立體幾何序言課教案設(shè)計(jì)

一、充分認(rèn)識(shí)序言課的重要性，是上好立體幾何序言課的前提。

立體幾何序言課以課本中的“引言”為主要教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生對立體幾何這

門功課有一個(gè)粗略的整體性了解，在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容之前有一個(gè)積極的思想準(zhǔn)備。

通過序言課的教學(xué)，學(xué)生明白了立體幾何研究的內(nèi)容及學(xué)習(xí)立體幾何的目的，就

能為以后的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。

然而有的老師對序言課卻不夠重視，把已經(jīng)十分抽象概括的“引言”進(jìn)一步

抽象概括，開課后草草兒句便開始了“平面”的教學(xué)。教師急急匆匆，學(xué)生稀里

糊涂，極易給后繼學(xué)習(xí)帶來消極影響。

由此可見，教師在充分認(rèn)識(shí)序言課重要性的前提下，認(rèn)真組織教學(xué)，努力完

成序言課的教學(xué)任務(wù)，對提高立體兒何課的教學(xué)效益是至關(guān)重要的。

二、排除心理障礙，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，是立體幾何序言課的主要任務(wù)。

部分學(xué)生認(rèn)為立體兒何比平面兒何難學(xué)，存在畏懼心理；多數(shù)學(xué)生對能不能

學(xué)好這門功課信心不足，對怎樣學(xué)習(xí)這門功課心中無數(shù)。這種消極心理狀態(tài)必然

會(huì)給學(xué)習(xí)造成消極影響。因此在序言課教學(xué)中，應(yīng)把排除上述心理障礙，激發(fā)學(xué)

生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣作為首先任務(wù)。

1.盡量引用實(shí)例。

“引言”中指出，“建造廠房、制造機(jī)器、修筑堤壩等，都需要進(jìn)一步研究

空間圖形的問題?！睘榱耸箤W(xué)生真正認(rèn)識(shí)到立體幾何是一門應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)學(xué)科,

我們在序言課上展示學(xué)校教學(xué)樓的建筑圖紙，學(xué)生爭相觀看，興趣盎然，并能辨

認(rèn)出：“這就是我們的教學(xué)樓！”教者由此指出：“沒有立體幾何知識(shí)，這張圖

紙是畫不出來的?！薄巴瑢W(xué)們能從圖紙上看出是我們的教學(xué)樓，這說明大家已具

有一定的空間想象能力，這正是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)。有這樣好的基礎(chǔ)，何愁學(xué)

不好它？”聽到這些鼓勵(lì)，學(xué)生常露出自信的微笑。

2.巧用教具、模型。

要求學(xué)生自制簡單幾何體的模型這樣在序言課上就可以讓學(xué)生觀看前屆學(xué)

生自制的各種模型。那些自制的模型，有紙質(zhì)的，有木質(zhì)的，有用鉛絲做的，也

有用粘土做的，看顏色，五彩繽紛，望形狀，新穎別致。學(xué)生看了這些精美的并

留有制作者姓名的模型后，贊嘆不已，大有“躍躍欲試”之勢。

借助模型還可以幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)平面圖形時(shí)產(chǎn)生的思維定勢的消極影響。

例如，在黑板上畫出圖1,不少學(xué)生乍一看認(rèn)為這是一個(gè)平面圖形，當(dāng)教師

指出這是一個(gè)空間圖形的直觀圖時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為小平行四邊形凹在后面，有的

學(xué)生認(rèn)為小平行四邊形凸在前而，因而引起了激烈的爭論，但很快意見趨于統(tǒng)一:

兩種情況都可能存在。接著教師出示用硬紙板做的模型，學(xué)生觀物思圖，看圖想

物，終于形成了強(qiáng)烈的立體感。然后教師在黑板上畫出圖2和圖3,并用模型示

范，學(xué)生不僅分清了兩種不同的情況，更重要的是感受到了學(xué)習(xí)立體幾何新鮮有

趣，就能變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。

3.加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系。

立幾知識(shí)與學(xué)生已掌握的平面幾何知識(shí)有密切的聯(lián)系。序言課中有目的地加

強(qiáng)這種聯(lián)系有助于消除學(xué)生怕學(xué)、厭學(xué)的心理障礙，增強(qiáng)學(xué)好立體兒何的信心。

當(dāng)教師把模型放上講臺(tái)時(shí)，學(xué)生認(rèn)出模型中的正方體、圓柱體、圓錐體……

教師指出：''這些兒何體在小學(xué)大家就已經(jīng)學(xué)過，現(xiàn)在學(xué)習(xí)立體兒何，就是要進(jìn)

一步研究這些幾何體的性質(zhì)。”這樣學(xué)生就會(huì)感到立體幾何并不陌生。

教師還可以問學(xué)生：“兩條直線相交有兒個(gè)交點(diǎn)？兩個(gè)平面相交有兒條交

線？”用教具演示后學(xué)生很快就能掌握。再問：“幾個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線？幾

個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面？”學(xué)生會(huì)不加思索回答："兩個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線，

兩個(gè)點(diǎn)也可以確定一個(gè)平面?！边@時(shí)教師用兩個(gè)指頭試圖將一塊硬紙板頂住，但

是無論怎樣變化位置總不能成功，引得學(xué)生一陣哄笑，不少學(xué)生也拿出作業(yè)本做

試驗(yàn)。教師抓住這一時(shí)機(jī)告訴學(xué)生：“立體幾何與平面幾何有密切的聯(lián)系，它們

研究的對象雖然不同，但研究的方法和研究的內(nèi)容（性質(zhì)、畫法、計(jì)算和應(yīng)用）

基本相同?！边@就能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)立幾是學(xué)習(xí)平幾的自然延續(xù)。

三、引導(dǎo)學(xué)生探討如何學(xué)好立體幾何是序言課教學(xué)的落腳點(diǎn)。

有些老師常在序言課上板著面孔提出要“認(rèn)真聽講，認(rèn)真做好作業(yè)，課前要

預(yù)習(xí)，課后要復(fù)習(xí)”的要求，這些自學(xué)生跨進(jìn)校門之日起就聽?wèi)T了的老調(diào)，并沒

有多少效果。我們的做法是讓學(xué)生自由討論，各抒己見。因?yàn)橥ㄟ^以上活動(dòng)，學(xué)

生對立體幾何的興趣被點(diǎn)燃以后，便自然想到:“我們怎樣才能學(xué)好立幾知識(shí)呢？

經(jīng)過討論以后，教師再歸納得出學(xué)好立兒的主要方法:①加強(qiáng)與平兒知識(shí)的聯(lián)系，

注意用對比的方法區(qū)別異同，掌握實(shí)質(zhì)；②注意對實(shí)物、教具和模型的觀察和分

析，培養(yǎng)空間想象能力；③自己動(dòng)手制作模型，以加深對立兒知識(shí)的理解和應(yīng)用。

為了學(xué)好第一章，我們要求學(xué)生準(zhǔn)備好硬紙板三塊（代平面用），竹針或鉛絲四

根（代直線用），在學(xué)習(xí)中隨時(shí)進(jìn)行模型演示，以逐步建立起空間觀念。

平面

立體幾何課程是初等幾何教育的內(nèi)容之一，是在初中平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上開設(shè)的，

以空間圖形的性質(zhì)、畫法、計(jì)算以及它們的應(yīng)用為研究對象，以演繹法為研究方法.通過立

體幾何的教學(xué)，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平從平面圖形延拓至空間圖形，完成由二維空間向三維空間

的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力.

平面的概念和平面的性質(zhì)是立體幾何全部理論的基礎(chǔ).平面，是現(xiàn)實(shí)世界存在著的客

觀事物形態(tài)的數(shù)學(xué)抽象，在立體幾何中是只描述而不定義的原始概念，但平面是把三維空間

圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形的主要媒介，在立體幾何問題平面化的過程中具有重要的橋梁作

用.

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

(-)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1.“平面”是空間圖形的基本元素，很多空間圖形的面都是平面圖形，平

面圖形及其性質(zhì)是初中平面幾何的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，因此，要建立起''空間問題平

面化”的觀點(diǎn).

2.雖然日常生活中的平面物體有一定的局限，但作為立體兒何中的“平面”

無大小之分，是無限延展的.

3.平面可用圖形表示，也可用符號(hào)表示，應(yīng)理清與其它圖形表示法的聯(lián)系

與區(qū)別.

(-)能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.通過“平面”概念的教學(xué)，初步培養(yǎng)空間想象能力，如平面的無限延展

性.

2.由敘述語言、圖形語言和符號(hào)語言的互譯，培養(yǎng)語言轉(zhuǎn)換能力.

(三)德育滲透點(diǎn)

通過通俗意義上的平面到數(shù)學(xué)意義上的平面的學(xué)習(xí)，了解具體與抽象，特殊與一般的

辯證關(guān)系，由點(diǎn)、直線、平面間內(nèi)在的聯(lián)系逐漸形成“事物總是運(yùn)動(dòng)變化”的辯證觀點(diǎn).

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

I.教學(xué)重點(diǎn)

(1)從客觀存在的平面物體抽象出“平面”概念.

（2）掌握點(diǎn)、直線、平面間的相互關(guān)系，并會(huì)用文字、圖形、符號(hào)語言正

確表示.

（3）理解平面的無限延展性.

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）理解平面的無限延展性.

（2）集合概念的符號(hào)語言的正確使用.

3.解決辦法

（1）借助實(shí)物操作，抽象出“平面”概念.

（2）運(yùn)用正遷移規(guī)律，將直線的無限延伸性類比于平面的無限延展性.

三、課時(shí)安排

1課時(shí).

四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)

準(zhǔn)備好紙板三塊，紙盒一個(gè)，小竹簽四根.紙板作為平面的模型，紙盒用于觀察平面

的位置，以便同畫出的圖形比較，小竹簽用于表示直線.

五、教學(xué)步驟

（-）明確目標(biāo)

1.能夠從日常生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”.

2.理解平面的無限延展性.

3.正確地用圖形和符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面以及它們之間的關(guān)系.

（二）整體感知

“立體兒何”作為一門學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)的學(xué)科，其內(nèi)容對學(xué)生來說基本上是完全陌生

的，應(yīng)以“講授法’的主，引導(dǎo)學(xué)生觀察和想象，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,

初步培養(yǎng)空間想象力.

本課是“立體幾何”的起始課，應(yīng)先把這一學(xué)科的內(nèi)容作一大概介紹，包括課本的知

識(shí)結(jié)構(gòu)，“立體幾何”的研究對象，研究方法，學(xué)習(xí)立體幾何的方法和作用等.而后引入“平

面”概念，以類比的方式，聯(lián)系直線的無限延伸性去理解平面的無限延展性，突破教學(xué)難

點(diǎn).在進(jìn)行“平面的畫法”教學(xué)時(shí)，不僅要會(huì)畫水平放置的平面，還應(yīng)會(huì)畫直立的平面和相

交平面（包括有部分被遮住的相交平面）.在用字母表示點(diǎn)、直線、平面三者間的關(guān)系時(shí),

應(yīng)指明是借用了集合語句，并用列表法將這些關(guān)系歸類，以便作為初學(xué)者的學(xué)生便于比較、

記憶和運(yùn)用.

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

A.引言

師：以往我們所學(xué)的幾何是平面幾何，研究的是平面圖形的性質(zhì)、畫法、計(jì)算、應(yīng)用.今

天我們開始學(xué)習(xí)一門新的學(xué)科——立體幾何.立體幾何的研究對象是空間圖形的性質(zhì)、畫法、

計(jì)算及應(yīng)用.它使得我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容從二維平面上升到三維空間，因此，需要我們在學(xué)習(xí)過

程中通過嚴(yán)密的邏輯推理把三維空間圖形問題轉(zhuǎn)化為二維平面圖形問題，這也是學(xué)好立體幾

何的一個(gè)重要方法.

《立體幾何》一書共分兩章：第一章“直線和平面”是立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和理論基

礎(chǔ)；第二章“多面體和旋轉(zhuǎn)體”是理論知識(shí)的運(yùn)用，并被廣泛地應(yīng)用于日常生產(chǎn)生活之中.

B.平面

1.平面的特點(diǎn)

師：現(xiàn)在我們來看手中的紙盒，它是由幾個(gè)面構(gòu)成的？

生:6個(gè)面.

師：對，這六個(gè)面給我們以平面的形象，還有哪些面留給我們平面的形象呢？

生：桌面、黑板、地面、海平面等.

師：對，這些物體是生活中所說的平面，但還不能算是數(shù)學(xué)意義上的平面，因?yàn)樗鼈?/p>

是有限的面.再如海平面上有波濤，當(dāng)我們想象它是一平如鏡時(shí)，它有什么特點(diǎn)呢？

生：很大、很平.

師：對，平面是?個(gè)不加定義的概念，具有“平”、“無限延展”、“無厚薄”的特

點(diǎn).一個(gè)平面可以把空間分成兩部分，這正如直線是無限延伸的，一條直線可以把平面分成

兩部分，我們所畫的只是一條直線的部分.因此，剛才所說的物體如果是平的，也只是它

所在平面的?部分.

2.平面的畫法

師：同學(xué)們從小就會(huì)畫平面，是否記得用什么圖形來表示？

生：平行四邊形.

師：對，通常畫平行四邊形來表示平面，但有時(shí)不，如四面體（圖1T）,又如三個(gè)

平面相交且交于一點(diǎn)（圖1—2）.

注意，在畫平行四邊形表示平面時(shí)，所表示的平面如果是水平平面，通常把銳角畫成

45°,橫邊畫成鄰邊的兩倍（圖1-3）；如果是非水平平面，只要畫成平行四邊

形，如直立平面（圖1—4）；如果兒個(gè)平面畫在一起，當(dāng)一個(gè)平面有一部分被

另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮部分的線段畫成虛線或不畫（圖『5）.請看課本

中有關(guān)內(nèi)容.

3.平面的表示法

師：平面的表示法有如下幾種：（1）在一個(gè)希臘字母a、0、Y的前面加“平

面”二字，如平面a、平面8、平面Y等，且字母通常寫在平行四邊形的一個(gè)銳

角內(nèi)（圖1—3、圖1—5）；（2）用平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面ABCD

（圖1-4）；（3）用表示平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面AC

（圖1-4）.

4.點(diǎn)、直線、平面之間的基本關(guān)系

師：空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面.從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面,

從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還

可借用集合中的符號(hào)語言來表示.規(guī)定直線用兩個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)小寫的英文字母表

示，點(diǎn)用一個(gè)大寫的英文字母表示，而平面則用一個(gè)小寫的希臘字母表示（以下各種情形要

用小竹簽和紙板示范）.參圖1—6.

師：可見，集合中“e”的符號(hào)只能用于點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面的關(guān)

系，“u”和"n””符號(hào)膜用于亶線與直線.直線與平面.￥?

與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號(hào)，但在讀法上仍用幾何語言.

【練習(xí)】

［練習(xí)一］1.能不能說一個(gè)平面長4米，寬5米？為什么？能不能說矩形長3

米，寬2米？“這個(gè)矩形是平面的一部分”的說法是否正確？

2.觀察圖1一7、圖1一8的甲、乙兩個(gè)圖形，用模型來說明它們的位置有

什么不同，并用字母表示各平面.

}a

點(diǎn)A在直線讓（或AWa

直線避過點(diǎn)A）

點(diǎn)A在直線的卜（或?A

A任a

直線不經(jīng)過點(diǎn)元

aA）a素

與

集

合

>間

的

關(guān)

點(diǎn)A在平面a內(nèi)（或系

平面盤過點(diǎn)A）/“/

?A

點(diǎn)A在平面a外

（或平面a經(jīng)過直A蕓a

線a）

直線a在平面a內(nèi)

（或平面?經(jīng)過直&ua

線a）

------a

直線a在平面a外（

或直線a與平面aada

不相交）^7

兩個(gè)

集合

直線a與平面a相交間的

二

于點(diǎn)AaAaA>關(guān)系

_

_

_

直線a與直線b相交

于點(diǎn)AaOb=A

平面a與平面p相

交于直線a

aAP=a

附注：（1）講評圖1—7時(shí)，用書作示意，對直線的可見部分與不可見部分

加以區(qū)別.

圖1-7圖1-8

（2）講評圖1―8時(shí)，出示模型，對可見棱與不可見棱加以區(qū)別.

［練習(xí)二］試用集合符號(hào)表示：

（1）點(diǎn)A在直線1上，點(diǎn)B不在直線上；

（2）點(diǎn)A在平面a內(nèi)，而點(diǎn)B不在平面a內(nèi).

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了立體幾何是在學(xué)習(xí)了平面幾何的基礎(chǔ)上對幾何的繼

續(xù)研究，研究的對象是空間圖形，主要研究空間圖形的畫法、性質(zhì)、計(jì)算以及應(yīng)用.今天首

先學(xué)習(xí)了平面的畫法和表示法，以及點(diǎn)、直線、平面間基本關(guān)系的文字語言，圖形語言和符

號(hào)語言之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換，為下一節(jié)課學(xué)習(xí)平面的基本性質(zhì)作準(zhǔn)備.

六、布置作業(yè)

1.閱讀立體幾何課本有關(guān)“平面”的內(nèi)容.

2.試用集合符號(hào)表示下列各語句，并畫出圖形：（1）點(diǎn)A在平面a內(nèi)，但

不在平面B內(nèi)；（2）直線a經(jīng)過不屬于平面a的點(diǎn)A,且a不在平面a內(nèi)；（3）

平面a與平面6相交于直線1,且1經(jīng)過點(diǎn)P；（4）直線1經(jīng)過平面a外一點(diǎn)P,

且與平面a相交于點(diǎn)M.

7.根得以下集合語言，分別徑出留影.（I）AWa.C€

AB.（2）A€a.acaMAtfai（3）aHb=P,edQ,bua.

4.預(yù)習(xí)“平面的基本性質(zhì)”.

七、板書設(shè)計(jì)

01-3、3914圖1-5C1)(2)(3)

].平8ff點(diǎn)(4)(5)(6)

2.平■的?法里（示；去fiat-Kffll-2(7)(S)(9)

3.圣宜晚刊這阿兩事關(guān)箓SU

平面的基本性質(zhì)（一）

平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，也是以后演繹推理的邏輯依據(jù).平

面的基本性質(zhì)是通過三條公理及其重要推論來刻劃的，通過這些內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生初步了

解從具體的直觀形象到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述的方法，使學(xué)生的思維從直覺思維上升至分析思維，

使學(xué)生的觀念逐步從平面轉(zhuǎn)向空間.

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（-）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

平面的基本性質(zhì)是通過三個(gè)與平面的特征有關(guān)的公理來規(guī)定的.

1.公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的''直”來刻劃平面的

“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直

線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.

2.公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方

法.

3.公理3及其三個(gè)推論是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定

平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體兒何的問題得

以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部

分問題的主要的思想方法.

4.“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯

一，''只有一個(gè)"說明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在,

“有且只有一個(gè)"既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學(xué)語言

的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)"是同義

詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面

來論證.

5.公理3的三個(gè)推論是以公理3為主要的推理論證的依據(jù)，是命題間邏輯

關(guān)系的體現(xiàn)，為使命題的敘述和論證簡明、準(zhǔn)確，應(yīng)將其證明過程用數(shù)學(xué)的符號(hào)

語言表述.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.通過由模型示范到三條公理的文字?jǐn)⑹雠囵B(yǎng)觀察能力與空間想象能力.

2.通過由公理3導(dǎo)出其三個(gè)推論的思考與論證培養(yǎng)邏輯推理能力.

3.將三條定理及三個(gè)推論用符號(hào)語言表述，提高幾何語言水平.

（三）德育滲透點(diǎn)

借助模型和實(shí)物來說明三個(gè)公理，進(jìn)行“數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐”的唯物主義觀念的教育，

通過三條公理及公理3的三個(gè)推論的學(xué)習(xí)，逐步滲透事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的觀

點(diǎn)，更由于對三個(gè)推論的證明培養(yǎng)言必有據(jù)，一絲不茍的學(xué)習(xí)品質(zhì)和公理法思想.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法

I.教學(xué)重點(diǎn)

（1）體現(xiàn)平面基本性質(zhì)的三條公理及其作用.

（3）兩條公理及公理3的三個(gè)推論中的“有且只有一個(gè)”的含義.

（3）用圖形語言和符號(hào)語言表述三條公理及公理3的三個(gè)推論.

（4）理解用反證法和同一法證明命題的思路，并會(huì)證一些簡單問題.

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）對“有且只有一個(gè)"語句的理解.

（2）對公理3的三個(gè)推論的存在性與唯一性的證明及書寫格式.

（3）確定兩相交平面的交線.

3.解決辦法

（1）從實(shí)物演示中引導(dǎo)學(xué)生觀察和實(shí)驗(yàn)，闡明公理的條件和結(jié)論間的直觀

形象，加深對“有且只有一個(gè)”語句的理解.

（2）通過系列設(shè)問，幫助學(xué)生漸次展開思維和想象，理解公理的實(shí)質(zhì)和作

用.

三、課時(shí)安排

2課時(shí).

四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)

圖1-9

準(zhǔn)備好兩塊紙板，一塊薄平的泡沫板，四根長15cm左右的小竹針，其中三根一樣

長，一根稍短.針對三條公理設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)，對公理1,可作如下示范：把直

尺的兩端緊按在玻璃黑板上，完全密接；對公理2,可用兩塊硬紙板進(jìn)行演示（如

圖1—9）；對公理3,使用圖1—10所示的模型進(jìn)行演示.

五、教學(xué)步驟

圖1-10

（-）明確目標(biāo)

（1）理解井熟記平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論.

（2）掌握這三個(gè)公理和三個(gè)推論的文字語言、圖形語言、符號(hào)語言間的互

譯.

（3）理解“有且只有一個(gè)”的含義，在此基礎(chǔ)上，以公理3為主要依據(jù)，

推證其三個(gè)推論.

（4）能夠用模型來說明有關(guān)平面劃分空間的問題.

（5）理解并掌握證明命題的常用方法——反證法和同一法.

（-）整體感知

本課以平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論為主要內(nèi)容，既有學(xué)生熟悉

的事實(shí)，又有學(xué)生初次接觸的證明，因此以“設(shè)問——實(shí)驗(yàn)——?dú)w納”法和講解

法相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué).首先，對于平面基本性質(zhì)的三條公理，因?yàn)槭恰肮怼?

無需證明，教學(xué)中以系列設(shè)問結(jié)合模型示范引導(dǎo)學(xué)生共同思考、觀察和實(shí)驗(yàn)，從

而歸納出三條公理并加以驗(yàn)證.其中公理1應(yīng)以直線的“直”和“無限延伸”來

刻劃平面的“平”和“無限延展”；公理2要抓住平面在空間的無限延展特征來

講；公理3應(yīng)突出已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置，強(qiáng)調(diào)“三個(gè)點(diǎn)”且“不在同一直線上”.通

過三條公理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念，加深對“有且只有一個(gè)”語

句的理解.對于公理3的三個(gè)推論的證明，學(xué)生是初次接觸“存在性”和“唯一

性”的證明，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以公理3為主要的推理依據(jù)進(jìn)行分析，逐漸擺脫對實(shí)物

模型的依賴，培養(yǎng)推理論證能力，證明過程不僅要進(jìn)行口頭表述，而且教師應(yīng)進(jìn)

行板書，使學(xué)生熟悉證明的書寫格式和符號(hào).最后，無論定理還是推論，都要將

文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號(hào)語言，并且做到既不遺漏又不重復(fù)且忠于原意.

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與完成過程

A.公理

師：立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個(gè)公理體系.人們經(jīng)過長期的觀察和實(shí)踐，把平

面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理.請同學(xué)們思考下列問題（用幻燈顯示）.

問題1:直線1上有一個(gè)點(diǎn)P在平面a內(nèi)，直線1是否全部落在平面a內(nèi)？

問題2：直線1上有兩個(gè)點(diǎn)P、Q在平面a內(nèi)，直線1是否全部落在平面a內(nèi)？

（用竹針穿過紙板演示問題1,用直尺緊貼著玻璃黑板演示問題2,學(xué)生思考回

答后教師歸納.）

這就是公理1:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所

有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).這里的條件是什么？結(jié)論是什么？

生：條件是直線（a）上有兩點(diǎn)（A、B）在平面（a）內(nèi)，結(jié)論是：直線（a）

在平面（a）內(nèi).

師：把條件表示為ACa,8￡13且人6（1,BGa,把結(jié)論表示

力auG.所以結(jié)論也可以說平面。包直線品用圖崢示為（陰1-

圖1-11

這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面，如泥瓦

工用直的木條刮平地面上的水泥漿.

在這里，我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍

呢？

生：不是，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的.

師：對，根據(jù)公理1,直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無限延伸的，如

果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具

有無限延展的特征.

現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個(gè)現(xiàn)象（演示圖1一9一（1）給學(xué)生看）.問：

兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？

生甲：只有一個(gè)公共點(diǎn).

生乙：因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn).

師：生乙答得對，正因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).那

么這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？（教師隨手一壓，一塊紙板隨即插入另一塊紙板上事先做

好的縫隙里）.可見，這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上.這說明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)

的集合，這就是公理2,其條件和結(jié)論分別是什么？

生：條件是兩平面（a、B）有一公共點(diǎn)（A）,結(jié)論

是：它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的直線.

師：條件表示為Aea,AWB,結(jié)論表示為：aD3=a,AEa,圖形表示為

圖1一9一（2）或圖1一12.

公理2是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定相交平面的交線的方法.

卜面請同學(xué)們思考下列問題（用幻燈顯示）：

問題1：經(jīng)過空間一個(gè)已知點(diǎn)A可能有兒個(gè)平面？

問題2：經(jīng)過空間兩個(gè)已知點(diǎn)A、B可能有幾個(gè)平面？

問題3：經(jīng)過空間三個(gè)已知點(diǎn)A、B、C可能有幾個(gè)平面？

（教師演示圖1一10給學(xué)生看，學(xué)生思考后回答，教師歸納）.這說明，經(jīng)

過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，即公理3,其條件、結(jié)論分別是

什么？

生：條件是：不在同一直線上的三點(diǎn)（A、B、C）,結(jié)論是：過這三點(diǎn)（A、B、C）

有且只有一個(gè)平面（a）.

即，條件我示為Cf直線AB,結(jié)論表示為，存在唯一的平修，便

ASa,B￡a,CEa,圖形表示為圖1-13,公理3是確定平面位置的依

據(jù)之一'.

圖1-13

以上三個(gè)公理是平面的基本性質(zhì).其中公理2和公理3中的“有且只有一個(gè)”有

兩層含義，在數(shù)學(xué)中，“有一個(gè)"是說明‘'存在"、但不唯一；“只有一個(gè)”是

說明“唯一”，但不保證圖形存在.也就是說，如果有頂多只有一個(gè).因此，在

證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語句的命題時(shí)，要證明兩個(gè)方面——存在性和唯一性.

B.推論

師：確定一個(gè)平面的依據(jù)，除公理3外，還有它的三個(gè)推論.

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.說出推論

1的條件和結(jié)論.

生：條件是：-條直線和直線外一點(diǎn)，結(jié)論是：經(jīng)過這條直線和這一點(diǎn)有且只有一個(gè)

平面.

師（板書）,已加直線退AWa.

求證：經(jīng)過a和A有且只有一個(gè)平面.

證明：“存在性”即存在過A、a的平面，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C.

圖1-14

*.'A^a>a.C6a.

:.A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上.

.?.過A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面a（公理3）.

/.Bea,CGa.

AacQ.

即過直線a和點(diǎn)A有一個(gè)平面a.

“唯一性”，假設(shè)過直線a和點(diǎn)A還有一個(gè)平面B.

*/aCPfa,C€a,

.?.BeB,ceP.

過不共線三點(diǎn)A、B、C有兩個(gè)平面a、B,這與公理3矛盾.

假設(shè)不成立，即過直線a和點(diǎn)A不可能還有另一個(gè)平面B,而只能有一個(gè)平

面a.

這里證明“唯一性”時(shí)用了反證法.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

其條件、結(jié)論分別是什么？

生：條件是：兩條直線相交，結(jié)論是：經(jīng)過這兩條直線有且只有一個(gè)平面.

師（板書）：已知：直線an直線b=A.

求證：經(jīng)過a、b有且只有一個(gè)平面.

證明：“存在性”.

在a、b上分別取不同于點(diǎn)A的點(diǎn)B、C,得不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C,

則過A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面a（公理3）.

*.*Aa,BEa,A￡a,B￡a,

/.ABcalpaaa.

同理buQ.

...平面a是經(jīng)過相交直線a、b的一個(gè)平面.

“唯一性”.

設(shè)過直線a和b還有另一個(gè)平面B,則A、B、C三點(diǎn)也一定都在平面B內(nèi).

二過不共線三點(diǎn)A、B、C就有兩個(gè)平面a和B.

平面a與平面p重合.

過直線a、b的平面只有一個(gè).

這里證明唯一性時(shí)，用的是“同一法”.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.（證明作為思考題）

C.練習(xí)

I.下面是一些命題的敘述語（A、B表示點(diǎn)，a表示直線，a、。表示平面）

A.VAGa,BWa,AABEa.

B.VaGa,aGB,aAB=a.

C.VAJEa.aca,.'.ACa.

D.au。.

其中命題和敘述方法都正確的

是.[]

2.下列推斷中，錯(cuò)誤的是

[

A.A￡I,A￡a,I,B€a=>ica

B.他生A€P,B€a,B€D=ane=AB

C.lea,A￡inA隼a

D.A、B、CGa,A、B、C^B,且A、B、C不共

線Oa與。重合.

3.一個(gè)平面把空間分成一部分，兩個(gè)平面把空間最多分成一部分，三

個(gè)平面把空間最多分成一部分.

4.確定經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的平面與已知平面a、B的交線.（圖1—16）

四、總結(jié)、擴(kuò)展

本課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，有三條公理及公理3的三推論.其中公理

1用于判定直線是否在平面內(nèi)，公理2用于判定兩平面相交，公理3及三個(gè)推論

是確定平面的依據(jù).“確定一個(gè)平面”與“有且只有一個(gè)平面”是同義詞.“有”

即“存在”，“只有一個(gè)”即“唯一”.所以證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語句的

命題時(shí)，要證兩方面——存在性和唯一性.證明的方法是反證法和同一法.

圖1-17

五、布置作業(yè)

1.復(fù)習(xí)課本有關(guān)內(nèi)容并預(yù)習(xí)課本例題.

2.課本習(xí)題（略）.

3.確定經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的平面與已知平面a、B、丫的交線.

4.思考題：（1）三個(gè)平面把空間可能分成兒部分？（2）如何證明推論3?

六、答案

練習(xí)：1.D,2.C,3.圖1一18.

作業(yè)：3.圖1-19.

圖1-18

七、板書設(shè)計(jì)

平面的基本性質(zhì)

推論1推論2推論3

符號(hào)語言圖形作用

公理1:EI日

公理2：

公理3：

平面的基本性質(zhì)（二）

平面的基本性質(zhì)是立體幾何中演繹推理的邏輯依據(jù).以平面的基本性質(zhì)證明諸點(diǎn)共線、

諸線共點(diǎn)、諸點(diǎn)共面是立體幾何中最基礎(chǔ)的問題，既加深了對平面基本性質(zhì)的理解，又是今

后解決較復(fù)雜立體幾何問題的基礎(chǔ).

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（-）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

掌握利用平面的基本性質(zhì)證明諸點(diǎn)共面、諸線共面、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題的一般

方法.

1.證明若干點(diǎn)或直線共面通常有兩種思路

（1）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合，如例1之①；

（2）先由部分元素確定一個(gè)平面，再證明其余元素在這平面內(nèi)，如例1之

②.

2.證明三點(diǎn)共線，通常先確定經(jīng)過兩點(diǎn)的直線是某兩個(gè)平面的交線，再證

明第三點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即該點(diǎn)分別在這兩個(gè)平面內(nèi)，如例2.

3.證明三線共點(diǎn)通常先證其中的兩條直線相交于一點(diǎn)，然后再證第三條直

線經(jīng)過這一點(diǎn)，如練習(xí).

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過嚴(yán)格的推理論證，培養(yǎng)邏輯思維能力，發(fā)展空間想象能力.

（三）德育滲透點(diǎn)

通過對解題方法和規(guī)律的概括，了解個(gè)性與共性.特殊與一般間的關(guān)系，培養(yǎng)辯證唯

物主義觀點(diǎn)，又從有理有據(jù)的論證過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng).

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑問及解決辦法

1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）證明點(diǎn)或線共面，三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)問題.

（2）證明過程的書寫格式與規(guī)則.

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）畫出符合題意的圖形.

（2）選擇恰當(dāng)?shù)墓砘蛲普撟鳛檎摀?jù).

3.解決辦法

（1）教師完整板書有代表性的題目的證明過程，規(guī)范學(xué)生的證明格式.

（2）利用實(shí)物，擺放成符合題意的位置.

三、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)

動(dòng)手畫圖并證明.

四、教學(xué)步驟

（-）明確目標(biāo)

1.學(xué)會(huì)審題，根據(jù)題意畫出圖形，并寫“已知、求證”.

2.論據(jù)正確，論證嚴(yán)謹(jǐn)，書寫規(guī)范.

3.掌握基本方法：反證法和同一法，學(xué)習(xí)分類討論.

（二）整體感知

立體幾何教學(xué)中，對學(xué)生進(jìn)行推理論證訓(xùn)練是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的有效手段.首

先應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，包括根據(jù)題意畫出圖形，并寫出已知、求證.其次，推理的依據(jù)是

平面的基本性質(zhì)，要引導(dǎo)學(xué)生確定平面.由于學(xué)生對立體幾何中的推理頗不熟練，因此宜采

用以啟發(fā)為主，邊講邊練的教學(xué)方式.教師在講解時(shí)，應(yīng)充分展開思維過程，培養(yǎng)學(xué)生分析

空間問題的能力，在板書時(shí)，應(yīng)復(fù)誦公理或推論的內(nèi)容，加深對平面基本性質(zhì)的理解.

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

A.復(fù)習(xí)與講評

師：我們已學(xué)習(xí)了平面的基本性質(zhì)，那么具備哪些條件時(shí)，直線在平面內(nèi)？

（生回答公理1,教師板畫圖1-20示意.）

師：具備哪些條件可以確定一個(gè)平面？

（生4人回答，教師板畫圖1-21示意.）

師：上--節(jié)課后布置思考證明推論3,現(xiàn)在請同學(xué)們共同討論這個(gè)證明過程.

圖1-22

已知：直線a〃b.

求證：經(jīng)過a、b有且只有一個(gè)平面.

證明：“存在性”.

.?.a、b在同一平面a內(nèi)（平行線的定義）.“唯一性”——在直線a上作

一點(diǎn)A.

假設(shè)過a和b還有一個(gè)平面。，則AGB.

那么過b和b外一點(diǎn)A有兩個(gè)平面a和B.

這與推論1矛盾.

注：證唯一性，用了“反證法”.

B.例題與練習(xí)

師：先看怎樣證幾條線共面.

例1求證：兩兩相交而不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).分析：四條

直線兩兩相交且不共點(diǎn)，可能有兩種：一是有三條直線共點(diǎn)；二是沒有三條直線

共點(diǎn)，故而證明要分兩種情況.

(1)已知：dAa=P,dDb=Q.

dClc=R,a、b、c相交于點(diǎn)0.

求證：a、b、c、d共面.

證明：?.,dCla=P,

???過d、a確定一個(gè)平面a(推論2).

同理過d、b和d、c各確定一個(gè)平面B、Y.

VOGa,OGb,OEc,

AOGa,0CB,0GY.

.??平面a、0、丫都經(jīng)過直線d和d外一點(diǎn)0.

二a、B、Y重合.

；.a、b、c、d共面.

注：本題的方法是“同一法”.

(2)已知：dCla=P,dCb=Q,dCc=R,a

nb=M,bAc=N,aAc=S,且無三線共點(diǎn).

求證：a、b、c、d共面

證明：：dCa=P,

；.d和a確定一個(gè)平面a(推論2).

VaAb=M,dCb=Q,

/.Mea,Qea.

??.MQuQSPbua.

同理Cua.

；.a、b、c、d四線共面.

注：①讓學(xué)生從實(shí)物擺放中得到四條直線的兩種位置關(guān)系.

②分類討論時(shí)，強(qiáng)調(diào)要注意既不要重復(fù)，又不要遺漏.

③結(jié)合本例，說明證諸線共面的常用方法.

例2如圖1—25,已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、

CD上的點(diǎn)，且EF交GH于P.

求證：P在直線BD上.

分析：易證BD是兩平面交線，要證P在兩平面交線上，必須先證P是兩平面

公共點(diǎn).

已知：EFAGH=P,EdAB、FGAD,GeBC,HGCD,

求證：B、D、P三點(diǎn)共線.

證明：VABnBD=B,

；.AB和BD確定平面ABD（推論2）.

VAGAB,DGBD,

，ADu平BIABD（綱I）.

VEeAB,FSAD,

.?.EFC￥HABD.

.?.EFAGH=P,

；.PG平面ABD.

同理，Pe平面BCD.

VBDCYBABD.BDu平面BCD,

平面ABDA平面BCD=BD.

.?.PWBD即B、D、P三點(diǎn)共線.

注：結(jié)合本例，說明證三點(diǎn)共線的常規(guī)思路.

練習(xí)：兩個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，若其中兩條相交于一點(diǎn)，證明第三條交線也

過這一點(diǎn).

分析：雖說是證三線共點(diǎn)問題，但與例2有異曲同工之處，都是要證點(diǎn)P是兩平

面的公共點(diǎn).

已知:如圖1-26,aAB=a,BAy=b,any=c,bClc=p.

求證:pCa.

證明:VbDc=p,

pGb.

3nY=b,

/.be。.

ApeB.

同理，pda.

又,:anB=a,

.".pGa.

師：以上例、習(xí)題分別證明了四線共面.三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)問題，這只是證明這類

問題中的個(gè)例，根據(jù)不同的條件有不同的分析問題和解決問題的過程，但也具有一般的思路

和方法.除了例1、例2兩類問題的常用方法外，本練習(xí)是證三線共點(diǎn)問題，也有

常用證法（將知識(shí)教學(xué)點(diǎn)中所列三條用幻燈顯示）.

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

本課以練習(xí)為主，學(xué)習(xí)了線共面、點(diǎn)共線，線共點(diǎn)的一般證明方法和分類討論的思想.證

明依據(jù)是平面的基本性質(zhì)，數(shù)學(xué)方法有反證法和同一法,這也是這一單元的主要證明方法.在

證明的書寫中，要求推論有據(jù)，書寫規(guī)范.

五、布置作業(yè)

1.課本習(xí)題（略）.

2.求證：兩兩相交的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi).

3.已知：AABC在平面a外，三角形三邊AB、AC、BC所在直線分別交a于

M、N、R,求證：M、N、R三點(diǎn)共線.

4.如圖1-27,在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是接AA1、CC1

的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)Dl、El、Fl、B共面.

圖1-27

（提示：證明空間若干個(gè)點(diǎn)共面，通常先由其中三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證明其它的點(diǎn)

也在這個(gè)平面內(nèi).本題先連結(jié)D1E并延長交DA延長線于G,連結(jié)D1F并延長交DC延

長線于H,可證GH是Dl、E、F三點(diǎn)確定的平面和平面AC的交線，然后再用平

面兒何知識(shí)證點(diǎn)B在GH上.）

六、板書設(shè)計(jì)

能S3及其三EiM班RI(lM7

XQCQl-21)(Hlc2)

?3J

sm：

平行直線

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

(-)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1.公理4,即平行公理.

2.等角定理及推論.

(-)能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.利用聯(lián)想的方法，掌握并應(yīng)用由平面內(nèi)引伸到空間中的平行公理.

2.充分利用構(gòu)造的方法證明等角定理，為下一節(jié)兩條異面直線所成的角的

定義提供了可能性與唯一性.

3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在平面幾何中成立的結(jié)論或定理等，

在用于非平面圖形時(shí)，須先證明.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1.教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生掌握平行公理及其應(yīng)用.

2.教學(xué)難點(diǎn)：等角定理證明的掌握及其應(yīng)用.

3.教學(xué)疑點(diǎn)：正確理解等角定理中命題的條件：兩個(gè)角的兩邊分別平行且

這兩個(gè)角的方向相同.

三、課時(shí)安排

1課時(shí).

四、教與學(xué)的過程設(shè)計(jì)

(-)復(fù)習(xí)兩條直線的位置關(guān)系(幻燈顯示)

師：空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種？

生：三種：相交、平行、異面.異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.相

交直線和平行直線也稱為共面直線.

師：異面直線的畫法常用的有哪幾種？

生：三種.如圖1—38,a與b都是異面直線.

師：如何判定兩條直線是異面直線？

生：（1）間接證法：根據(jù)定義，一般用反證法.

圖1-38

（2）直接證法：根據(jù)例題結(jié)論：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的

直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.B隹a.

ACa,aua,A喧%fh與AB為異面直線.

圖1-39

（二）平行公理

師：在平面幾何中，如圖1—40,若2〃1）,c〃b,則a與c平行嗎？

b

圖1-40

圖1-41

生：平行.

師：也就是說，在平面中，若兩條直線a、c都和第三條直線b平行，則2〃口這

個(gè)命題在空間中是否成立呢？

師：實(shí)際上，在空間中，若2〃13,c〃b,則a〃c也成立.我們把這個(gè)結(jié)論作

為一個(gè)公理，不必證明，可直接應(yīng)用.

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

如圖1-41,三棱鏡的三條棱，若AA'〃BB',CC'//BB',則有AA，//CC

I

下面請同學(xué)們完成下列的例題，鞏固應(yīng)用平行公理.

例已知四邊形ABCD是空間四邊形（四個(gè)頂點(diǎn)不共面的圖1-41四邊形），E、

H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD

上的點(diǎn)，且原?密?熱求證?四邊第EK?是匍利

師分析：要證明四邊形EFGH是梯形，即要證明四邊形EFGH的一組對邊平行，

另一組對邊不平行；或證明一組對邊平行且不相等.具體用哪一種方法，我們來

分析一下題意：E、H分別是邊AB、AD的中

直，由平面幾何中的三角序中位線定理，春,EH|BDfiEH=^BDj

又由導(dǎo)?黑■泰根據(jù)刊讖分線段成比例定理.礴，F(xiàn)G|BD,

CD5

STG=|BD.由上面這些條件即可證明梯形EFGH.

圖1-42

證明：如圖1-42,連結(jié)BD.

VEH>AABD的中位線,

/.EHjBD.EH=-BD.

4

又松BCD中,卦濠