第四節(jié)曲線與方程第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二1.了解解析幾何的基本思想．2．了解坐標(biāo)法．第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二1．曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點與一個二

元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上點的坐標(biāo)都是．(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是．那么這

個方程叫做

，這條曲線叫做．這個方程的解曲線上的點曲線的方程方程的曲線第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二[思考探究]如果只滿足第(2)個條件，會出現(xiàn)什么情況？提示：若只滿足“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”，則這個方程可能只是部分曲線的方程，而非整條曲線的方程，如分段函數(shù)的解析式．第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二2．求曲線方程的一般步驟第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二3．曲線的交點求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成

的方程組的解的問題．第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二1．方程x2＋xy＝x的曲線是(

)A．一個點B．一條直線C．兩條直線D．一個點和一條直線解析：方程變?yōu)閤(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，表示兩條直線．答案：C第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二2．到兩定點A(0,0)，B(3,4)距離之和為5的點的軌跡是(

)A．橢圓B．AB所在的直線C．線段ABD．無軌跡解析：|AB|＝5，∴動點的軌跡為線段AB.答案：C第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二3．已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M

(－1，2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是(

)A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二4．已知實數(shù)m，n滿足x2＋y2＝1，則P(m＋n，m－n)的軌跡

方程是____________．解析：令得，又∵m2＋n2＝1，得x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二5．設(shè)P為雙曲線－y2＝1上一動點，O為坐標(biāo)原點，M

為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是________．解析：設(shè)M(x，y)，則P(2x,2y)，代入雙曲線方程得x2－4y2＝1，即為所求．答案：x2－4y2＝1第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二1.如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)

系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，那么只需把

這種關(guān)系轉(zhuǎn)化成含有數(shù)值的表達式，通過化簡整理便可

得到曲線的方程，這種求曲線方程的方法是直接法．2．運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，

可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出

發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．這種求曲線方程的

方法是定義法．第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二3．應(yīng)用直接法求曲線方程可套用求軌跡方程的五個基本

步驟，但有時可省略證明這一步．用定義法求軌跡方

程的關(guān)鍵是緊扣解析幾何中有關(guān)曲線的定義，靈活應(yīng)

用定義．第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)點F(2,0)，動點P到y(tǒng)軸的距離為d，求滿足條件|PF|－d＝2的點P的軌跡方程．[思路點撥]第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二

[課堂筆記]法一：設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)由|PF|＝2＋d，得＝2＋|x|，即(x－2)2＋y2＝(2＋|x|)2.∴y2＝4|x|＋4x.當(dāng)x≥0時，y2＝8x；當(dāng)x<0時，y2＝0，即y＝0.故所求軌跡方程為y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0)．第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二法二：由題意|PF|＝2＋d，當(dāng)P在y軸右側(cè)時，可轉(zhuǎn)化為|PF|＝x＋2，即點P到定點F的距離等于到定直線l：x＝－2的距離，∴點P在拋物線y2＝8x上．當(dāng)P在y軸左側(cè)時，|PF|＝2－x，即點P到F(2,0)的距離等于P到直線x＝2的距離，從而有y＝0(x<0)，綜上可知所求軌跡方程為y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0)．第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二一動圓與圓x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同時過點(3,0)，求動圓圓心M的軌跡方程．

解：x2＋y2＋6x＋5＝0配方得：(x＋3)2＋y2＝4.設(shè)圓心為A.則A點坐標(biāo)為(－3,0)．(3,0)為點B，動圓半徑為R，則由此得：|MB|＝R，|MA|＝R＋2.第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二因此：|MA|－|MB|＝2＜|AB|＝6.故M點軌跡為雙曲線的右支，且2a＝2,2c＝6.即a＝1，c＝3，b＝2，因此其方程為：x2－＝1(x≥1).第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二1.動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點

P(x，y)卻隨另一動點Q(x′，y′)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡方程為給定或容易求得，則可先將

x′、y′表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法．第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二2．用代入法求軌跡方程的關(guān)鍵是尋求關(guān)系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲線．而求對稱曲線(軸對稱、中心對稱等)方程實質(zhì)上也是用代入法(相關(guān)點

法)解題．

第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且

，當(dāng)點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程．[思路點撥]第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二[課堂筆記]

設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，點N為軌跡上任意一點．∵＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋＝0.由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二∴，即∴－x＋＝0，即y2＝4x.故所求的點N的軌跡方程是y2＝4x.第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二在一些很難找到形成曲線的動點P(x，y)的坐標(biāo)x，y所滿足的關(guān)系式的情況下，往往借助第三個變量t，建立t和x，t和y的關(guān)系式x＝φ(t)，y＝φ

(t)，再通過一些條件消掉t就間接找到了x和y所滿足的方程，從而求出動點P(x，y)所形成的曲線的普通方程．第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二已知拋物線y2＝4px(p＞0)，O為頂點，A，B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，求點M的軌跡方程．[思路點撥]第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二[課堂筆記]

設(shè)M(x，y)，直線AB方程為y＝kx＋b.由OM⊥AB得k＝－.由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0.所以x1x2＝.消去x，得ky2－4py＋4pb＝0.第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二所以y1y2＝.由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，所以，b＝－4kp.故y＝kx＋b＝k(x－4p)．把k＝－代入，得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．即M1的軌跡方程為x2＋y2－4px＝0(x≠0)．

第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二軌跡方程的有關(guān)問題是高考的熱點內(nèi)容，幾乎每年都會考查，通常是第一問求軌跡方程，第二問考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.09年廣東高考題以直線和拋物線位置關(guān)系為載體，考查了曲線軌跡方程的求法及兩曲線的位置關(guān)系．第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二[考題印證](2009·廣東高考)(14分)已知曲線C：y＝x2與直線l：x－y＋2＝0交于兩點A(xA，yA)和B(xB，yB)，且xA＜xB.記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.設(shè)點P(s，t)是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合．(1)若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程；(2)若曲線G：x2－2ax＋y2－4y＋a2＋＝0與D有公共點，試求a的最小值．第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二【解】

(1)由解得A(－1,1)，B(2,4)．設(shè)點Q、M的坐標(biāo)分別為Q(x1，y1)，M(x，y)，依題意得x1＝，y1＝.于是x＝，y＝，∴s＝，t＝. ①(4分)第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二∵－1＜s＜2，∴－1＜＜2，即－＜x＜.又∵點P(s，t)在曲線C上，∴t＝s2.②(6分)將①代入②得＝()2.即y＝2x2－x＋(－＜x＜)．┄┄┄┄┄┄(7分)(2)曲線G的方程可化為(x－a)2＋(y－2)2＝，這是一個圓心為N(a,2)，半徑為的圓．設(shè)圓G與直線l：x－y＋2＝0相切于點T(xT，yT)，第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二則有，即a＝±.┄┄┄┄┄┄(9分)過點N(a,2)與直線l垂直的直線l′的方程是y－2＝－1×(x－a)，即x＋y－2－a＝0.由解得xT＝，yT＝＋2.當(dāng)a＝－時，－1＜xT＝－＜2.┄┄┄┄(12分)∵－1,2分別是D上的點的最小和最大橫坐標(biāo)，∴切點T∈D，故amin＝－.┄┄┄┄┄┄┄┄(14分)第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二[自主體驗]已知定點A(0,1)、B(0，－1)、C(1,0)，動點P滿足

＝2.(1)求動點P的軌跡D的方程；(2)從軌跡D外一點M向軌跡D引一條切線，切點為N，且有|MN|＝|MA|，求|MN|的最小值．第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二解：(1)設(shè)動點P(x，y)，∵A(0,1)、B(0，－1)、C(1,0)，且動點P滿足∴＝(x，y－1)·(x，y＋1)＝x2＋y2－1，2＝2||2＝2(1－x)2＋2(－y)2.化簡整理得動點P點的軌跡方程為：x2＋y2－4x＋3＝0.第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二(2)由(1)知P點的軌跡方程是圓：(x－2)2＋y2＝1，由于切線MN⊥DN，∴|MN|2＝|MD|2－1.∵|MN|＝|MA|，∴|MA|2＝|MD|2－1.設(shè)M(x，y)，則x2＋(y－1)2＝(x－2)2＋y2－1，化簡得：y＝2x－1，即點M在直線y＝2x－1上，∴|MN|的最小值即為|MA|的最小值，最小值d＝＝第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二1．方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲線形狀是(

)第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二解析：∵xy<0，∴x>0，y<0或x<0，y>0.答案：C第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二2．已知點A(－2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足＝x2，

則點P的軌跡是(

)A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線解析：＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，∴＝(x＋2)(x－3)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6，表示拋物線．答案：D第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二3．已知兩定點A(－2,0)、B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于(

)A．πB．4πC．8πD．9π解析：設(shè)P(x，y)，則|PA|2＝(x＋2)2＋y2，|PB|2＝(x－1)2＋y2，又|PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4，表示圓，∴S＝πr2＝4π.答案：B第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期二4．已知兩定點F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|P