1第1頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二★復(fù)習(xí)定積分的基本計(jì)算方法(1)微積分基本公式:(2)定積分的換元公式：(3)定積分的分部積分公式：★復(fù)習(xí)定積分的特殊計(jì)算方法第2頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二n

為奇數(shù)★復(fù)習(xí)定積分的特殊計(jì)算方法n

為偶數(shù)第3頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1.二重積分定義:知識(shí)回顧2.性質(zhì):線性性，可加性，積分不等式，估值定理，積分中值定理.4.利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算二重積分.3幾何意義:第4頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第5頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(1)oX—型區(qū)域5.區(qū)域D的幾種簡(jiǎn)單類型(2)oY－型區(qū)域第6頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二將D投影到x軸上，若投影區(qū)間為[a,b],用一組平行于y軸且與y軸同方向的直線穿越D，入口線方程為出口線方程為[X－型]區(qū)域D:o對(duì)[Y－型]同樣可用平行線穿越法.于是有：平行線穿越法把區(qū)域表示為不等式組的方法是：第7頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二注意：1.有的區(qū)域可以看成X-型區(qū)域,D:2.若為如圖所示的復(fù)雜區(qū)域D，則可以分割為:o而均為簡(jiǎn)單區(qū)域.也可看成Y-型區(qū)域.xoyDcadb如矩形區(qū)域第8頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分的計(jì)算法

第十章第9頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二假設(shè)：(1)且在D上連續(xù)，(2)其中：在上連續(xù).oD由二重積分的幾何意義，應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,而一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分第10頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二oD固定于是得到：則則x對(duì)應(yīng)的截面面積是第11頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二記注意：叫累次積分,也叫二次積分.2.本質(zhì)：化二重積分為二次定積分,先計(jì)算內(nèi)積分,后計(jì)算外積分.3.注意公式所對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域的類型.4.若被積函數(shù)可積,上述公式都成立.叫內(nèi)積分；叫外積分.第12頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二定理1定理2［Y－型］［X－型］第13頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,

為計(jì)算方便,可選擇積分次序,必要時(shí)還可以交換積分次序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則第14頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1.計(jì)算其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的三角形區(qū)域.解:(1)作出區(qū)域D的圖形o12xy(2)定限(平行線穿越法)(3)化為累次積分：(4)計(jì)算(先內(nèi)后外)y=xy=1x第15頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二另解:例1.計(jì)算其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的三角形區(qū)域.(1)作出區(qū)域D的圖形(2)定限(平行線穿越法)(3)化為累次積分：(4)計(jì)算(先內(nèi)后外)o2xyy=xy=1y12第16頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解:例2.求其中D是由拋物線和所圍平面區(qū)域.兩曲線的交點(diǎn)則oxyx第17頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二另解:［Y－型］oxyy第18頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分析:例3.如圖.則xyo11解:y第19頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4.計(jì)算其中D是由所圍的區(qū)域.解:xyox=y+2(4,2)(1,-1)－12區(qū)域D的圖形如右陰影部分，解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,－1),(4,2),則D：于是第20頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二則有

若積分區(qū)域D既是X-型又是Y-型，若按X-型(先對(duì)y

后對(duì)x)區(qū)域計(jì)算比較麻煩時(shí)，應(yīng)選取Y-型區(qū)域，先對(duì)x后對(duì)y進(jìn)行積分.xyox=y+2(4,2)(1,-1)-12第21頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二求二重積分的步驟:1.作圖求交點(diǎn)(在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)).2.確定積分次序(原則:內(nèi)積分易積,積分區(qū)域簡(jiǎn)單);函數(shù)原則，區(qū)域原則.4.計(jì)算(先內(nèi)積分后外積分;計(jì)算內(nèi)積分時(shí)把外積分變量看成常數(shù)).

故應(yīng)掌握交換積分次序,特別是有些累次積分不易積時(shí),應(yīng)考慮交換積分次序.3.定限(定X-型或Y型,把D寫成不等式形式).外限定限方法------投影法內(nèi)限定限方法--平行線穿越法第22頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例5.改變積分次序D:解:積分區(qū)域如圖:所以原式=1oxy1-1x=1+yx=1-yD注：改變積分次序的一般步驟：(1)由二次積分將區(qū)域D用不等式組表示；(2)由上面不等式組作出D的圖形；