（北師大版）數(shù)學(xué)必修4全套教案

§1周期現(xiàn)象與周期函數(shù)（1課時）

教學(xué)目標：

知識與技能

（1）了解周期現(xiàn)象在現(xiàn)實中廣泛存在；（2）感受周期現(xiàn)象對實

際工作的意義；（3）理解周期函數(shù)的概念；（4）能熟練地判斷簡

單的實際問題的周期；（5）能利用周期函數(shù)定義進行簡單運用。

過程與方法

通過創(chuàng)設(shè)情境：單擺運動、時鐘的圓周運動、潮汐、波浪、四季

變化等，讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象；從數(shù)學(xué)的角度分析這種現(xiàn)象，就

可以得到周期函數(shù)的定義；根據(jù)周期性的定義，再在實踐中加以

應(yīng)用。

情感態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對周期現(xiàn)象有一個初步的認識，感受

生活中處處有數(shù)學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好

數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會運用聯(lián)系的觀點認識事物。

二、教學(xué)重、難點

重點：感受周期現(xiàn)象的存在，會判斷是否為周期現(xiàn)象。

難點：周期函數(shù)概念的理解，以及簡單的應(yīng)用。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：數(shù)學(xué)來源于生活，又指導(dǎo)于生活。在大千世界有很多的現(xiàn)

象，通過具體現(xiàn)象讓學(xué)生通過觀察、類比、思考、交流、討論，

感知周期現(xiàn)象的存在。并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)周期性的定義，再應(yīng)用

于實踐。

教學(xué)用具：實物、圖片、投影儀

四、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

同學(xué)們：我們生活在海南島非常幸福，可以經(jīng)?？吹酱蠛＃找?/p>

我們的情操。眾所周知，海水會發(fā)生潮汐現(xiàn)象，大約在每一晝夜

的時間里，潮水會漲落兩次，這種現(xiàn)象就是我們今天要學(xué)到的周

期現(xiàn)象。再比如，［取出一個鐘表，實際操作］我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的

時針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會重復(fù)，這也是一種周期現(xiàn)象。

所以，我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù)。

（板書課題）

【探究新知】

1.我們已經(jīng)知道，潮汐、鐘表都是一種周期現(xiàn)象，請同學(xué)們觀

察錢塘江潮的圖片（投影圖片），注意波浪是怎樣變化的？可見,

波浪每隔一段時間會重復(fù)出現(xiàn)，這也是一種周期現(xiàn)象。請你舉出

生活中存在周期現(xiàn)象的例子。（單擺運動、四季變化等）

（板書：一、我們生活中的周期現(xiàn)象）

2.那么我們怎樣從數(shù)學(xué)的角度研究周期現(xiàn)象呢？教師引導(dǎo)學(xué)生

自主學(xué)習(xí)課本P3——P4的相關(guān)內(nèi)容，并思考回答下列問題：

①如何理解“散點圖”？

②圖1-1中橫坐標和縱坐標分別表示什么？

③如何理解圖1-1中的“H/m”和“t/h”?

④對于周期函數(shù)的定義，你的理解是怎樣？

以上問題都由學(xué)生來回答，教師加以點撥并總結(jié)：周期函數(shù)定義

的理解要掌握三個條件，即存在不為0的常數(shù)T;x必須是定義

域內(nèi)的任意值；f(x+T)=f(x)。

(板書：二、周期函數(shù)的概念)

3.[展示投影]練習(xí)：

已知函數(shù)f(x)滿足對定義域內(nèi)的任意x,均存在非零常數(shù)T,使

得f(x+T)=f(x)。

求f(x+2T),f(x+3T)

略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x)

f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)

本題小結(jié)，由學(xué)生完成，總結(jié)出“周期函數(shù)的周期有無數(shù)個”，

教師指出一般情況下，為避免引起混淆，特指最小正周期。

(2)已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函數(shù)，且f(1)=2005,

求f(ll)

略解：f(11)=f(6+5)=f⑹=f(1+5)=f⑴=2005

(3)已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù)，且f⑴=2,f(x+3)=f(x),

求f⑻

略解：f(8)=f(2+2x3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)

=-2

【鞏固深化，發(fā)展思維】

1.請同學(xué)們先自主學(xué)習(xí)課本P4倒數(shù)第五行一一P5倒數(shù)第四行,

然后各個學(xué)習(xí)小組之間展開合作交流。

2.例題講評

例1.地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)，地球到太陽的距離y是時間t的函數(shù)

嗎？如果是，這個函數(shù)

y=f(t)是不是周期函數(shù)？

例2.圖1-4(見課本)是鐘擺的示意圖，擺心A到鉛垂線MN的

距離y是時間t的函數(shù)，y=g(t)。根據(jù)鐘擺的知識，容易說明

g(t+T)=g(t),其中T為鐘擺擺動一周(往返一次)所需的時間,

函數(shù)y=g(t)是周期函數(shù)。若以鐘擺偏離鉛垂線MN的角e的度

數(shù)為變量，根據(jù)物理知識，擺心A到鉛垂線MN的距離y也是。

的周期函數(shù)。

例3.圖1-5(見課本)是水車的示意圖，水車上A點到水面的距

離y是時間t的函數(shù)。假設(shè)水車5min轉(zhuǎn)一圈，那么y的值每經(jīng)

過5min就會重復(fù)出現(xiàn)，因此，該函數(shù)是周期函數(shù)。

3.小組課堂作業(yè)

(1)課本P6的思考與交流

(2)(回答)今天是星期三那么7k(k￡Z)天后的那一天是星期

幾？7k(kCZ)天前的那一天是星期幾？100天后的那一天是星期

幾？

五、歸納整理，整體認識

(1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及到的

主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？

六、布置作業(yè)

1.作業(yè)：習(xí)題1.1第1,2,3題.

2.多觀察一些日常生活中的周期現(xiàn)象的例子，進一步理解它的

特點.

七、課后反思

§2角的概念的推廣（1課時）

教學(xué)目標：

知識與技能

（1）推廣角的概念，理解并掌握正角、負角、零角的定義；（2）

理解象限角、坐標軸上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌

握所有與。角終邊相同的角（包括。角）的表示方法；（4）能表

示特殊位置（或給定區(qū)域內(nèi)）的角的集合；（5）能進行簡單的角

的集合之間運算。

過程與方法

類比初中所學(xué)的角的概念，以前所學(xué)角的概念是從靜止的觀點闡

述，現(xiàn)在是從運動的觀點闡述，進行角的概念推廣，引入正角、

負角和零角的概念；由于角本身是一個平面圖形，因此，在角的

概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引出象限角、非

象限角的概念，以及象限角的判定方法；通過幾個特殊的角，畫

出終邊所在的位置，歸納總結(jié)出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊

的角的表示；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。

情感態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對角的概念有了一個新的認識；樹立

運動變化觀點，學(xué)會運用運動變化的觀點認識事物；揭示知識背

景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的

學(xué)習(xí)態(tài)度；讓學(xué)生感受圖形的對稱美、運動美，培養(yǎng)學(xué)生對美的

追求。

二、教學(xué)重、難點

重點：理解正角、負角和零角和象限角的定義，掌握終邊相同角

的表示法及判斷。

難點：把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

在初中，我們知道最大的角是周角，最小的角是零角；通過回憶

和類比初中所學(xué)角的概念，把角的概念進行了推廣；角是一個平

面圖形，把角放入平面直角坐標系中以后，了解象限角的概念；

通過角終邊的旋轉(zhuǎn)掌握終邊相同角的表示方法；我們在學(xué)習(xí)這部

分內(nèi)容時，首先要弄清楚角的表示符號，以及正負角的表示，另外

還有相同終邊角的集合的表示等。

教學(xué)用具：多媒體、三角板、圓規(guī)

四、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

同學(xué)們，我們在擰螺絲時，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)會越擰越松，按順

時針方向旋轉(zhuǎn)會越擰越緊。但不知同學(xué)們有沒有注意到，在這兩

個過程中，扳手分別所組成的兩個角之間又有什么關(guān)系呢？請幾

個同學(xué)暢談一下，教師控制好時間，2-3分鐘為宜。

這里面到底是怎么回事？這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

初中我們已給角下了定義，先請一個同學(xué)回憶一下當時是怎么定

義的？

我們把“有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角”，這是從靜

止的觀點闡述的。

【探究新知】

如果我們從運動的觀點來看，角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端

點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。（先后用教具圓規(guī)

和多媒體給學(xué)生演示：逆時針轉(zhuǎn)動形成角，順時針轉(zhuǎn)動而成角，

轉(zhuǎn)幾圈也形成角，為推廣角的概念做好準備）

正角、負角、零角的概念（打開課件第一版，演示正角、負角、

零角的形成過程）.

我們規(guī)定：（板書）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，如圖（見

課件）。一條射線由原來的位置。A,繞著它的端點。按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)到終止位置。加就形成角。.旋轉(zhuǎn)開始時的射線。4叫做角

的始邊，。5叫終邊，射線的端點。叫做叫。的頂點.按順時針方

向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們

認為這時它也形成了一個角，并把這個角叫做零角，如果a是零

角，那么a=0。。鐘表的時針和分針在旋轉(zhuǎn)時所形成的角總是

負角.為了簡便起見，在不引起混淆的前提下，“角a”或“N

a”可以記成“a”。

過去我們研究了0°-360°范圍的角.如圖（見課件）中的角

a就是一個0°-360°范圍內(nèi)的角（a=30。）.如果我們將角

a的終邊OB繼續(xù)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周、兩周……而形成的角

是多少度?是不是仍為30°的角？（用多媒體演示這一旋轉(zhuǎn)過程，

讓學(xué)生思考；為終邊相同角概念做準備）.將終邊OB旋轉(zhuǎn)一周、

兩周……，分別得到390。，750°……的角.如果將OB繼續(xù)旋

轉(zhuǎn)下去，便可得到任意大小的正角。同樣地，如果將OB按順時

針方向旋轉(zhuǎn)，也可得到任意大小的負角（通過課件，動態(tài)演示這

一無限旋轉(zhuǎn)過程）.這就是說，角度并不局限于0°~360°的范

圍，它可以為任意大小的角（與數(shù)軸進行比較）.（打開課件第三

版）.如圖（1）中的角為正角，它等于750°;（2）中，正角a=

210°,負角|3=—150。,Y=-660°.在生活中，我們也經(jīng)

常會遇到不在0°~360°范圍的角，如在體操中，有“轉(zhuǎn)體

720°”（即“轉(zhuǎn)體2周”），“轉(zhuǎn)體1080?！保础稗D(zhuǎn)體3周”）

這樣的動作名稱；緊固螺絲時，扳手旋轉(zhuǎn)而形成的角.

角的概念經(jīng)過這樣的推廣以后，就包括正角、負角和零角.

2.象限角、坐標軸上的角的概念.

由于角是一個平面圖形，所以今后我們常在直角坐標系內(nèi)討論

角，（板書）我們使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負

半軸（包括原點）重合，那么角的終邊（除端點外）在第幾象限，我

們就說這個角是第幾象限角.（打開課件第四版）例如圖⑴中的

30°、390°、-330°角都是第一象限角，圖⑵中的300°、

-60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角.

（板書）如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任一象

限.

3.終邊相同的表示方法.

（返回課件第二版，在圖（1）1⑵中分別以0為原點，直線0A為

X軸建立直角坐標系，重新演示前面的旋轉(zhuǎn)過程）在圖⑴中，如

果將終邊0B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一圈、兩圈……，分別得到390°,

750°……的角，這些角的終邊與30°角的終邊相同，只是轉(zhuǎn)過

的圈數(shù)不同，它們可以用30°角來表示，如390°=30°十

360°,750°=30°十2x360。，……在圖（2）中，如果將終邊

OB按順時針方向旋轉(zhuǎn)一圈、兩圈……分別得到-330。,-

690°……的角，這些角的終邊與30。角終邊也相同，也只是轉(zhuǎn)

過的圈數(shù)不同，它們也都可以用30。的角來表示，如-330。=

30°-360°,-690°=30°—2x360。，……

由此可以發(fā)現(xiàn)，上面旋轉(zhuǎn)所得到的所有的角（記為6）,都可以表

示成一個0。到360°的角與k（k￡Z）個周角的和，即：|3=30°

十—360。（k€Z）,如果我們把0的集合記為S,那么S={|3|

0=30。十k?360°,k6Z}.容易看出：所有與30°角終邊

相同的角，連同30°角（k=0）在內(nèi)，都是集合S的元素；反過

來，集合S的任一元素顯然與30°角終邊相同。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

例題講評

例1.判斷下列各角是第幾象限角.

（1）-60°;（2）585°;（3）-950°12'.

解：（1）;一60。角終邊在第四象限，它是第四象限角；（2）

V585°=360°十225°,「.585°與225°終邊相同，又;225。

終邊在第三象限，」.585。是第三象限角；⑶=-950°12'=

-230°12，-2x360°,又?「-230。12，終邊在第二象限,「?

-950°12，是第二象限角.

例2.在直角坐標系中，寫出終邊在y軸上的角的集合（a用0。~

360°的角表示）.

解：在0。-360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個，即90。

與270。角，因此，所有與90。角終邊相同的角構(gòu)成集合Sl={[3

I0=90。+k-360°,k€Z};所有與270°角終邊相同的角構(gòu)

成集合S2={|3|13=270°+k?360°,k€Z};所以，終邊在y

軸上的角的集合S=S1US2={|3|13=90°+k-360°,k€Z}

U{pI3=270°+k?360°,k€Z}.

例3.寫出與60。角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等

式-360。46<270。的元素|3寫出來.

解：S={6|0=60。+k?360°,k￡Z},S中適合-360。<

0<270°的元素是：

60°-1x360°=-300°,60°+0x360。=60°,60°+1

x360°=420°.

2.學(xué)生課堂練習(xí)

參考練習(xí)（通過多媒體給題）。

（1）（口答）銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分

別就直角、鈍角來回答這兩個問題.

⑵與一496。終邊相同的角是，它是第象限的

角，它們中最小正角是，最大負角是

⑶時針經(jīng)過3小時20分，則時針轉(zhuǎn)過的角度為，分針

轉(zhuǎn)過的角度為。

(4)若0的終邊關(guān)于x軸對稱，則a與0的關(guān)系是；

若a與6的終邊關(guān)于y

軸對稱，則a與B的關(guān)系是；若a、6的終邊關(guān)于原點對

稱，則a與B的關(guān)系是；若角a是第二象限角，則180。-

a是第象限角。

［答案］⑴是，不一定.

⑵一496。+k-360°(k€Z),三，240°,-136°.

⑶一100。,-12000.

(4)a十0=k-360°(k€Z);a十0=180°十k?360。(k6

Z)；

a—|3=180°十k?360°(k￡Z);一.

五、歸納整理，整體認識

請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？你知道角是如何

推廣的嗎？

象限角是如何定義的呢？你熟練掌握具有相同終邊角的表示了

嗎？

(3)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向

老師提出。

(4)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？

六、布置作業(yè)：習(xí)題1.2第2,3題.

七、課后反思

§3弧度制（1課時）

教學(xué)目標：

知識與技能

（1）理解1弧度的角及弧度的定義；（2）掌握角度與弧度的換

算公式；（3）熟練進行角度與弧度的換算；（4）理解角的集合與

實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系；（5）理解并掌握弧度制下的弧長

公式、扇形面積公式，并能靈活運用這兩個公式解題。

過程與方法

通過單位圓中的圓心角引入弧度的概念；比較兩種度量角的方法

探究角度制與弧度制之間的互化；應(yīng)用在特殊角的角度制與弧度

制的互化，幫助學(xué)生理解掌握；以針對性的例題和習(xí)題使學(xué)生掌

握弧長公式和扇形的面積公式；通過自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，樹立

學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度。

情感態(tài)度與價值觀

通過弧度制的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認識到角度制與弧度制都是度量角制

度，二者雖單位不同，但卻是相互聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的；在弧度制

下，角的加、減運算可以像十進制一樣進行，而不需要進行角度

制與十進制之間的互化，化簡了六十進制給角的加、減運算帶來

的諸多不便，體現(xiàn)了弧度制的簡捷美；通過弧度制與角度制的比

較，使學(xué)生認識到引入弧度制的優(yōu)越性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和

求知欲望，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

二、教學(xué)重、難點

重點：理解弧度制的意義，正確進行弧度與角度的換算；弧長和

面積公式及應(yīng)用。

難點：弧度的概念及與角度的關(guān)系；角的集合與實數(shù)之間的一一

對應(yīng)關(guān)系。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

在初中，我們非常熟悉角度制表示角，但在進行角的運算時，運

用六十進制出現(xiàn)了很不習(xí)慣的問題，與我們常用的十進制不一

樣，正因為這樣，所以有必要引入弧度制；在學(xué)習(xí)中，通過自主

學(xué)習(xí)的形式，讓學(xué)生感受弧度制的優(yōu)越性，在類比中理解掌握弧

度制。

教學(xué)用具：多媒體、三角板

四、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

在初中幾何里我們學(xué)過角的度量，當時是用度做單位來度量

1

角的.我們把周角的通規(guī)定為1度的角，而把這種用度作單位

來度量角的單位制叫做角度制.但在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中我們還經(jīng)

常用到另一種度量角的單位制一一弧度制。下面我們就來學(xué)習(xí)弧

度制的有關(guān)概念.（板書課題）弧度制的單位是rad,讀作弧度.

【探究新知】

1.1弧度的角的定義.

（板書）我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角，叫做1弧度的

角（打開課件）.如圖1—14（見教材），弧AB的長等于半徑r,則

弧AB所對的圓心角就是1弧度的角，弧度的單位記作rad。

在圖1（課件）中，圓心角NAOC所對的弧長l=2r,那么NAOC

的弧度數(shù)就是2rad;圓心角NAOD所對的弧長1=萬1?，那么NAOC

的弧度數(shù)就是'rad;圓心角NAOE所對的弧長為1,那么NAOE

的弧度數(shù)是多少呢？學(xué)生思考并交流，此我們可以得到弧度制的

定義.

2.弧度制的定義：

一般地，（板書）正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是

一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)

1_

是。；角a的弧度數(shù)的絕對值Iod=二，其中1是以角a作為圓

心角時所對弧的長，r是圓

的半徑，這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制.

在弧度制的定義中，我們是用弧長與其半徑的比值來反映弧

所對的圓心角的大小的.為什么可以用這個比值來度量角的大小

呢？這個比值與所取的圓的半徑大小有沒有關(guān)系？請同學(xué)們自主

學(xué)習(xí)課本P12-P13,從課本中我們可以看出，這個比值與所取

的半徑大小無關(guān)，只與角的大小有關(guān)。有興趣的同學(xué)們可以對它

進行理論上的證明：

（論證）如圖1—13（見教材），設(shè)Noc為n。（n°〉0）的角，

圓弧AB和A1B1的長分別為1和11,點A和A1到點0的距離（即

圓的半徑）分別為由初中所學(xué)的弧長公式

n兀n7Tn/r

有l(wèi)=R（）r,11=i80rl,所以；=八=麗，這表明以角a為圓

心角所對的弧長與其半徑的比值，與所取的半徑大小無關(guān)，只與

角a的大小有關(guān).

用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量數(shù)相同（都

是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也

不同.但它們既然是表示同一個角，那這二者之間就應(yīng)該可以進

行換算，下面我們來討論角度與弧度的換算.

3.角度制與弧度制的換算.

現(xiàn)在我們知道：1個周角=360。=：r,所以，（板書）360°

71

=27rrad,由此可以得到180。=nrad,lo=180?0.01745rad,

180

lrad=（V）°-57.30。=57°18'。

說明：在進行角度與弧度的換算時，關(guān)鍵要抓住180°=nrad

這一關(guān)系式.

今后我們用弧度制表示角時，“弧度”二字或“rad”通常略去不

寫，而只寫這個角所對應(yīng)的弧度數(shù).例如，角a=2就表示是2rad

7T71

的角，sin§就表示？rad的角的正弦，但用角度制表示角時，“度”

或”不能省去.而且用“弧度”為單位度量角時，常把弧度

數(shù)寫成多少直的形式，如無特別要求，不必把江寫成小數(shù)，如

71

45°=4rad,不必寫成45。=0.785弧度.

前面我們介紹了角度制下的終邊相同角的表示方法，而角度制與

弧度制可以相互轉(zhuǎn)化，所以與角a終邊相同的角（連同角a在

內(nèi)），也可以用弧度制來表示.但書寫時要注意前后兩項所采用

的單位制必須一致.

角的概念推廣后，無論用角度制還是用弧度制，都能在角的集合

與實數(shù)集R之間建立一種對應(yīng)的關(guān)系：每一個角都有唯一的

一個實數(shù)與它對應(yīng)，例如這個角的弧度數(shù)或度數(shù)；反過來，每一

個實數(shù)也都有唯一的一個角與它對應(yīng)，就是弧度數(shù)或度數(shù)等于這

個實數(shù)的角。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

1.例題講評

例1.把45?；苫《?。

7171

解：45O=180x45rad=4rad.

34

例2.把Mrad化成度。

37t3

解：Trad=5x180°=108°.

\_

例3.利用弧度制證明扇形面積公式S=51r,其中1是扇形的

弧長，r是圓的半徑。

1

證：???圓心角為1的扇形的面積為五?7ir2,又?.?弧長為1的

i_L_L1

扇形的圓心角的大小為「，?..扇形的面積S=「?2》-7Tr2=2ir.

2.學(xué)生課堂練習(xí)

(1)填表

180360

度0°45°60°

OO

弧

71713萬

~2~2

度

說明：一些特殊角的弧度數(shù)，大家要熟記，免得每次遇到都要去

進行換算.

(2)用弧度制寫出終邊落在y軸上和x軸上的角集合。

五、歸納整理，整體認識

(1)主要學(xué)習(xí)了弧度制的定義；角度與弧度的換算公式；特殊

角的弧度數(shù)。

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？

六、布置作業(yè)：習(xí)題1—3中的1、2、6.

七、課后反思

§4.1銳角的正弦函數(shù)§4.2任意角的正弦函數(shù)§4.3正弦函數(shù)

y=sinx的圖像（2課時）

教學(xué)目標：

知識與技能

（1）回憶銳角的正弦函數(shù)定義；（2）熟練運用銳角正弦函數(shù)的

性質(zhì)；（3）理解通過單位圓引入任意角的正弦函數(shù)的意義；（4）

掌握任意角的正弦函數(shù)的定義；（5）理解有向線段的概念；（6）

了解正弦函數(shù)圖像的畫法；（7）掌握五點作圖法，并會用此方法

畫出［0,2冗］上的正弦曲線。

過程與方法

初中所學(xué)的正弦函數(shù)，是通過直角三角形中給出定義的；由于我

們已將角推廣到任意角的情況，而且一般都是把角放在平面直角

坐標系中，這樣一來，我們就在直角坐標系中來找直角三角形，

從而引出單位圓；利用單位圓的獨特性，是高中數(shù)學(xué)中的一種重

要方法，在第二節(jié)課的正弦函數(shù)圖像，以及在后面的正弦函數(shù)的

性質(zhì)中都有直接的應(yīng)用；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。

情感態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對正弦函數(shù)的概念有了一個新的認

識；在由銳角的正弦函數(shù)推廣到任意角的正弦函數(shù)的過程中，體

會特殊與一般的關(guān)系，形成一種辯證統(tǒng)一的思想；通過單位圓的

學(xué)習(xí)，建立數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性；培養(yǎng)學(xué)生

分析問題、解決問題的能力。

二、教學(xué)重、難點

重點：1.任意角的正弦函數(shù)定義，以及正弦函數(shù)值的幾何表示。

2.正弦函數(shù)圖像的畫法。

難點：1.正弦函數(shù)值的幾何表示。

2.利用正弦線畫出y=sinx,x€[0,2兀]的圖像。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

在初中，我們知道直角三角形中銳角的對邊比上斜邊就叫著這個

角的正弦，當把銳角放在直角坐標系中時，角的終邊與單位圓交

于一點，正弦函數(shù)對應(yīng)于該點的縱坐標，當是任意角時，通過函

數(shù)定義的形式引出正弦函數(shù)的定義；作正弦函數(shù)y=sinx圖像

時，在正弦函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，通過平移正弦線得出其圖像，再

歸結(jié)為五點作圖法。

教學(xué)用具:投影機、三角板

第一課時§4.1銳角的正弦函數(shù)§4.2任意角的正

弦函數(shù)

一、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

我們學(xué)習(xí)角的概念的推廣和弧度制，就是為了學(xué)習(xí)三角函數(shù)。請

同學(xué)們回憶（1）角的概念的推廣及弧度制、象眼角等概念；（2）

初中所學(xué)的正弦函數(shù)是如何定義的？并想一想它有哪些性質(zhì)？

學(xué)生思考回答以后，教師小結(jié)。(板書課題)

【探究新知】\

、?邊

在初中，我們學(xué)習(xí)了銳角a的正弦函數(shù)值：sirt>j=典，

aCaB

如圖：sinA=c,由于a是直角邊，c是斜邊，所sinA￡(0,1)o

由于我們通常都是將

角放到平面直角坐標系中，我們來看看會發(fā)生什么？

[\\在直角坐標系中，(如圖所示)，設(shè)角a(a￡(0,

2))

的終邊與半經(jīng)為r的圓交于點P(a,b),則角a的正弦值是：

bb

sina=7.根據(jù)相似三角形的知識可知，對于確定的角a,[都

不會隨圓的半經(jīng)的改變而改變。為簡單起見，令r=l(即為單位

圓)，那么sina=b,也就是說，若角a的終邊與單位圓相交于

P,則點P的縱坐標b就是角a的正弦函數(shù)。

直角三角形顯然不能包含所有的角，那么，我們可以仿照銳

角正弦函數(shù)的定義.你認為該如何定義任意角的正弦函數(shù)？

一般地，在直角坐標系中(如上圖)，對任意角鼠，它的終邊與

單位圓交于點P(a,b),我們可以唯一確定點P(a,b)的縱坐

標b,所以P點的縱坐標b是角a的函數(shù)，稱為正弦函數(shù)，記作

y=sina(a€R)o通常我們用x,y分別表示自變量與因變量，

將正弦函數(shù)表示為y=sinx.

正弦函數(shù)值有時也叫正弦值.

717萬

請同學(xué)們畫圖，并利用正弦函數(shù)的定義比較說明：§角與丁

角的終邊與單位圓的交點的縱坐標有什么關(guān)系？它們的正弦值

萬8萬乃5萬2萬

有什么關(guān)系？§角和丁角呢？角和號角呢？-5角和-

14乃

亍角呢？

通過上述問題的討論，容易得到：終邊相同的角的正弦函數(shù)值相

等，即

sin(2kK+oc)=since(k€Z),說明對于任意一個角a,每增

加27T的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值不變。所以，正弦函數(shù)是隨角的

變化而周期性變化的，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k;i(k€Z,kwO)

為正弦函數(shù)的周期。

27T是正弦函數(shù)的正周期中最小的一個，稱為最小正周期。一般

地，對于周期函數(shù)f(x),如果它所有的周期中存在一個最小的

正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

課本P17的思考與交流。

課本P18的練習(xí)。

2

3.若點P(—3,y)是a終邊上一點，且sina=—§,求y值.

4.若角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在

函數(shù)y=-3x(x<0)

的圖像上，則sina=。

二、歸納整理，整體認識

(1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及到的

主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？

三、課后反思

第二課時§4.3正弦函數(shù)丫=51僦的圖像

一、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

三角函數(shù)是一種重要的函數(shù)，從第一節(jié)我們就知道在實際生活

中，有許多地方用到三角函數(shù)。今天我們來學(xué)正弦函數(shù)丫=$皿*

的圖像的做法。在前一節(jié)，我們知道正弦函數(shù)是一個周期函數(shù)，

最小正周期是271,所以，關(guān)鍵就在于畫出［0,2TT］上的正弦函

數(shù)的圖像。a的

請同學(xué)們回憶初中作函數(shù)圖像的方法是怎樣的？

作函數(shù)圖像的三步驟：列表，描點，連線。一

【探究新知】

正弦函數(shù)線MP

下面我們來探討正弦函數(shù)的一種幾何表示.如右圖所示，

角a的終邊與單位圓交于點P(x,y),提出問題

①線段MP的長度可以用什么來表示？

②能用這個長度表示正弦函數(shù)的值嗎？如果不能，你能否設(shè)計

一種方法加以解決？引出有向線段的概念.

有向線段：當a的終邊不在坐標軸上時，可以把MP看作是帶方

向的線段，

y>0時，把MP看作與y軸同向(多媒體優(yōu)勢，利用計算機演示

角a終邊在

、二象限時MP從M到P點的運動過程.讓學(xué)生看清后定位,

運動的方向表明與y軸同向）.

y<0時，把MP看作與y軸反向（演示角a終邊在三、四象限時

MP從M到P點的運動過程.讓學(xué)生看清后定位，運動的方向表

明與y軸反向）.

師生歸納：①MP是帶有方向的線段，這樣的線段叫有向線

段.MP是從M-P,而PM則是從P-M。②不論哪種情況，都有

MP=y.③依正弦定義，有sina=MP=y,我們把MP叫做a的

正弦線.

（投影儀出示反饋練習(xí)）當a為特殊角，即終邊在坐標軸上時，

找出其正弦線。演示運動過程，讓學(xué)生清楚認識到：當a終邊在

x軸上時，正弦線變?yōu)橐粋€點，即sina=0o

2.作圖的步驟

邊作邊講（幾何畫法）y=sinxxe[0,2TI]

作單位圓，把。。十二等分（當然分得越細，圖像越精確）

冗7171

十二等分后得對應(yīng)于0,彳，5,5,...2冗等角，并作出相應(yīng)的正弦

線，

將x軸上從0到2兀一段分成12等份（271?6.28）,若變動比例，

今后圖像將相應(yīng)“變形”

取點，平移正弦線，使起點與軸上的點重合

描圖（連接）得丫=$111*XG[0,2K]

（6）由于終邊相同的三角函數(shù)性質(zhì)知y=sinxXG[2kn,

2（k+l）d（kwZ,kwO）

與函數(shù)y=sinxxc[0,2兀]圖像相同，只是位置不同---每次向

-----------------------------------------------------------------------------------------?

左（右）平移2兀單位長。

可以得到y(tǒng)=sinx在R上的圖像

五點作圖法：

由上圖我們不難發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)y=sinx,xc[0,2捫的圖像上，起

7C

著關(guān)鍵作用的有以下五個關(guān)鍵點：（0,0）（2,1）（71,0）

3乃

2

（,-l）（2TI,0）o描出這五個點后，函數(shù)y=sinx,XG[0,2TC]

的圖像的形狀就基本上確定了。因此，在精確度要求不太高時，

我們常常先找出這五個關(guān)鍵點，然后用光滑曲線將它們連接起

來，就得到這個函數(shù)的簡圖。我們稱這種畫正弦曲線的方法為“五

點法”。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

1.例題講評

例L用“五點法”畫出下列函數(shù)在區(qū)間[0,2兀]上的簡圖。

(1)y=-sinx(2)y=1+sinx

解：(1)列表

7134

X07T27T

2T

y=一

010-10

sinx

描點得y=-sinx的圖像：(略，見教材P22)

2.學(xué)生練習(xí)

教材P22

二、歸納整理，整體認識

(1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及到的

主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？

三、布置作業(yè)

作業(yè)：習(xí)題1—4第1,2題.

四、課后反思

§4.4正弦函數(shù)的性質(zhì)（2課時）

教學(xué)目標：

知識與技能

（1）進一步熟悉單位圓中的正弦線；（2）理解正弦誘導(dǎo)公式的

推導(dǎo)過程；（3）掌握正弦誘導(dǎo)公式的運用；（4）能了解誘導(dǎo)公式

之間的關(guān)系，能相互推導(dǎo)；（5）理解并掌握正弦函數(shù)的定義域、

值域、周期性、最大（?。┲怠握{(diào)性、奇偶性；（6）能熟練運

用正弦函數(shù)的性質(zhì)解題。

過程與方法

通過正弦線表示a,-a,7T-a,7T+a,27T-a,從而體會各

正弦線之間的關(guān)系；或從正弦函數(shù)的圖像中找出a,-a,冗-a,

7T+a,27T-a,讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式；通過正

弦函數(shù)在R上的圖像，讓學(xué)生探索出正弦函數(shù)的性質(zhì)；講解例題，

總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。

情感態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力、探索歸納能力；讓學(xué)生體

驗自身探索成功的喜悅感，培養(yǎng)學(xué)生的自信心；使學(xué)生認識到轉(zhuǎn)

化“矛盾”是解決問題的有效途經(jīng)；培養(yǎng)學(xué)生形成實事求是的科

學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神。

二、教學(xué)重、難點

重點：正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)。

難點：誘導(dǎo)公式的靈活運用，正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

在上一節(jié)課的基礎(chǔ)上，運用單位圓中正弦線或正弦函數(shù)圖像中角

的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生探索出正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式；通過例題和練習(xí)

掌握誘導(dǎo)公式在解題中的作用；在正弦函數(shù)的圖像中，直觀判斷

出正弦函數(shù)的性質(zhì)，并能上升到理性認識；理解掌握正弦函數(shù)的

性質(zhì)；以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和合作探究式學(xué)習(xí)為主。

教學(xué)用具:投影機、三角板

第一課時正弦函數(shù)誘導(dǎo)公式

一、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

在上一節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的正弦函數(shù)定義，以及終

邊相同的角的正弦函數(shù)值也相等，即sin(2k?r+a)=sina(k

￡Z),這一公式體現(xiàn)了求任意角的正弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°?

360°的角的正弦函數(shù)值。如果還能把0。~360。間的角轉(zhuǎn)化為

銳角的正弦函數(shù)，那么任意角的正弦函數(shù)就可以查表求出。這就

是我們這一節(jié)課要解決的問題。

【探究新知】

復(fù)習(xí)：(公式1)sin(36()ok+a)=sina

對于任一0°到360。的角，有四種可能(其中a為不大于90。的非

負角)

當。)

ape[(T,90B為第一象限角

當區(qū)°°，

180°-a0€180°)B為第二象限角

B=<

1800+a當Be180°,270°)B為第三象限角

360°—a當pe270°,360°)B為第四象限角(以下設(shè)a為任意角)

公式2：

設(shè)a的終邊與單位圓交于點P(x,y),則180。+。終邊與單位圓交

于點F(-x,-y),由正弦線可知：sin(180°+a)=-sina

如圖：在單位圓中作出a與-a角的終邊，同樣可得：

sin(-a)=-sina,

公式4：由公式2和公式3可得：

sin(180°-a)=sin[180°+(-a)]=-sin(-a)=sina,

同理可得：sin(180°-a)=sina,

6.公式5:sin(360°-a)=-sina

【鞏固深化，發(fā)展思維】

例題講評

求下列函數(shù)值

7

(1)sin(-1650°);(2)sin(-150°15,);(3)sin(-4n)

解：(1)sin(-1650°)=-sinl650°=-sin(4x360°+210°)

]_

=-sin210°=-sin(180°+30°)=sin30°=2

(2)sin(-150°15')=-sinl50°15,=-sin(180°-

29°45')=-sin29°45,=-0.4962

77171V2

(3)sin(-4n)=sin(-27T+4)=sin4=2兀

sin(2%-a)sin(3%+a)

例2化簡.sin(-萬+a)sin(3萬一a)sin(_(/一乃)

解：(略，見教材P24)

學(xué)生練習(xí)

教材P24練習(xí)1、2、3

二、歸納整理，整體認識

(1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及到的

主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？

三、課后反思

23456

711TCTCTC71

第二課時正弦函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

同學(xué)們，我們在數(shù)學(xué)一中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)，并掌握了討論一個函數(shù)

性質(zhì)的幾個角度，你還記得有哪些嗎？在上一次課中，我們已經(jīng)

學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的y=sinx在R上圖像，下面請同學(xué)們根據(jù)圖像

一起討論一下它具有哪些性質(zhì)？

【探究新知】

讓學(xué)生一邊看投影，一邊仔細觀察正弦曲線的圖像，并思考以下

幾個問題：

正弦函數(shù)的定義域是什么？

正弦函數(shù)的值域是什么？

它的最值情況如何？

它的正負值區(qū)間如何分？

/（x）=0的解集是多少？

師生一起歸納得出：

定義域：y=sinx的定義域為R

值域：引導(dǎo)回憶單位圓中的正弦函數(shù)線，結(jié)論：Isinxl41（有

界性）

再看正弦函數(shù)線（圖象）驗證上述結(jié)論，所以y=sinx的值

域為[-1,1]

7T

3.最值：1。對于y=sinx當且僅當x=2k7i+2,keZ時ymax

=1

當且僅當時x=2kji-2,keZ時ymin=-1

2°當2k兀<x<(2k+l)7i(keZ)時y=sinx>0

當(2k-l)兀<x<2k兀(keZ)時y=sinx<0

4.周期性：(觀察圖象)1。正弦函數(shù)的圖象是有規(guī)律不斷重復(fù)

出現(xiàn)的；

2。規(guī)律是：每隔2兀重復(fù)出現(xiàn)一次(或者說每隔2k%keZ重復(fù)出

現(xiàn))

3。這個規(guī)律由誘導(dǎo)公式sin(2k7i+x)=sinx也可以說明

結(jié)論：y=sinx的最小正周期為2兀

5.奇偶性

sin(-x)=-sinx(x€R)v>y=sinx(x

€R)是奇函數(shù)

713萬

減區(qū)間為[5+2k7T,T+2kn](k€Z),其值從1減至

【鞏固深化，發(fā)展思維】

例題講評

例1.利用五點法畫出函數(shù)y=sinx-l的簡圖，根據(jù)函數(shù)圖像

和解析式討論它的性質(zhì)。

解：(略，見教材P26)

2.課堂練習(xí)

教材P27的練習(xí)1、2、3

二、歸納整理，整體認識

(1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及的主

要數(shù)學(xué)思想方法有哪些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？

三、布置作業(yè)：習(xí)題1—4第3、4、5、6、7題.

四、課后反思

§5余弦函數(shù)（2課時）

教學(xué)目標：

知識與技能

（1）了解任意角的余弦函數(shù)概念；（2）理解余弦函數(shù)的幾何意

義；（3）掌握余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式；（4）能利用五點作圖法作出

余弦函數(shù)在［0,2冗］上的圖像；（5）熟練根據(jù)余弦函數(shù)的圖像推

導(dǎo)出余弦函數(shù)的性質(zhì)；（6）能區(qū)別正、余弦函數(shù)之間的關(guān)系；（7）

掌握利用數(shù)形結(jié)合思想分析問題、解決問題的技能。

過程與方法

類比正弦函數(shù)的概念，引入余弦函數(shù)的概念；在正、余弦函數(shù)定

義的基礎(chǔ)上，將三角函數(shù)定義推廣到更加一般的情況；讓學(xué)生通

過類比，聯(lián)系正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，自主探究出余弦函數(shù)的誘導(dǎo)

公式；能學(xué)以致用，嘗試用五點作圖法作出余弦函數(shù)的圖像，并

能結(jié)合圖像分析得到余弦函數(shù)的性質(zhì)。

情感態(tài)度與價值觀

使同學(xué)們對余弦函數(shù)的概念有更深的體會；會用聯(lián)系的觀點看問

題，建立數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性；培養(yǎng)學(xué)生分

析問題、解決問題的能力；讓學(xué)生體驗自身探索成功的喜悅感，

培養(yǎng)學(xué)生的自信心；使學(xué)生認識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有

效途經(jīng)；培養(yǎng)學(xué)生形成實事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精

神。

二、教學(xué)重、難點

重點：余弦函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)。

難點：余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式運用和性質(zhì)應(yīng)用。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

我們已經(jīng)知道正弦函數(shù)的概念是通過在單位圓中，以函數(shù)定義的

形式給出來的，從而把銳角的正弦函數(shù)推廣到任意角的情況；現(xiàn)

在我們就應(yīng)該與正弦函數(shù)的概念作比較，得出余弦函數(shù)的概念；

同樣地，可以仿照正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式推出余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公

式。用五點作圖的方法作出y=cosx在［0,2兀］上的圖像，并由

圖像直觀得到其性質(zhì)。

教學(xué)用具:投影機、三角板

第一課時余弦函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式

一、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

在初中，我們不但學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)，也學(xué)習(xí)了余弦函數(shù)，sina

鄰邊

=可逅。同樣地，當我們把角放在平面直角坐標系中以后，就可

以得到余弦函數(shù)的定義。

下面請同學(xué)們類比正弦函數(shù)的定義，自主學(xué)習(xí)課本P30—P31.

【探究新知】

1.余弦函數(shù)的定義

在直角坐標系中，設(shè)任意角0C與單位圓交于點P(牛'b),

那么點P的橫坐標a叫做角a余弦函數(shù)，記作：a==co^(a€

R).

通常我們用x,y分別表示自變量與因變量，將函解表示

為y=cosx(x￡R).X

如圖，有向線段0M稱為角a的余弦線;

其實，由相似三角形的知識，我們知道，只要已知角a

的終邊上任意一點P的坐標(a,b),求出I0PI,記為r,則

ba

角a的正弦和余弦分別為：since=r，cosa=廠

在今后的解題中，我們可以直接運用這種方法，作

2.余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式

從右圖不難看出，角a和角2?r+a,2n-oc,(

與單位圓的交點的橫坐標是相同的，所以，它們的余弦函數(shù)值相

等；

角(X和角7T+a,7T-a的終邊與單位圓的交點的橫坐標是相及

數(shù)，

所以，它們的余弦函數(shù)值互為相反數(shù)。

由此歸納出公式：

cos(27T+a)=cosa

cos(-a)=cosa

cos(27i-a)=cosa

COS(7T+oc)=-cosa

cos(IT-oc)=-cosa

兀

請同學(xué)們觀察右圖，角a與角5+a的正弦、余弦函數(shù)值有

什么關(guān)

系？由圖可知，Rt/0MP4Rt/0M'P',點P的橫坐標cosa與

71

點P，的縱坐標sin(2+a)

71

相等；點P的縱坐標sina與點P，的橫坐標COS(5+oc)互為相

反數(shù)。我們可以得到:

71TC

sin(2+a)=cosacos(2+a)=-sina

n

問題與思考：驗證公式sin(2+oc)=cosa

71

cos(2+a)=-sinoc

以上公式統(tǒng)稱為誘導(dǎo)公式，其中a可以是任意角。利用誘導(dǎo)公式,

y

可以將任意角的正、余弦函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為銳角的正、余弦函數(shù)問

題。

【鞏固深化，發(fā)展思維】12：

例題講評K

例1.已知角a的終邊經(jīng)過點P(2,-4)(如圖)，盅角a的余

弦

函數(shù)值。P

解：*.*x=2,y=-4,r=|OP|=2百

xV5

COSa=r=5

例2.如果將例1中點P的坐標改為(2t,-4t)(twO),那么

怎樣求角a的余弦函數(shù)值。

解：(提示：在r=|0P|=2可t|中，分t<0和t>0兩種情況,

見教材P31)

例3.求值：

1U9冗3萬

(1)COS6(2)COS8(3)COS(-4)

(4)cos(-1650°)(5)cos(-150°15')

117TTC716

解：(1)COS6=COS(27T-6)=COS6=2

9萬7171

(2)cos8=cos(7T+8)=-cos8?-0.9239

(3)、(4)、(5)略,見教材P33

cos(2萬-a)cos(3乃+a)

例4化簡.cos(一乃+a)cos(3%-a)cos(一a-%)

解：(略，見教材P33)

學(xué)生練習(xí)

教材P31的練習(xí)1、2、3和P34的練習(xí)1、2、3

二、歸納整理，整體認識

(1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及的主

要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？

三、課后反思

第二課時余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

在上一次課中，我們知道正弦函數(shù)y=sinx的圖像，是通過等分

單位圓、平移正弦線而得到的，在精確度要求不高時，可以采用

五點作圖法得到。那么，對于余弦函數(shù)y=cosx的圖像是不是也

是這樣得到的呢？有沒有更好的方法呢？

【探究新知】

1.余弦函數(shù)y=cosx的圖像

由誘導(dǎo)公式有：

7T

與正弦函數(shù)關(guān)系:y=cosx=cos(-x)=sin[2-(-x)]=

7T

sin(x+2)

結(jié)論：(l)y=cosx,xeR與函數(shù)y=sin(x+2)xeR的圖象

相同

71

(2)將丫=$1僦的圖象向左平移,即得丫=cosx的圖象

(3)也同樣可用五點法作圖：y=cosxxc[0,2兀]的五個點關(guān)

7C3萬

鍵是(0,1)(i,o)(71,-1)(T,0)(271,1)

(4)類似地，由于終邊相同的三角函數(shù)性質(zhì)y=cosx

xe[2k;i,2(k+1)71]keZ,kwO的圖像與y=cosxXG[0,2K]圖

像形狀相同只是位置不同(向左右每次平移27T個單位長度)

----------------------------------------------------------------------------------?

----f兀23456%

4321TCnnnn

兀7171

y

X

2.余弦函數(shù)y=cosx的性質(zhì)

觀察上圖可以得到余弦函數(shù)y=cosx有以下性質(zhì)：

(1)定義域：y=cosx的定義域為R

(2)值域：y=cosx的值域為[-1,1],即有|cosx|《l(有界

性)

(3)最值：1。對于y=cosx當且僅當x=2k?i,keZ時ymax=

1

當且僅當時x=2k?i+IT,keZ時ymin=-1

7171

2°當2k兀-2<x<2k兀+2(keZ)時y=cosx>0

713〃

當2k兀+2<x<2kji+2(kcZ)時y=cosx<