數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理一、數(shù)列的相關(guān)概念（一）數(shù)列的概念.數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作a,a,a…a，…,簡(jiǎn)記｝.12 3n n.數(shù)列｝的第n項(xiàng)a與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系若用一個(gè)公式a=f（n）給出，則這個(gè)公式叫做這nn n個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。.數(shù)列可以看做定義域?yàn)镹*（或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。（二）數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有：列舉法、解析法（用通項(xiàng)公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）。（三）數(shù)列的分類(lèi).按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列。.按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否不超過(guò)某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列。.從函數(shù)角度考慮分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列。遞增數(shù)列的判斷：比較f（n+1）與f（n）的大小（作差或作商）（四）數(shù)列通項(xiàng)a與前n項(xiàng)和S的關(guān)系nn1.S-a+a1.S-a+a+aH Fan123 n工ii-12.S1-Sn-1n-1n>2、等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.定義：a-a-d(常數(shù))

nF1n(neN?)或a-a -d(常數(shù))(1.定義：a-a-d(常數(shù))

nF1nTOC\o"1-5"\h\zn n-1當(dāng)d>0時(shí)，遞增數(shù)列，d<0時(shí)，遞減數(shù)列，d=0時(shí)，常數(shù)數(shù)列。.通項(xiàng)公式：a-a+(n-1)d-a+(n-m)d=dn+(a-d)=pn+qn1 m 1aa aac=a-ai,d=an_am是點(diǎn)列(n,a)所在直線的斜率.n-1n-m nn(aFa) n(n-1) d d?前n項(xiàng)的和：S 1 -=na+ d=n2+(a-—)n=An2+Bnn 2 1 2 2 12｛Sn｝是等差數(shù)列。n.等差中項(xiàng)：若a、b、c等差數(shù)列，則b為a與c的等差中項(xiàng):2b=a+c5、等差數(shù)列的判定方法（n￡N*）（1）定義法：a-a=d是常數(shù)（2）等差中項(xiàng)法：2a -a+an+1n nF1 n nF2⑶通項(xiàng)法：a-pn+q⑷前n項(xiàng)和法：S-An2+Bnnn6.性質(zhì)：設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，公差為d,則

⑴m+n=p+q則a+a=a+a特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，則有a+a=2amnpq mn p⑵a,a+,a+2組成公差為md的等差數(shù)列.⑶S：S：-TS3-S2組成公差為n2d的等差數(shù)列.⑷若｛a｝、｛b｝是等差數(shù)列，則伏a｝、｛ka+pb｝（k、p是非零常數(shù)）、n n n nn｛a ｝（p,qeN*）均是等差數(shù)列，公差分別為：p+nqA⑸若等差數(shù)列｛a｝、｛b｝的前n和分別為A、B,且廿二f（n）,則n n nn Bna （2n一1）a A-八 ，n= n=五2nT=f（2n一1）.如設(shè)｛a｝與｛b｝是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和b （2n—1）b B nnn n 2n一1分別為S〃和。若M二4n—3，那么?二nnS的最值：法1、可求二次函數(shù)S=an2+bn的最值；法2、求出｛a｝中的正、負(fù)分nn n[a>0界項(xiàng)，即：當(dāng)a>0,d<0，解不等式組|n可得S達(dá)到最大值時(shí)的n值.當(dāng)Ia<0nn+1fa<0a<0d>0，由<n可得S達(dá)到最小值時(shí)的n值.例：若｛a｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)TOC\o"1-5"\h\z1 Ia>0n nS>0成立的最大正整數(shù)nS>0成立的最大正整數(shù)n是na>0,a+a>0，a-a<0，則使前n項(xiàng)和1 2003 2004 2003 2004（答：4006）7.a,d,n,a,S知三求二，可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量a,d；或利用數(shù)列性質(zhì),1 nn 18、巧設(shè)元：三數(shù):8、巧設(shè)元：三數(shù):a一d,a,a+d,四數(shù)：a—3d,a—d,a+d,a—3d9、項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列I,有S偶一S奇二nd，?奇=%S2n+a)(aS2n+a)(a,a為中間兩項(xiàng))n+1 n n+1=n(a+a)=n(a+a)=…=n(a1 2n 2 2n—1 n項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n—1的等差數(shù)列｛a｝n，有S=(2n—1)a(a為中間項(xiàng))，2n—1 nnSnS—Sj=a，-奇=一；.例、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列｛a｝中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶奇偶nSn—1 n偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.

10、如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究a=b.nm三、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)（類(lèi)比等差數(shù)列）a1、定義：fi=q（q為常數(shù)，q豐0,a豐0,ngN）或a n +n當(dāng)a>0<q>1；a<0<0<q<1時(shí)，遞增數(shù)歹列當(dāng)a>0<0<q<1；a<0<q>1時(shí)，遞減數(shù)歹列當(dāng)；<0時(shí)，擺動(dòng)數(shù)列?當(dāng)q=1時(shí)，常數(shù)數(shù)列2、通項(xiàng)公式：a=aqn-1—（a,q豐0）a=aqn-m—n1 = 1 nm= 'na（q=1）3、前n項(xiàng)和：S=<aG-qn） （要注意q的討論）=Aqn-A（q豐1）n ——（q豐1）[1-q4、等比中項(xiàng)：X、G、y成等比數(shù)列nG2=盯，或G=±、/xy只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)，如已知兩個(gè)正數(shù)a,b（a中b）的等差中項(xiàng)為A,等比中項(xiàng)為B,則A與B的大小關(guān)系為 5、等比數(shù)列的判定方法（n￡N*）（1）定義法：（1）定義法：an+i/an=q是常數(shù)(2)等比中項(xiàng)法:a2=a?an+1 n n+2（3）通項(xiàng)法：（3）通項(xiàng)法：a=cqn（c,q為非零常數(shù)）.n6、性質(zhì)：｛a｝是等比數(shù)列n⑷前n項(xiàng)和法：S=Aqn-An(1)若(1)若m+n=p+q，則|aa=aamnpq特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，則有a.a=a2mnp例：在等比數(shù)列｛a｝中，a+a=124,aa例：在等比數(shù)列｛a｝中，a+a=124,aa=-512,n 3 8 47公比q是整數(shù),則a10=（答：512)；各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)歹na｝中，若a.a=9n 56貝Uloga+loga+ bloga=31 32 310（答：10）。a,a+,a+2組成公比為的等比數(shù)列.S，S-S，S-S……（S豐0）仍為等比數(shù)列，公比為qn.n2nn 3n 2n n例、在等比數(shù)列｛。｝中，S為其前n項(xiàng)和，若S=13S,S+S=140，則S的值n n 30 10 10 30 20為 (答：40)(4)若｛。｝是等比數(shù)列，則｛Ia1｝、｛ka｝成等比數(shù)列；若｛a｝、｛b｝成等比數(shù)列，則｛ab｝、n n n nn nn｛bn｝成等比數(shù)列；公比分別為：n7.a,d,n,a,S知三求二，可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本量a,d；或利用數(shù)列性質(zhì)，1 nn 18、巧設(shè)元：三數(shù)：a/d,a,a,d, 四數(shù)：a/3d,a/d,a.?d,a?3d9、非零常數(shù)列既是等比數(shù)列，又是等差數(shù)列.故常數(shù)數(shù)列｛a｝是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等 n比數(shù)列的條件.例、設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S(neN),關(guān)于數(shù)列｛a｝TOC\o"1-5"\h\zn n n有下列三個(gè)命題：①若a=a (neN),則"a｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若n n+1 nS=an2+bn(a、beR),則｛a｝是等差數(shù)列；③若S=1—(—1)n,則｛a｝是等比數(shù)列。n n nn這些命題中，真命題的序號(hào)是10、正數(shù)列｛a｝成等比，則數(shù)列｛logan｝(a>1)成等差數(shù)列；若數(shù)列｛a｝成等差，則數(shù)列na n｛aa｝成等比數(shù)列；例、已知a>0且a中1,設(shè)數(shù)列｛%｝滿足log%=1+log%(neN*),n an+1 an且%+%+ bx=100，貝U%+%+ b%= .(答：100a100)1 2 100 101 102 20011、在等比數(shù)列｛a｝中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S=qS上；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n—1時(shí)，n 偶奇S=a+qS.奇1偶12.會(huì)從函數(shù)角度理解和處理數(shù)列問(wèn)題.四、求通項(xiàng)1、等差、等比數(shù)列公式法； 2、形如an+1-an=f(n)形式,求法：累加法；3、形如an+i=an?f(n),求法：累乘法；4、形如an+jAan+B(ABW0),求法：構(gòu)造法例、已知a=1,a=3a+2，求a；已知a=1,a=2a+2n求aTOC\o"1-5"\h\z1 n n—1 n 1 n n—1 na5、形如-_一=a (kW0)形式，求法：m=1時(shí)求倒數(shù)；另外可能周期數(shù)列或構(gòu)造法ka+m n—1na1例：已知a=1,a=°n1?,求a(答：a=-一-)；已知數(shù)列滿足a=1,1n3a+1nn3n—2 1n—1，求a（答：a——）6、已知Sn,求an求法：階差法.即利用公式s ,(n=1)1 注意：一定不要忘S-S ,(n>2)n n6、已知Sn,求an求法：階差法.即利用公式s ,(n=1)1 注意：一定不要忘S-S ,(n>2)n n—1記對(duì)n取值的討論！最后，還應(yīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1的情況是否符合當(dāng)n>2的關(guān)系式，從而決定能否將其合并。例、已知｛a｝的前n項(xiàng)和滿足log（S+1）=n+1，求a（答:數(shù)列｛a｝滿足—a+—a+…+——an21222 2n，'=2n+5，求a(答:n n&n—12n,n>2)；1,n-12n+1,n>2)7、已知a?a?????a—f(n)1 2 n求a，用作商法a―

n n'f(1),(n—1)I篇,(n>0.…｛小,a―1,對(duì)所有的n>2都有aaa…a=n2,則a+a=1 123n 3 5五、數(shù)列求和的常用方法：61(16)］、公式法：（等差、等比數(shù)列直接用公式）常用公式：①1+2+3 =?②12+22+32+…n2—K+'n+' ③13+23+33…n3—]&2山]例、等比數(shù)列｛a｝的前n4n—1項(xiàng)和Sn=2n一1,貝Ua2+a2+a2h fa2=（答：?。?2、等差數(shù)列的絕對(duì)值的和（已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為S）當(dāng)3〉0,d<0時(shí)，若akN0,a]

當(dāng)3<0〃〉0時(shí)，若akW0,a1k+1k+1S=1a1|+|氣|+……1ak|+|ak+1|+n<0,則:S=|aJ+|a2l+ |akl+|ak+1l+ |an|=>0,則： n?1a|=n3、分組求和法： 1廠1r1c1 …一例、求數(shù)列3,5,7—,9一，…的前n項(xiàng)和4816324、并項(xiàng)求和法例、S——1+3—5+7 +（—1）n（2n—1）（答：（-1）n-n）n5、倒序相加法：例、求證:C0+3C1+5C2+…+(2n+1)C〃—(n+1)?2〃則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(1)+f(1)=乙 J I6、裂項(xiàng)相消求和，常見(jiàn)類(lèi)型

①n①n(J+1)1 _1(1_1) Z 1\ -J-( -)n(n+k)knn+k③(2n—1；2n+1)=1 1———④ —[ ]n(n+1)(n+2) 2n(④ —[ ]n(n+1)(n+2) 2n(n+1) (n+1)(n+2)vn+k+nnk(答:例、求和：-^―+ +…+ 1 (答:1x44x7 (3n-2)x(3n+1) 1 ,在數(shù)列｛a｝中，a-—f= ,，且S=9,貝Un= (答：99)TOC\o"1-5"\h\znnnn+v：n+1 n7、錯(cuò)位相減法：適用于'b｝其中｛a｝是等差數(shù)列，b｝是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。nn n n例、｛a｝為等比數(shù)列，T-na+(n-1)a+…+2a+a,已知T-1,T-4，①求數(shù)列n n1 2 n-1n 1 2｛a｝的首項(xiàng)和公比;②求數(shù)列｛T｝的通項(xiàng)公式.(答:①a-1,q-2.，②T-2n+1-