設(shè)數(shù)列是首項為50，公差為2的等差數(shù)列，是首項為10，公差為4的等差數(shù)列，以，為相鄰兩邊的矩形內(nèi)最大圓的面積記為，若k≤21,則=--（Ｂ）A、π(2k+1)2B、π(2k+3)2C、π(k+12)2D、π(k+24)８．（★★)A、B兩廠2022年元月份的產(chǎn)值相等，A廠的產(chǎn)值每月增加的產(chǎn)值相同，B廠的產(chǎn)值每月增加率相同，而2022年元月份兩廠的產(chǎn)值又相等，則2022年7月份兩廠產(chǎn)值------------------------------------------------------------------------------------------------（A）A、A廠高B、B廠高C、相等D、無法確定９．（★★）直角坐標(biāo)xOy平面上，平行直線x＝n（n＝0，1，2，……，5）與平行直線y＝n（n＝0，1，2，……，5）組成的圖形中，矩形共有----------------------------（D）A、25個B、36個C、100個D、225個10．（★★★)農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成.2022年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元),預(yù)計該地區(qū)自2022年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2022年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于--------------------------（B） A、4200元~4400元 B、4400元~4600元 C、4600元~4800元 D、4800元~5000元11．(★)據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長%，”如果“十·五”期間(2022年~2022年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十·五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為___120000______億元.解：從2022年到2022年每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項，以%為公比的等比數(shù)列，∴a5=95933(1+%)4≈120000(億元).12．(★★)從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精a(1－)n升.解：第一次容器中有純酒精a－b即a(1－)升，第二次有純酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n次有純酒精a(1－)n升.13．（★）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）.解：10，14．（★★）某人在年初用16萬元購買一套住房，付現(xiàn)金6萬，按合同余額分6年付清，年利率為10%，每年以復(fù)利計算，則每年年底應(yīng)付22960元（取整數(shù)）15．(★★★)在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，若1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是___1____.解：由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4)∴16．（★★★）對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項和的公式是2n+1-2解：，曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n-1-(n+1)2n切點為（2，-2n）,所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=.數(shù)列的前n項和為2+22+23+…+2n=17．（★）某工廠在1999年的“減員增效”中對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100％，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資，該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長，計劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實體，該經(jīng)濟(jì)實體預(yù)計第一年屬投資階段，第二年每人可獲得元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50％，如果某人分流前工資的收入每年元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實體，第年的收入為元， （1）求的通項公式； （2）當(dāng)時，這個人哪一年的收入最少？最少為多少？ （3）當(dāng)時，是否一定可以保證這個人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入？解：（1）由題意得，當(dāng)時，，當(dāng)時，， ∴． （2）由已知，當(dāng)時，要使得上式等號成立， 當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，因此這個人第三年收入最少為元． （3）當(dāng)時， ，上述等號成立，須且因此等號不能取到， 當(dāng)時，這個人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入．18．（★★）銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計算利息的方法叫做復(fù)利．現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案： 甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30％的利潤； 乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元． 兩種方案的期限都是10年，到期一次行歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10％的復(fù)利計算，試比較兩個方案哪個獲得存利潤更多？（計算精確到千元，參考數(shù)據(jù)：）解：甲方案10年獲利潤是每年利潤數(shù)組成的數(shù)列的前10項的和： （萬元） 到期時銀行的本息和為（萬元） ∴甲方案扣除本息后的凈獲利為：（萬元） 乙方案：逐年獲利成等差數(shù)列，前10年共獲利： （萬元） 貸款的本利和為：（萬元） ∴乙方案扣除本息后的凈獲利為：（萬元） 所以，甲方案的獲利較多．19．（★★）輕紡城的一家私營企業(yè)主，一月初向銀行貸款一萬元作開店資金，每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的，每月月底需要交納房租和所得稅為該月所得金額（包括利潤）的，每月的生活費(fèi)開支300元，余款作為資金全部投入再經(jīng)營，如此繼續(xù)，問該年年底，該私營企業(yè)主有現(xiàn)款多少元？如果銀行貸款的年利率為，問私營企業(yè)主還清銀行貸款后純收入還有多少元？解：第一個月月底余元， 設(shè)第個月月底余，第個月月底余， 則， 從而有， 設(shè)，∴是等比數(shù)列， ∴，， 還貸后純收入為元．20．（★★）．某地區(qū)森林原有木材存量為，且每年增長率為25％，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為，設(shè)為年后該地區(qū)森林木材的存量， （1）求的表達(dá)式； （2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不少于，如果，那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，需要經(jīng)過幾年？（參考數(shù)據(jù)：） 解：（1）設(shè)第一年的森林的木材存量為，第年后的森林的木材存量為，則 ， ， ， ……… ． （2）當(dāng)時，有得即， 所以，． 答：經(jīng)過8年后該地區(qū)就開始水土流失．21．（★★★）從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入為400×(1+)n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.=1600×［()n－1］(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.三、課后作業(yè)1．（★）已知方程（x2-2x+m）(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則|m-n|=--------------------------------------------------------------------------------------------------(C)A、1B、C、D、2．（★★）直角三角形的三邊都是整數(shù)，且成等差數(shù)列，則其中一邊長可能是（A）A、81B、71C、91D、1013．（★★）A、B兩物體自相距30m處同時相向運(yùn)動，A每分鐘走3m，B第一分鐘走2m，且以后比前一分鐘多走0.5m，則A、B從開始運(yùn)動到相遇經(jīng)過了---------------（B）A、4分鐘B、5分鐘C、6分鐘D、7分鐘4．（★★）某林廠年初森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增長率生長，而每年末要砍伐固定的木材量x立方米，為實現(xiàn)經(jīng)過兩次砍伐后的木材存量增加50%，則x的值是----------------------------------------------------------------------------------------（C）A、B、C、D、5．（★★)一條信息，若一人得知后用一小時將信息傳給2人，這兩人又用一小時各傳給未知此信息的另外2人，如此繼續(xù)下去，要傳遍100萬人口的城市，所需的時間大約為--------------------------------------------------------------------------------------------（D）A、3個月B、1個月C、10天D、20小時6．（★★)一直角三角形邊長成等比數(shù)列，則--------------------------------------------（C）A、三邊邊長之比為3∶4∶5B、三邊邊長之比為1∶∶3C、較小銳角的正弦值為D、較大銳角的正弦值為7．(★）某商品分兩次提價，方案甲是先提價a%，再提價b%(a>b>0)，方案乙是先提價b%再提價a%，方案丙是兩次均提價%，則提價最高的是-------------（C）A、甲B、乙C、丙D、與a,b的取值有關(guān)8．（★★）一張報紙，其厚度為a，面積為b，現(xiàn)將此報紙對折（即沿對邊中點連線折疊）7次，這時報紙的厚度和面積分別是----------------------------------------------------（C）A、8a,B、64a,C、128a,D、256a,9．（★★)現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，則剩余鋼管的根數(shù)為----------------------------------------------------------------------（B）A、9B、10C、19D、2910．（★★★）已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，當(dāng)a=1，2，…，n，…時，其拋物線在x軸上截得的線段長依次為d1,d2，…,dn,…,則d1+d2+…+dn是---------------------A. B. C. D.解：當(dāng)a=n時y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn11．（★）一個劇場設(shè)置了20排座位，第一排有38個座位，往后每一排都比前一排多2個座位，這個劇場共有1140個座位。12．（★）一梯形的上、下底長分別是12cm，22cm，將梯形的一腰10等分，過每一個分點作平行于底邊的直線，則這些直線上夾在兩腰之間的線段的長度之和為153cm13．（★★）1992年底世界人口達(dá)到億，若人口的年平均增長率為2%，到2022年底人口將達(dá)到億（取=）14．（★★）據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b，2022年產(chǎn)生的垃圾量為a噸由此預(yù)測，該區(qū)下一年的垃圾量為噸，2022年的垃圾量為噸15．（★★）家用電器一件2000元，實行分期付款，每期為一個月，購買后一個月付款一次，再過一個月又付款一次，共付了12次即購買一年后付清，按每月利率10%，每月復(fù)利一次計算，則每期應(yīng)付款元16．（★★）用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半，第二層用去了剩下的磚塊的一半多一塊，…，依次類推，每一層都是用去了上次剩下磚塊的一半多一塊，到第十層恰好把磚塊用完，共用了2046磚塊17．（★★）已知點的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，…，An是線段An－2An－1(1)寫出xn與xn－1、xn－2之間關(guān)系式(n≥3);(2)設(shè)an=xn+1－xn，計算a1,a2,a3，由此推測數(shù)列{an}的通項公式，并加以證明；解：(1)當(dāng)n≥3時，xn=;由此推測an=(－)n-1a(n∈N)證：因為a1=a＞0,且(n≥2)所以an=(－)n-1a.18．（★★）據(jù)有關(guān)資料，1995年我國工業(yè)廢棄垃圾達(dá)到×108噸，占地平方公里，若環(huán)保部門每年回收或處理1噸舊物資，則相當(dāng)于處理和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約開采各種礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門1996年回收10萬噸廢舊物資，計劃以后每年遞增20%的回收量，試問：(1)2022年回收廢舊物資多少噸？(2)從1996年至2022年可節(jié)約開采礦石多少噸(精確到萬噸)？(3)從1996年至2022年可節(jié)約多少平方公里土地？解：設(shè)an表示第n年的廢舊物資回收量，Sn表示前n年廢舊物資回收總量，則數(shù)列{an}是以10為首項，1+20%為公比的等比數(shù)列.(1)a6=10(1+20%)5=10×=≈25(萬噸)(2)S6==≈(萬噸)∴從1996年到2000年共節(jié)約開采礦石20×≈1986(萬噸)(3）由于從1996年到2022年共減少工業(yè)廢棄垃圾4×=(萬噸)，∴從1996年到2022年共節(jié)約：≈3平方公里19．（★★）某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.(1)設(shè)ak(1≤k≤n)為第k位職工所得獎金金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)；(2)證明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義；解：(1)第1位職工的獎金a1=，第2位職工的獎金a2=(1－)b，第3位職工的獎金a3=(1－)2b，…，第k位職工的獎金ak=(1－)k－1b;(2)ak－ak+1=(1－)k－1b＞0，此獎金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則.20．（★★）已知Sn=1++…+,(n∈N*)設(shè)f(n)=S2n+1－Sn+1,試確定實數(shù)m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.命題意圖：本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力解：∵Sn=1++…+.(n∈N*)∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)∴f(n)min=f(2)=∴要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m