第二章

導(dǎo)數(shù)及其幾何意義2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會(huì)求其方程.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象及直觀想象的核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧問題1

高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度

1.平均速度時(shí)間段[t0,t0+△t]內(nèi)的平均速度2.瞬時(shí)速度當(dāng)t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度物體運(yùn)動(dòng)的平均速度物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度無限逼近取極限瞬時(shí)速度的本質(zhì)是平均速度的極限.幾何意義？1.平均變化率

對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時(shí)，x的變化量為?x，y的變化量為

?y＝f(x0＋?x)－f(x0).我們把比值

，即叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋?x的平均變化率.

4.函數(shù)的平均變化率為0，并不一定說明函數(shù)f(x)沒有變化知識(shí)回顧2.瞬時(shí)變化率

知識(shí)回顧3.導(dǎo)數(shù)的概念新知探究一：導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).如果當(dāng)無限趨近于0時(shí)，平均變化率

無限趨近于一個(gè)確定的值，即

有極限，則稱_________________________，并把這個(gè)確定的值叫做______________________(也稱為__________),記作_

___或____

__.用極限符號(hào)表示這個(gè)定義，

就是_

_________________________________

y＝

f(x)在x

＝

x0處可導(dǎo)瞬時(shí)變化率

y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)新知解析說明1.f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0其導(dǎo)數(shù)值一般也不相同；2.f′(x0)與?x的具體取值無關(guān)；3.瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個(gè)名稱；導(dǎo)數(shù)的作用：導(dǎo)數(shù)可以描繪任何事物的瞬時(shí)變化率問題

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，你能歸納出求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？新知解析一差、二比、三極限探究一利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1(1)求函數(shù)y=x-在x=-1處的導(dǎo)數(shù).(2)已知f(x)=x2-3x,則f'(0)=(

)A.Δx-3 B.(Δx)2-3ΔxC.-3 D.0

變式訓(xùn)練

1A.-4 B.2 C.-2 D.±2(2)求函數(shù)y=f(x)=-x2+3x的導(dǎo)數(shù).

導(dǎo)函數(shù)探究二導(dǎo)數(shù)定義式的理解與應(yīng)用A.f'(x0) B.f'(-x0)C.-f'(x0) D.-f'(-x0)答案

C答案

CC1.設(shè)函數(shù)

f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，若，則f′(x0)=()A.1B.-1C.D.C2.設(shè)函數(shù)

f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，若

()A.f′(x0)B.2f′(x0)C.-2f′(x0)D.0B跟蹤練習(xí)

新課導(dǎo)入

如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切.對(duì)于一般的曲線C，如何定義它的切線呢？追問1：如果一條直線與一條曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這條曲線一定相切嗎？追問2：如果一條直線與一條曲線相切，那么它們一定只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？不一定不一定因此，我們不能像研究直線和圓的位置關(guān)系那樣，通過交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來定義相切了.探

究斜率概念P0Poxyy=f(x)割線T結(jié)論:當(dāng)Q點(diǎn)沿著曲線無限逼近P點(diǎn)時(shí),此時(shí)割線PQ的斜率無限趨近于切線PT的斜率.切線概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義

新知探究：拋物線的切線斜率切線位置割線位置無限逼近切線斜率割線斜率無限逼近取極限

記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1＋Δx，則點(diǎn)P的坐標(biāo)即為(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割線P0P的斜率Δx→0時(shí)，斜率kP0P→2.問題：你能用上述方法，求拋物線

f(x)=x2在點(diǎn)

P0(2,4)處的切線P0T的斜率嗎？知識(shí)應(yīng)用xyO121234P0P

記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝2＋Δx，則點(diǎn)P的坐標(biāo)即為(2＋Δx，(2＋Δx)2).于是割線P0P的斜率故拋物線在點(diǎn)P0(2，4)處的切線斜率為4.知識(shí)應(yīng)用例1求拋物線f(x)=x2+2x在點(diǎn)P

(1,3)處切線的斜率.變式求拋物線f(x)=x2+2x在點(diǎn)P

(1,3)處的切線方程.

訓(xùn)練

.探究三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例2已知曲線C:y=x3.

求曲線C在x=1的點(diǎn)處的切線方程;

訓(xùn)練

已知曲線C:y=x3.求曲線C過點(diǎn)P(1,1)的切線方程.

題型三求曲線在某點(diǎn)處的切線方程

探究四求切點(diǎn)坐標(biāo)

訓(xùn)練.已知曲線y=2x2-7在點(diǎn)P處的切線方程為8x-y-15=0,求切點(diǎn)P的坐標(biāo).03例題精講

1.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(

)A．a(chǎn)＝1，b＝1

B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－12.已知曲線y＝2x2－7在點(diǎn)P處的切線方程為8x－y－15＝0，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)．A

(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是(

)

A

B

C

D解析:由y＝f(x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x＝0時(shí)，f′(x)＝0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，故B符合．B課堂小結(jié)1.高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員平均速度及瞬時(shí)速度2.拋物線的割線及切線的斜率無限逼近無限逼近課堂小結(jié)2.求函數(shù)y＝f(x)在x＝x0

處導(dǎo)數(shù)的