無限長單位脈沖響應(yīng)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法第1頁/共163頁第5章無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計方法5.1基本概念5.2IIR濾波器設(shè)計的特點5.3常用模擬低通濾波器的設(shè)計方法5.4用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器5.5用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器5.6設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法5.7Z平面變換法第2頁/共163頁5.1基本概念5.1.1選頻濾波器的分類數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)。在對信號的過濾、檢測與參數(shù)的估計等處理中,數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系統(tǒng)。數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。它將輸入的數(shù)字序列通過特定運算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺完成特定運算的數(shù)字計算機。第3頁/共163頁

由第1章1.3節(jié)已經(jīng)知道，一個輸入序列x(n)，通過一個單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時不變系統(tǒng)后，其輸出響應(yīng)y(n)為將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得式中，Y(ejω)、X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù)，H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。第4頁/共163頁

可以看出，輸入序列的頻譜X(ejω)經(jīng)過濾波后，變?yōu)閄(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當(dāng)選擇H(ejω)，使得濾波后的X(ejω)H(ejω)符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。和模擬濾波器一樣，線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如圖5-1所示。（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)是以2π為周期的。)第5頁/共163頁圖5-1數(shù)字濾波器的理想幅頻特性第6頁/共163頁

滿足奈奎斯特采樣定理時，信號的頻率特性只能限帶于|ω|<π的范圍。由圖5-1可知，理想低通濾波器選擇出輸入信號中的低頻分量，而把輸入信號頻率在ωc<ω≤π范圍內(nèi)所有分量全部濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號中頻率在ωc≤ω≤π范圍內(nèi)的所有分量不失真地通過，而濾掉低于ωc的低頻分量。帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。

第7頁/共163頁5.1.2濾波器的技術(shù)指標(biāo)理想濾波器(如理想低通濾波器)是非因果的，其單位脈沖響應(yīng)從-∞延伸到+∞，因此，無論用遞歸還是非遞歸方法，理想濾波器是不能實現(xiàn)的，但在概念上極為重要。一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器為例，如圖5-2（稱容限圖）所示，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍（而不是理想的陡截止的通帶、阻帶兩個范圍）。圖中δ1為通帶的容限，δ2為阻帶的容限。第8頁/共163頁圖5-2低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性的容限圖第9頁/共163頁在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以最大誤差±δ1逼近于1，即在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于δ2而逼近于零，即ωs≤|ω|≤π|ω|≤ωp

式中，ωp,ωs分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，它們都是數(shù)字域頻率。幅度響應(yīng)在過渡帶（ωs-ωp）中從通帶平滑地下降到阻帶，過渡帶的頻率響應(yīng)不作規(guī)定。第10頁/共163頁

雖然給出了通帶的容限δ1及阻帶的容限δ2，但是，在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減（波紋）Ap和阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減As描述，Ap及As的定義分別為：（5-3a）（5-3b）式中，假定|H(ej0)|=1(已被歸一化)。例如|H(ejω)|在ωp處滿足|H(ejωp)|=0.707，則Ap=3dB；在ωs處滿足|H(ejωs)|=0.001，則As=60dB（參考圖5-2）。(注：lg是log10的規(guī)范符號表示。)第11頁/共163頁5.1.3FIR型濾波器和IIR型濾波器數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)h(n)的時域特性可分為無限長脈沖響應(yīng)IIR（InfiniteImpulseResponse）濾波器和有限長脈沖響應(yīng)FIR（FiniteImpulseResponse）濾波器。IIR濾波器一般采用遞歸型的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。其N階遞歸型數(shù)字濾波器的差分方程為（5-4）第12頁/共163頁

式（5-4）中的系數(shù)ak至少有一項不為零。ak≠0說明必須將延時的輸出序列反饋回來，也即遞歸系統(tǒng)必須有反饋環(huán)路。相應(yīng)的IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為（5-5）IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)在Z平面上不僅有零點，而且有極點。第13頁/共163頁FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長的，即0≤n≤N-1，該系統(tǒng)一般采用非遞歸型的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，但如果系統(tǒng)函數(shù)中出現(xiàn)零、極點相消時,也可以有遞歸型的結(jié)構(gòu)(如頻率采樣結(jié)構(gòu))。FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為（5-6）由式（5-6）可知，H(z)的極點只能在Z平面的原點。第14頁/共163頁5.1.4濾波器的設(shè)計步驟①按照實際任務(wù)要求，確定濾波器的性能指標(biāo)。②用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求。根據(jù)不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。③利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇運算結(jié)構(gòu)（如第4章中的各種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。第15頁/共163頁5.2IIR濾波器設(shè)計的特點式（5-5）的系統(tǒng)函數(shù)又可以用極、零點表示如下：

一般滿足M≤N，這類系統(tǒng)稱為N階系統(tǒng)，當(dāng)M>N時，H(z)可看成是一個N階IIR子系統(tǒng)與一個(M-N)階的FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。以下討論都假定M≤N。第16頁/共163頁IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak,bk或零極點ck，dk和A，以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種方法：

1）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器首先，設(shè)計一個合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因為模擬濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式，并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了，設(shè)計起來既方便又準(zhǔn)確。第17頁/共163頁2）最優(yōu)化設(shè)計法最優(yōu)化設(shè)計法一般分兩步來進(jìn)行:

第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則。例如，選擇最小均方誤差準(zhǔn)則。它是指在一組離散的頻率｛ωi｝(i=1,2,…,M)上，所設(shè)計出的實際頻率響應(yīng)幅度|H(ejω)|與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度|Hd(ejω)|的均方誤差ε最小。此外還可以有其他許多種誤差最小的準(zhǔn)則，如最大誤差最小準(zhǔn)則等。第18頁/共163頁

第二步，求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)ak,bk。一般是通過不斷改變?yōu)V波器系數(shù)ak、bk，分別計算ε;最后，找到使ε為最小時的一組系數(shù)ak,bk，從而完成設(shè)計。這種設(shè)計需要進(jìn)行大量的迭代運算，故離不開計算機。所以最優(yōu)化方法又稱為計算機輔助設(shè)計法。第19頁/共163頁

本章著重討論第一種方法。利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個由S平面映射到Z平面的變換，這個變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求：（1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(z)的頻率響應(yīng)，也即S平面虛軸jΩ必須映射到Z平面的單位圓ejω上。第20頁/共163頁

（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)，也即S平面的左半平面Re［s］<0必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|<1。下面首先介紹一下常用模擬低通濾波器的特性，然后分別討論由模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的兩種常用的變換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法與IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法明顯不同，這將在下一章中介紹。第21頁/共163頁5.3常用模擬低通濾波器的設(shè)計方法

常用的模擬原型濾波器有巴特沃思（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Chebyshev）濾波器、橢圓（Ellipse）濾波器、貝塞爾（Bessel）濾波器等。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。這些典型的濾波器各有特點：巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的,但在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋幅頻特性。這樣根據(jù)具體要求可以選用不同類型的濾波器。第22頁/共163頁圖5-3各種理想模擬濾波器的幅頻特性第23頁/共163頁5.3.1由幅度平方函數(shù)來確定系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2來表示，即由于濾波器沖激響應(yīng)ha(t)是實函數(shù)，因而Ha(jΩ)滿足所以（5-7）式中，Ha(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它是s的有理函數(shù);Ha(jΩ)是濾波器的頻率響應(yīng)特性；|Ha(jΩ)|是濾波器的幅度特性。第24頁/共163頁

現(xiàn)在的問題是要由已知的|Ha(jΩ)|2求得Ha(s)?；氐绞剑?-7），設(shè)Ha(s)有一個極點（或零點）位于s=s0處，由于沖激響應(yīng)ha(t)為實函數(shù)，則極點（或零點）必以共軛對形式出現(xiàn)，因而s=s0*處也一定有一極點（或零點），所以與之對應(yīng)Ha(-s)在s=-s0和-s0*處必有極點（或零點），Ha(s)Ha(-s)在虛軸上的零點（或極點）（對臨界穩(wěn)定情況，才會出現(xiàn)虛軸的極點）一定是二階的，這是因為沖激響應(yīng)ha(t)是實的，因而Ha(s)的極點（或零點）必成共軛對出現(xiàn)。Ha(s)Ha(-s)的極點、零點分布是成象限對稱的，如圖5-4所示。第25頁/共163頁第26頁/共163頁

我們知道，任何實際可實現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的，因此,其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點一定落在s的左半平面，所以左半平面的極點一定屬于Ha(s)，則右半平面的極點必屬于Ha(-s)。零點的分布則無此限制，只和濾波器的相位特征有關(guān)。如果要求最小的相位延時特性，則Ha(s)應(yīng)取左半平面零點。如果有特殊要求，則按這種要求來考慮零點的分配；如無特殊要求，則可將對稱零點的任一半（應(yīng)為共軛對）取為Ha(s)的零點。最后,按照Ha(jΩ)與Ｈa(s)的低頻特性或高頻特性的對比確定出增益常數(shù)。由求出的Ha(s)的零點、極點及增益常數(shù)，則可完全確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。第27頁/共163頁5.3.2巴特沃思低通逼近巴特沃思逼近又稱最平幅度逼近。巴特沃思低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為（5-8）式中，N為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)。當(dāng)Ω=0時，|Ha(j0)|=1；當(dāng)Ω=Ωc時，|Ha(jΩc)|=1/=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jΩc)|=3dB，Ωc為3dB截止頻率。當(dāng)Ω=Ωc時，不管N為多少，所有的特性曲線都通過－3dB點，或者說衰減為3dB。第28頁/共163頁

巴特沃思低通濾波器在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，即N階巴特沃思低通濾波器在Ω＝0處幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2的前(2N-1)階導(dǎo)數(shù)為零，因而巴特沃思濾波器又稱為最平幅度特性濾波器。隨著Ω由0增大，|Ha(jΩ)|2單調(diào)減小，N越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過渡帶越窄。當(dāng)Ω＝Ωst，即頻率為阻帶截止頻率時，衰減為As=-20lg|Ha(jΩs)|,As為阻帶最小衰減。對確定的As,N越大，Ωs距Ωc越近，即過渡帶越窄。巴特沃思低通濾波器的幅度特性如圖5-5所示。第29頁/共163頁第30頁/共163頁在幅度平方函數(shù)式（5-8）中，代入Ω=s/j,可得所以，巴特沃思濾波器的零點全部在s=∞處，在有限S平面內(nèi)只有極點，因而屬于所謂“全極點型”濾波器。Ha(s)Ha(-s)的極點為k=1,2,…,2N

由此看出，Ha(s)Ha(-s)的2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓（稱巴特沃思圓）上，極點間的角度間隔為π/Nrad。例如，N＝3及N＝4時，Ha(s)Ha(-s)的極點分布分別如圖5-6（a）和(b)所示。第31頁/共163頁圖5-6N＝3和N＝4時極點分布第32頁/共163頁

可見，N為奇數(shù)時，實軸上有極點；N為偶數(shù)時，實軸上沒有極點。但極點決不會落在虛軸上，這樣濾波器才有可能是穩(wěn)定的。為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的2N個極點中只取S左半平面的N個極點為Ha(s)的極點，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)的極點。Ha(s)的表示式為（5-11）第33頁/共163頁

這里分子系數(shù)為ΩcN，可由Ha(s)的低頻特性決定，（代入Ha(0)=1，可求得分子系數(shù)為ΩcN），而sk為k=1,2,…,N（5-12）

一般模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)由參數(shù)Ωp,Ap，Ωs和As給出，因此對于巴特沃思濾波器情況下,設(shè)計的實質(zhì)就是為了求得由這些參數(shù)所決定的濾波器階次N和截止頻率Ωc。我們要求：（1）在Ω=Ωp,-10lg|Ha(jΩ)|2=Ap,或（5-13）第34頁/共163頁

（2）在Ω=Ωs,-10lg|Ha(jΩ)|2=As,或(5-14)由式（5-13）和式（5-14）解出N和Ωc，有(5-15a)

一般來說，上面求出的N不會是一個整數(shù)，要求N是一個整數(shù)且滿足指標(biāo)要求，就必須選(5-15b)第35頁/共163頁這里運算符［x］的意思是“選大于等于x的最小整數(shù)”，例如［4.5］=5。因為，實際上N選的都比要求的大，因此技術(shù)指標(biāo)上在Ωp或在Ωs上都能滿足或超過一些。為了在Ωp精確地滿足指標(biāo)要求，則由式（5-13）可得(5-16)或者在Ωs精確地滿足指標(biāo)要求，則由式（5-14）可得(5-17)第36頁/共163頁第37頁/共163頁

令HaN(s)代表歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，Ha(s)代表截止頻率為Ωc′的低通系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，那么歸一化系統(tǒng)函數(shù)中的變量s用s/Ωc′代替后，就得到所需濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，即:（5-18）（5-19）第38頁/共163頁

例5-1

導(dǎo)出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)Ωc＝2rad/s。

解幅度平方函數(shù)是令Ω2=-s2即s=jΩ，則有各極點滿足式（5-10）k=1,2,…,6第39頁/共163頁

而按式（5-12），前面三個sk（k=1,2,3）就是Ha(s)的極點。所給出的六個sk為:由s1,s2,s3三個極點構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為第40頁/共163頁

例5-2

設(shè)計一個滿足下面要求的模擬低通巴特沃思濾波器：

(1)通帶截止頻率：Ωp=0.2π；通帶最大衰減：Ap=7dB。

(2)阻帶截止頻率：Ωs=0.3π；阻帶最小衰減：As=16dB。

解由式（5-15b）為了準(zhǔn)確在Ωp滿足指標(biāo)要求，由式（5-16）得第41頁/共163頁為了準(zhǔn)確在Ωp滿足指標(biāo)要求，由式（5-16）得

現(xiàn)在在上面兩個數(shù)之間可任選Ωc值?，F(xiàn)選Ωc=0.5，這樣就必須設(shè)計一個N=3和Ωc=0.5的巴特沃思濾波器，模擬濾波器Ha(s)的設(shè)計類似于例5-2。最后可得第42頁/共163頁5.3.3切比雪夫低通逼近巴特沃思濾波器的頻率特性無論在通帶與阻帶都隨頻率變換而單調(diào)變化，因而如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會有富裕量，也就會超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟。所以，更有效的辦法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻地分布在阻帶內(nèi)，或同時均勻地分布在通帶與阻帶內(nèi)。這樣，在同樣通帶、阻帶性能要求下，就可設(shè)計出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來實現(xiàn)。第43頁/共163頁

切比雪夫濾波器的幅度特性就是在一個頻帶中（通帶或阻帶）具有這種等波紋特性。幅度特性在通帶中是等波紋的，在阻帶中是單調(diào)的，稱為切比雪夫Ⅰ型。幅度特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型。由應(yīng)用的要求來確定采用哪種形式的切比雪夫濾波器。圖5-7、圖5-8分別畫出了N為奇數(shù)與N為偶數(shù)的切比雪夫Ⅰ，Ⅱ型低通濾波器的幅度特性。第44頁/共163頁圖5-7切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性第45頁/共163頁圖5-8切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅度特性第46頁/共163頁

橢圓濾波器在通帶和阻帶都具有等波紋幅頻特性。我們以切比雪夫Ⅰ型低通濾波器為例來討論這種逼近。切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方函數(shù)為（5-20）式中，ε為小于1的正數(shù)，它是表示通帶波紋大小的一個參數(shù)，ε越大，波紋也越大。Ωc為通帶截止頻率，也是濾波器的某一衰減分貝處的通帶寬度（這一分貝數(shù)不一定是3dB。也就是說，在切比雪夫濾波器中，Ωc不一定是3dB的帶寬）。CN(x)是N階切比雪夫多項式，定義為第47頁/共163頁|x|≤1(通帶)|x|>1(阻帶)當(dāng)N≥1時，切比雪夫多項式的遞推公式為CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)(5-21)(5-22)切比雪夫多項式的零值點（或根）在|x|≤1間隔內(nèi)。當(dāng)|x|≤1時，CN(x)是余弦函數(shù)，故|CN(x)|≤1第48頁/共163頁

且多項式CN(x)在|x|≤1內(nèi)具有等波紋幅度特性；對所有的N，CN(1)=1，N為偶數(shù)時CN(0)=±１;N為奇數(shù)時CN(0)=0。當(dāng)|x|>1時，CN(x)是雙曲余弦函數(shù)，它隨x增大而單調(diào)增加。顯然，切比雪夫濾波器的幅度函數(shù)為的特點如下：

（1）當(dāng)Ω＝0，N為偶數(shù)時，；當(dāng)N為奇數(shù)時，Ha(j0)=1。第49頁/共163頁

（2）Ω=Ωc時即所有幅度函數(shù)曲線都通過點，所以把Ωc定義為切比雪夫濾波器的通帶截止頻率。在這個截止頻率下，幅度函數(shù)不一定下降3dB，可以是下降其他分貝值，例如1dB等，這是與巴特沃思濾波器不同之處。第50頁/共163頁

（3）在通帶內(nèi)，即當(dāng)|Ω|<Ωc時，則|Ω|/Ωc<1，|Ha(jΩ)|在 之間等波紋地起伏。（4）在通帶之外，即當(dāng)|Ω|>Ωc時，隨著Ω的增大,迅速滿足ε2CN2

(Ω/Ωc)>>1使|Ha(jΩ)|迅速單調(diào)地趨近于零。第51頁/共163頁

由幅度平方函數(shù)式（5-20）看出，切比雪夫濾波器有三個參數(shù)：ε，Ωc和N。Ωc是通帶寬度，一般是預(yù)先給定的;ε是與通帶波紋有關(guān)的一個參數(shù)。通帶波紋Ap表示成(5-23)

這里，|Ha(jΩ)|max=1表示通帶幅度響應(yīng)的最大值。 ，表示通帶幅度響應(yīng)的最小值，故因而(5-24)(5-25)第52頁/共163頁

可以看出，給定通帶波紋值A(chǔ)p（dB）后，就能求得ε2，這里應(yīng)注意通帶波紋值不一定是3dB，也可以是其他值，例如0.1dB等。濾波器階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大值和最小值的總數(shù)。前面已經(jīng)說過，N為奇數(shù)時，在Ω=0處，|Ha(jΩ)|為最大值1；N為偶數(shù)時，在Ω＝0處,|Ｈa(jΩ)|為最小值 （見圖5-7）。N的數(shù)值可由阻帶衰減來確定。設(shè)阻帶起始點頻率為Ωs，此時阻帶幅度平方函數(shù)值滿足第53頁/共163頁式中，A是常數(shù)。如果用誤差的分貝數(shù)As表示，則有所以(5-26)

設(shè)Ωs為阻帶截止頻率，即當(dāng)Ω＝Ωs時，將上面的|Ha(jΩ)|2的表達(dá)式代入式（5-20），可得第54頁/共163頁由此得出由于Ωs/Ωc>1，所以，由式（5-21）的第二式有由此，并考慮式（5-26），可得(5-28)第55頁/共163頁

如果要求阻帶邊界頻率上衰減越大（即A越大），也就是過渡帶內(nèi)幅度特性越陡，則所需的階數(shù)N越高?；蛘邔Ζ竤求解，可得(5-29)這里，Ωc是切比雪夫濾波器的通帶寬度，但不是3dB帶寬，可以求出3dB帶寬為(5-30)第56頁/共163頁

注意，只有當(dāng)Ωc<Ω3dB時才采用式（5-30）來求解Ω3dB。（因為滿足Ω3dB/Ωc>1)

ε,Ωc,N給定后，就可以求得濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)，這可查閱有關(guān)模擬濾波器手冊。第57頁/共163頁5.4用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器5.4.1變換原理利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)（5-31）式中,T是采樣周期。第58頁/共163頁

如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用第1章1.5節(jié)采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系，即利用式（1-101），得(5-32)則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個從s到z的變換z=esT正是第1章1.5節(jié)中從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式（1-99）。第59頁/共163頁圖5-9脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系第60頁/共163頁5.4.2混疊失真由式（5-32）知，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為(5-33)這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如第1章1.2節(jié)采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即(5-34)第61頁/共163頁

才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即|ω|<π(5-35)但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖5-10所示。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。第62頁/共163頁圖5-10脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象第63頁/共163頁

對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。第64頁/共163頁5.4.3模擬濾波器的數(shù)字化方法由于脈沖響應(yīng)不變法要由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應(yīng)ha(t)，然后采樣后得到h(n)=ha(nT)，再取Z變換得H(z)，過程較復(fù)雜。下面我們討論如何由脈沖響應(yīng)不變法的變換原理將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)。設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點，且假定分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因為只有這樣才相當(dāng)于一個因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)），因此可將(5-36)第65頁/共163頁其相應(yīng)的沖激響應(yīng)ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即式中,u(t)是單位階躍函數(shù)。在脈沖響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)等于對ha(t)的采樣，即(5-37)第66頁/共163頁對h(n)求Z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(5-38)將式（5-36）的Ha(s)和式（5-38）的H(z)加以比較，可以看出：（1）S平面的每一個單極點s=sk變換到Z平面上z=eskT處的單極點。（2）Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的，都是Ak。第67頁/共163頁

（3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點sk位于S平面的左半平面，即Re［sk］<0，則變換后的數(shù)字濾波器的全部極點在單位圓內(nèi)，即|eskT|=eRe［sk］T<1，因此數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。（4）雖然脈沖響應(yīng)不變法能保證S平面極點與Z平面極點有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但是并不等于整個S平面與Z平面有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點位置就與模擬濾波器零點位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，而是隨Ha(s)的極點sk以及系數(shù)Ak兩者而變化。第68頁/共163頁

從式（5-35）看出，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣間隔T成反比：|ω|<π

如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單的修正，令h(n)=Tha(nT)(5-39)則有:(5-40)(5-41)第69頁/共163頁例5-3

設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解直接利用式（5-40）可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)T=1，則有第70頁/共163頁

模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)分別為:把|Ha(jΩ)|和|H(ejω)|畫在圖5-11上。由該圖可看出，由于Ha(jΩ)不是充分限帶的，所以H(ejω)產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。第71頁/共163頁圖5-11例5-3的幅頻特性第72頁/共163頁5.4.4優(yōu)缺點從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。第73頁/共163頁

脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。第74頁/共163頁5.5用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器5.5.1變換原理脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-π/T～π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖5-12所示。第75頁/共163頁圖5-12雙線性變換的映射關(guān)系第76頁/共163頁

為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)（5-42）式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)Ω1由-π/T經(jīng)過0變化到π/T時，Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞，也即映射了整個jΩ軸。將式（5-42）寫成第77頁/共163頁

將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面：z=es1T

從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：（5-43）(5-44）式（5-43）與式（5-44）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。第78頁/共163頁5.5.2逼近的情況式（5-43）與式（5-44）的雙線性變換符合5.2節(jié)中提出的映射變換應(yīng)滿足的兩點要求。（1）首先,把z=ejω代入式（5-43），可得（5-45）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。第79頁/共163頁（2）其次，將s=σ+jΩ代入式（5-44），得因此第80頁/共163頁

由此看出，當(dāng)σ<0時，|z|<1；當(dāng)σ>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。第81頁/共163頁5.5.3優(yōu)缺點雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個jΩ軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（5-45）所示，重寫如下：上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系，如圖5-13所示。第82頁/共163頁

由圖5-13看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當(dāng)Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。第83頁/共163頁圖5-13雙線性變換法的頻率變換關(guān)系第84頁/共163頁

但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（5-46）及圖5-13所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖5-14所示。第85頁/共163頁圖5-14雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射第86頁/共163頁

對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。第87頁/共163頁5.5.4模擬濾波器的數(shù)字化方法雙線性變換法比起脈沖響應(yīng)不變法來，在設(shè)計和運算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，所以可以直接將式（5-43）代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數(shù)，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到（5-47）（5-48）第88頁/共163頁

應(yīng)用式（5-47）求H(z)時，若階數(shù)較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設(shè)計，一方面，可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、二階的），然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進(jìn)行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。另一方面，可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計，即預(yù)先求出雙線性變換法中離散系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)與模擬系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可利用表格進(jìn)行設(shè)計了。第89頁/共163頁設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為（5-49）應(yīng)用式（5-47）式得（5-50）第90頁/共163頁表5-2雙線性變換法中Ｈa(s)的系數(shù)與H(z)的系數(shù)之間的關(guān)系第91頁/共163頁圖5-15雙線性變換時頻率的預(yù)畸變第92頁/共163頁

（1）如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）ω1、ω2、ω3、ω4及采樣頻率(1/T)，則直接利用式（5-46）計算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率Ω1、Ω2、Ω3和Ω4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率Ω1、Ω2、Ω3和Ω4，經(jīng)雙線性變換后就映射到數(shù)字濾波器H(z)的原轉(zhuǎn)折頻率ω1、ω2、ω3和ω4。第93頁/共163頁

如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則需要進(jìn)行頻率預(yù)畸變。首先，利用下式計算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）ω１、ω2、ω3

和ω4。ω=2πfT（5-51）再利用式（5-46）第94頁/共163頁對頻率預(yù)畸變，得到預(yù)畸變后的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率Ω1、Ω２、Ω3和Ω4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率Ω１、Ω2、Ω3和Ω4,經(jīng)雙線性變換后映射到數(shù)字濾波器H(z)的轉(zhuǎn)折頻率ω1、ω2、ω3、ω4，并且能保證數(shù)字域頻率ω1、ω2、ω3、ω4與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f1、f２、f３、f4成線性關(guān)系。（2）按Ω1、Ω2、Ω3和Ω4等指標(biāo)設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。第95頁/共163頁

（3）將代入Ha(s)，得H(z)為其頻率響應(yīng)為上述這些步驟比用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計濾波器要簡便得多。第96頁/共163頁

需要特別強調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應(yīng)用 變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是低通濾波器；若Ha(s)為高通濾波器，應(yīng)用變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是高通濾波器;若為帶通、帶阻濾波器也是如此。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，當(dāng)強調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好;而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。第97頁/共163頁

例5-4

設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率為ωc=0.25π，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。

解數(shù)字低通濾波器的截止頻率為ωc=0.25π，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的3dB截止頻率是Ωc，就有模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為第98頁/共163頁將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。第99頁/共163頁

例5-5

用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250μs），其3dB截止頻率為fc=1kHz。三階模擬巴特沃思濾波器為

解首先，確定數(shù)字域截止頻率ωc=2πfcT=0.5π。第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式（5-46），確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率第100頁/共163頁第三步，將Ωc代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)第101頁/共163頁

應(yīng)該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數(shù)字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1kHz的實際濾波器，它只是一個“樣本”函數(shù)，是由低通模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換中的一個中間變換階段。圖5-16給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快。最后在折疊頻率處形成一個三階傳輸零點。這個三階零點正是模擬濾波器在Ωc=∞處的三階傳輸零點通過映射形成的。第102頁/共163頁圖5-16用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響第103頁/共163頁5.6設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法

圖5-17兩種等效的設(shè)計方法(a)先模擬頻率變換，再數(shù)字化;(b)將(a)的兩步合成一步設(shè)計第104頁/共163頁

對于第一種方案，重點是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，這里我們不作詳細(xì)推導(dǎo)，僅在表5-3列出一些模擬到模擬的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系。一般直接用歸一化原型轉(zhuǎn)換，取Ωc=1,可使設(shè)計過程簡化。表5-3截止頻率為Ωc的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉(zhuǎn)換公式第105頁/共163頁

第二種方法實際上是把第一種方法中的兩步合成一步來實現(xiàn)，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式與用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式合并，就可直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計，因而簡捷便利，得到普遍采用。此外，對于高通、帶阻濾波器，由于脈沖響應(yīng)不變法不能直接采用，或者只能在加了保護(hù)濾波器以后使用，因此，脈沖響應(yīng)不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮，故對于脈沖響應(yīng)不變法來說，采用第一種方案有時更方便一些。我們在下面只考慮雙線性變換，實際使用中多數(shù)情況也正是這樣。第106頁/共163頁5.6.1模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器首先，把數(shù)字濾波器的性能要求轉(zhuǎn)換為與之相應(yīng)的作為“樣本”的模擬濾波器的性能要求，根據(jù)此性能要求設(shè)計模擬濾波器，這可以用查表的辦法，也可以用解析的方法。然后，通過脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器H(z)。例5-5已經(jīng)說明了用雙線性變換法設(shè)計低通濾波器的過程，這里再用脈沖響應(yīng)不變法來討論一下例5-5的低通濾波器設(shè)計問題。第107頁/共163頁

例5-6

用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250μs），其3dB截止頻率為fc=1kHz。

解查表可得歸一化三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)然后,以s/Ωc代替其歸一化頻率，則可得三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為第108頁/共163頁式中，Ωc=2πfc。上式也可由巴特沃思濾波器的幅度平方函數(shù)求得。為了進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，將上式進(jìn)行因式分解并表示成如下的部分分式形式：將此部分分式系數(shù)代入(5-40)式就得到第109頁/共163頁式中，ωc=ΩcT=2πfcT=0.5π是數(shù)字濾波器數(shù)字頻域的截止頻率。將上式兩項共軛復(fù)根合并，得

從這個結(jié)果我們看到，H(z)只與數(shù)字頻域參數(shù)ωc有關(guān)，也即只與臨界頻率fc與采樣頻率fs的相對值有關(guān)，而與它們的絕對大小無關(guān)。例如fs=4kHz，fc=1kHz與fs=40kHz，fc=10kHz的數(shù)字濾波器將具有同一個系統(tǒng)函數(shù)。這個結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計。第110頁/共163頁將ωc=ΩcT=2πfcT=0.5π代入上式，得

這個形式正好適合用一個一階節(jié)及一個二階節(jié)并聯(lián)起來實現(xiàn)。脈沖響應(yīng)不變法由于需要通過部分分式來實現(xiàn)變換，因而對采用并聯(lián)型的運算結(jié)構(gòu)來說是比較方便的。圖5-18給出了脈沖響應(yīng)不變法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響幅度特性，同時給出例5-5雙線性變換法設(shè)計的結(jié)果。由圖可看出，脈沖響應(yīng)不變法存在微小的混淆現(xiàn)象，因而選擇性將受到一定損失，并且沒有傳輸零點。第111頁/共163頁圖5-18三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響第112頁/共163頁5.6.2模擬低通濾波器變換成數(shù)字高通濾波器由表5-3可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為（5-52）式中，Ωc為模擬低通濾波器的截止頻率，Ωc′為實際高通濾波器的截止頻率。根據(jù)雙線性變換原理，模擬高通與數(shù)字高通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為（5-53）第113頁/共163頁

把變換式（5-52）和變換式（5-53）結(jié)合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字高通濾波器的表達(dá)式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式（5-54）式中， 。由此得到數(shù)字高通系統(tǒng)函數(shù)為式中，Ha(s)為模擬低通濾波器傳遞函數(shù)。第114頁/共163頁

可以看出，數(shù)字高通濾波器和模擬低通濾波器的極點數(shù)目（或階次）是相同的。根據(jù)雙線性變換，模擬高通頻率與數(shù)字高通頻率之間的關(guān)系仍為則又因故（5-55）第115頁/共163頁

下面討論模擬低通濾波器與數(shù)字高通濾波器頻率之間的關(guān)系。令s=jΩ，z=ejω，代入式（5-54），可得或（5-56）其變換關(guān)系曲線如圖5-19所示。由圖可看出，Ω=0映射到ω=π,即z=-1上;Ω=∞映射到ω=0,即z=1上。通過這樣的頻率變換后就可以直接將模擬低通變換為數(shù)字高通，如圖5-20所示。第116頁/共163頁圖5-19從模擬低通變換到數(shù)字高通時頻率間關(guān)系的曲線還應(yīng)當(dāng)明確一點，所謂高通數(shù)字濾波器，并不是ω高到∞都通過，由于數(shù)字域存在折疊頻率ω=π，對于實數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器，ω由π到2π的部分只是ω由π到0的鏡像部分。因此，有效數(shù)字域僅只是從ω=0到ω=π，高通也僅指這一端的高端，即到ω=π為止的部分。第117頁/共163頁圖5-20模擬低通變換到數(shù)字高通第118頁/共163頁

例5-7

設(shè)計一個巴特沃思高通數(shù)字濾波器，其通帶截止頻率（-3dB點處）為fc=3kHz，阻帶上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3dB，阻帶衰減不小于14dB，采樣頻率fs=10kHz。

解（1）求對應(yīng)的各數(shù)字域頻率:第119頁/共163頁

（2）求常數(shù)C。采用歸一化（Ωc=1）原型低通濾波器作為變換的低通原型，則低通到高通的變換中所需的C為（見表5-4）

（3）求低通原型Ωst。設(shè)Ωst為滿足數(shù)字高通濾波器的歸一化原型模擬低通濾波器的阻帶上限截止頻率，可按Ω=C·cot(ω/2)的預(yù)畸變換關(guān)系來求，得第120頁/共163頁

（4）求階次N。按阻帶衰減求原型歸一化模擬低通濾波器的階次N，由巴特沃思低通濾波器頻率響應(yīng)的公式|Ha(jΩst)|取對數(shù)，即式中Ωc=1。解得取N=3。第121頁/共163頁

（5）求歸一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表5-2可得Ha(s)為第122頁/共163頁（6）求數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，有將C代入，可求得第123頁/共163頁5.6.3模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器由表5-3可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為（5-57）式中，Ωc為模擬低通濾波器的截止頻率，Ωh、Ωl分別為實際帶通濾波器的通帶上、下截止頻率。根據(jù)雙線性變換，模擬帶通與數(shù)字帶通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為（5-58）第124頁/共163頁把變換式（5-57）和變換式（5-58）結(jié)合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字帶通濾波器的表達(dá)式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式經(jīng)推導(dǎo)后得第125頁/共163頁式中（5-60）（5-61）根據(jù)雙線性變換，模擬帶通頻率與數(shù)字帶通頻率之間的關(guān)系仍為（5-62）第126頁/共163頁定義:式中，Ω0為帶通濾波器通帶的中心頻率，B為帶通濾波器的通帶寬度。設(shè)數(shù)字帶通的中心頻率為ω0，數(shù)字帶通濾波器的上、下邊帶的截止頻率分別為ω2和ω1，則將式（5-62）代入式（5-63）、式（5-64），可得:（5-65）（5-66）第127頁/共163頁

考慮到模擬帶通到數(shù)字帶通是通帶中心頻率相對應(yīng)的映射關(guān)系，則有（5-67）將式（5-65）、式（5-66）和式5-67）代入式（5-60）及式（5-61），并應(yīng)用一些標(biāo)準(zhǔn)三角恒等式可得:（5-68）（5-69）第128頁/共163頁所以，在設(shè)計時，要給定中心頻率和帶寬或者是中心頻率和邊帶頻率，利用式（5-68）和式（5-69）來確定D和E兩常數(shù)；然后，利用式（5-59）的變換，把模擬低通系統(tǒng)函數(shù)一步變成數(shù)字帶通系統(tǒng)函數(shù)（5-70）式中，Ha(s)為模擬低通原型傳遞函數(shù)。

可以看出，數(shù)字帶通濾波器的極點數(shù)（或階數(shù)）將是模擬低通濾波器極點數(shù)的兩倍。第129頁/共163頁

下面來討論模擬低通濾波器與數(shù)字帶通濾波器頻率之間的關(guān)系。令s=jΩ，z=ejω代入式（5-59），經(jīng)推導(dǎo)后可得（5-71）其變換關(guān)系曲線如圖5-21所示。其映射關(guān)系為：Ω=0→ω=ω0Ω=∞→ω=πΩ=-∞→ω=0也就是說，低通濾波器的通帶（Ω=0附近）映射到帶通濾波器的通帶（ω=ω0附近），低通的阻帶（Ω=±∞）映射到帶通的阻帶（ω=0,π）。第130頁/共163頁圖5-21從模擬低通變換到數(shù)字帶通時頻率間關(guān)系曲線第131頁/共163頁圖5-22模擬低通變換到數(shù)字帶通第132頁/共163頁

例5-8

采樣頻率為fs=100kHz,T=10μs，要求設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，其上、下邊帶的3dB截止頻率分別為f2=37.5kHz，f1=12.5kHz。

解首先求出所需數(shù)字濾波器在數(shù)字域的各個臨界頻率。通帶的上、下邊界截止頻率為:ω1=2πf1T=2π×12.5×103×10×10-6=0.25πω2=2πf2T=2π×37.5×103×10×10-6=0.75π代入式（5-66）求模擬低通的截止頻率第133頁/共163頁由式（5-68）求得D為由式（5-69）可求得E為再代入變換公式（5-59）得第134頁/共163頁由N=3，查表5-1可得三階巴特沃思濾波器的歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)為3dB截止頻率為Ωc=4/T的三階巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為第135頁/共163頁圖5-23巴特沃思帶通濾波器第136頁/共163頁

從上面設(shè)計過程中可以看出，如果在求D參數(shù)時，假定Ωc=1，即采用歸一化低通原型，則由歸一化低通原型模擬濾波器變換得到的數(shù)字帶通濾波器，將與上面得到的結(jié)果一致。這是因為在s/Ωs中的Ωc和D中的Ωc互相抵消，所以只需用Ωc=1的歸一化原型HaN(s)設(shè)計即可。對其他類型的濾波器，同樣也可直接利用歸一化原型濾波器HaN(s)設(shè)計。第137頁/共163頁5.6.4模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器由表5-3可知，由模擬低通原型到模擬帶阻的變換關(guān)系為（5-72）式中，Ωc為模擬低通濾波器的截止頻率，Ωh,Ωl分別為實際帶阻濾波器的阻帶上、下截止頻率。根據(jù)雙線性變換，模擬帶阻與數(shù)字帶阻之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為（5-73）第138頁/共163頁

把變換式（5-72）和變換式（5-73）結(jié)合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字帶阻濾波器的表達(dá)式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式經(jīng)推導(dǎo)后得（5-74）第139頁/共163頁式中：根據(jù)雙線性變換，模擬帶阻頻率與數(shù)字帶阻頻率之間的關(guān)系仍為定義:（5-77）（5-78）（5-79）第140頁/共163頁式中，Ω0

為帶阻濾波器阻帶的幾何對稱中心角頻率;B為帶阻濾波器的阻帶寬度，它與低通原型中的截止頻率Ωc成反比。設(shè)數(shù)字帶阻的中心頻率為ω0，數(shù)字帶阻濾波器的上、下邊帶的截止頻率分別為ω2和ω1，則將式（5-77）代入式（5-78）、式（5-79），可得:（5-80）（5-81）第141頁/共163頁

考慮到模擬帶阻到數(shù)字帶阻是阻帶中心頻率相對應(yīng)的映射關(guān)系，則有（5-82）將式（5-80）、式（5-81）和式（5-82）代入式（5-75）及式（5-76），并應(yīng)用一些標(biāo)準(zhǔn)三角恒等式運算后可得:第142頁/共163頁

所以，在設(shè)計時，要給定中心頻率和帶寬或者是中心頻率和邊帶頻率，利用式（5-83）和式（5-84）來確定D1和E1兩常數(shù)，然后利用式（5-74）的變換，把模擬低通系統(tǒng)函數(shù)一步變成數(shù)字帶阻系統(tǒng)函數(shù)（5-85）式中，Ha(s)為模擬低通原型傳遞函數(shù)?？梢钥闯?，數(shù)字帶阻濾波器的極點數(shù)（或階數(shù)）將是模擬低通濾波器極點數(shù)的兩倍。第143頁/共163頁

下面來討論模擬低通濾波器與數(shù)字帶阻濾波器頻率之間的關(guān)系。令s=jΩ，z=ejω代入式（5-74），經(jīng)推導(dǎo)后可得(5-86)其變換關(guān)系曲線如圖5-24所示，其映射關(guān)系為:Ω=0→ω=0,ω=πΩ=±∞→ω=ω0

也就是說，低通濾波器的通帶（Ω=0附近）映射到帶阻濾波器的阻帶范圍之