理學自動控制原理胡壽松第1頁/共135頁

2.1.1什么是數(shù)學模型?

所謂的數(shù)學模型，是描述系統(tǒng)動態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式?？刂葡到y(tǒng)定量分析的基礎。

2.1.2數(shù)學模型的特點

1)相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學模型。抽象的變量和系統(tǒng)

2)簡化性和準確性：忽略次要因素，簡化之，但不能太簡單，結(jié)果合理

3)動態(tài)模型：變量各階導數(shù)之間關(guān)系的微分方程。性能分析

4)靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。放大倍數(shù)

2.1.3數(shù)學模型的類型

1)微分方程：時域其它模型的基礎直觀求解繁瑣

2)傳遞函數(shù)：復頻域微分方程拉氏變換后的結(jié)果

3)頻率特性：頻域分析方法不同，各有所長2-1數(shù)學模型的概念第2頁/共135頁2.1.4數(shù)學模型的建立方法

1)分析法：根據(jù)系統(tǒng)各部分的運動機理，按有關(guān)定理列方程，合在一起。

2)實驗法：黑箱問題。施加某種測試信號，記錄輸出，用系統(tǒng)辨識的方法，得到數(shù)學模型。

建模原則：選擇合適的分析方法－確定相應的數(shù)學模型－簡化2.2.1列寫微分方程式的一般步驟

1)分析系統(tǒng)運動的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。

2)忽略一些次要因素，合理簡化。

2.2系統(tǒng)微分方程的建立第3頁/共135頁3)根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。

4)列寫中間變量的輔助方程。

方程數(shù)與變量數(shù)相等！

5)聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。

6)將方程式化成標準形。

與輸出有關(guān)的放在左邊，與輸入有關(guān)的放在右邊，導數(shù)項按降階排列，系數(shù)化為有物理意義的形式。第4頁/共135頁

三個基本的無源元件：質(zhì)量m,彈簧k,阻尼器f對應三種阻礙運動的力:慣性力ma;彈性力ky;阻尼力fv

例2-1(P22例2-3)彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運動方程式。

解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。（2）設系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。

KmfF(t)y(t)2.2.2機械平移系統(tǒng)舉例第5頁/共135頁

（3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即

（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得

（6）整理方程得標準形

（4）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式KmfF(t)y(t)第6頁/共135頁

2.2.3電路系統(tǒng)舉例

例2-2（P21例2-1）電阻－電感－電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡微分方程式。令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為RCur(t)

uc(t)L第7頁/共135頁

解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。

（4）列寫中間變量i與輸出變量uc的關(guān)系式:

（5）將上式代入原始方程，消去中間變量得RCur(t)

uc(t)L（2）網(wǎng)絡按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負載效應。（3）由KVL寫原始方程：i(t)第8頁/共135頁（6）整理成標準形，令T1

=L/R，T2=RC，則方程化為

2.2.4線性微分方程的一般特征

觀察實際物理系統(tǒng)的運動方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式：第9頁/共135頁式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。

從工程可實現(xiàn)的角度來看，上述微分方程滿足以下約束：

（1）方程的系數(shù)為實常數(shù)，由系統(tǒng)自身參數(shù)決定；（2）左端的階次比右端的高,n>=m。這是因為實際物理系統(tǒng)均有慣性或儲能元件；（3）方程式兩端的各項的量綱應一致。利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。

第10頁/共135頁

相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。上面兩個例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。例2-1例2-2令uc=q/C模擬技術(shù)：當分析一個機械系統(tǒng)或不易進行試驗的系統(tǒng)時，可以建造一個與它相似的電模擬系統(tǒng)，來代替對它的研究。第11頁/共135頁

直流電動機是將電能轉(zhuǎn)化為機械能的一種典型的機電轉(zhuǎn)換裝置。在電樞控制的直流電動機中，由輸入的電樞電壓ua在電樞回路產(chǎn)生電樞電流ia

，再由電樞電流ia與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩MD

，從而使電樞旋轉(zhuǎn)，拖動負載運動。

Ra和La分別是電樞繞組總電阻和總電感。在完成能量轉(zhuǎn)換的過程中，其繞組在磁場中切割磁力線會產(chǎn)生感應反電勢Ea，其大小與2.2.5電樞控制的直流電動機（P21例2-2）MRauaLaiaif=常數(shù)Ea第12頁/共135頁激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與外加電樞電壓ua相反。下面推導其微分方程式。（1）取電樞電壓ua為控制輸入，負載轉(zhuǎn)矩ML為擾動輸入，電動機角速度為輸出量；（2）忽略電樞反應、磁滯、渦流效應等影響，當激磁電流不變if時，激磁磁通視為不變，則將變量關(guān)系看作線性關(guān)系；（3）列寫原始方程式電樞回路方程：uaMRaLaiaif=常數(shù)Ea第13頁/共135頁電動機軸上機械運動方程：

J—負載折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量;MD

—電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩;ML

—合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩。（4）列寫輔助方程Ea=keke—電勢系數(shù)，由電動機結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。

MD=kmiakm—轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動機結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。（5）消去中間變量，得第14頁/共135頁第15頁/共135頁令機電時間常數(shù)Tm:令電磁時間常數(shù)Ta:1)當電樞電感較小時，可忽略，可簡化上式如下：2-22一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)（2-21）第16頁/共135頁2)對微型電機，轉(zhuǎn)動慣量J很小，且Ra、La都可忽略測速發(fā)電機3)隨動系統(tǒng)中，取θ為輸出4)在實際使用中，轉(zhuǎn)速常用n（r/min）表示,設ML=0第17頁/共135頁小結(jié)物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗模擬的基礎。第18頁/共135頁通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元件（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。

系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。第19頁/共135頁線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：可加性：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)齊次性：f(αx)=αf(x)或：f(αx1+βx2)=αf(x1)+βf(x2)2-3

數(shù)學模型的線性化（P25）第20頁/共135頁非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。第21頁/共135頁非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。第22頁/共135頁線性系統(tǒng)微分方程的一般形式式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)，m≤n。第23頁/共135頁線性化問題的提出非線性現(xiàn)象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方有關(guān)；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。

線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。第24頁/共135頁線性化的提出線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；

非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復雜的； 對于實際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線性化模型近似代替非線性模型進行處理，能夠滿足實際需要。第25頁/共135頁(x?x0)+

非線性系統(tǒng)數(shù)學模型的線性化（P27） 泰勒級數(shù)展開法(1)函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：(x?x0)y=f(x)=f(x0)++2df(x)

dxx=x0(x?x0)3+Lx=x0

1d3f(x)3!dx3x=x0

1d2f(x)2!dx2第26頁/共135頁y=f(x0)+(x?x0)如果略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的項，則：

df(x)

dxx=x0或：y-y0=Δy=KΔx，其中：K=0df(x)

dxx=x上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實際意義。第27頁/共135頁增量方程的數(shù)學含義就是將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。(2)對多變量系統(tǒng)，如：y=f(x1,x2)，同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。第28頁/共135頁(x2?x20)+L

?f?x2(x1?x10)+

?f?x1y=f(x10,x20)+x1=x10x2=x20x1=x10x2=x20增量方程：y?y0=Δy=K1Δx1+K2Δx2靜態(tài)方程：y0=f(x10,x20),K2=其中：K1=

?f?x2

?f?x1x1=x10x2=x20x1=x10x2=x20第29頁/共135頁滑動線性化——切線法y=f(x)線性化增量方程為：y0αΔy’ΔyAΔy≈Δy'=Δx?tgαΔx0x切線法是泰勒級數(shù)法的特例。

x0非線性關(guān)系線性化第30頁/共135頁非線性系統(tǒng)的線性化微分方程的建立步驟確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點；列出各組成元件在工作點附近的增量方程；消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；第31頁/共135頁實例：單擺運動線性化解：根據(jù)牛頓第二定律：將非線性項sinθo=θo在θo=0點附近泰勒展開第32頁/共135頁一.復習拉氏變換及其性質(zhì)

1.定義

記X(s)=L[x(t)]

2.進行拉氏變換的條件

1)t0，x(t)=0；當t0，x(t)是分段連續(xù)；

2)當t充分大后滿足不等式x(t)Mect，M，c是常數(shù)。

3.性質(zhì)和定理

1)線性性質(zhì)

L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)

2-4線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第33頁/共135頁2)微分定理若,則…第34頁/共135頁若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重積分在t=0的值為0時，3)積分定理X（-1）(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理…第35頁/共135頁

5)初值定理如果x(t)及其一階導數(shù)是可拉氏變換的，并且

4)終值定理

若x(t)及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的，limx(t)存在，并且sX(s)除原點為單極點外，在jω軸上及其右半平面內(nèi)應沒有其它極點，則函數(shù)x(t)的終值為：存在，則第36頁/共135頁6)延遲定理L[x(t)1(t)]=esX(s)

L[eat

x(t)]=X(s+a)7)時標變換8)卷積定理第37頁/共135頁4.舉例簡單信號的拉氏變換

例2-3

求單位階躍函數(shù)x(t)=1(t)的拉氏變換。解：例2-4

求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變換。解：第38頁/共135頁例2-5

求正弦函數(shù)x(t)=sinωt的拉氏變換。解：

以上幾個函數(shù)是比較常用的，還有一些常用函數(shù)的拉氏變換可查表求得。第39頁/共135頁例2-6

求函數(shù)x(t)的拉氏變換。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)

A1(tt0)第40頁/共135頁例2-7

求指數(shù)函數(shù)eat的拉氏變換。解:例2-8

求e

0.2t的拉氏變換。解：第41頁/共135頁

，求x(0)，x()。解：例2-9

若二.復習拉氏反變換

1.定義由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)x(t)2.求拉氏反變換的方法

①根據(jù)定義，用留數(shù)定理計算上式的積分值②查表法第42頁/共135頁

③部分分式法

一般，象函數(shù)X(s)是復變量s的有理代數(shù)公式，即

通常m<n，a1,…,an；

b0,…,bm均為實數(shù)。首先將X(s)的分母因式分解，則有式中p1,…,pn是

D(s)=0的根，稱為X(s)的極點。分兩種情況討論：（1）D(s)=0無重根。第43頁/共135頁式中ci是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點si處的留數(shù)。（2）D(s)=0有重根。設有r個重根p1

，則第44頁/共135頁i=r+1,…,n…第45頁/共135頁3.舉例

例2-10，求原函數(shù)x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)第46頁/共135頁的原函數(shù)x(t)。例2-11

求解：s2

+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1

j)第47頁/共135頁

的原函數(shù)x(t)。解：例2-12

求第48頁/共135頁

用微分方程求解，需確定積分常數(shù)，階次高時麻煩；當參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時，需重新列方程求解，不利于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對性能的影響。用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：

1)對微分方程兩邊進行拉氏變換。

2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在s域的解。

3)求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。2.4.1.線性常系數(shù)微分方程的求解（對照課本26頁）微分方程式r(t)c(t)求解代數(shù)方程時域解c(t)Ls的代數(shù)方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-1第49頁/共135頁

例2-13

求解微分方程：

解：兩邊取拉氏變換

s2Y(s)

sy(0)

y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/sy(t)=5/25et

+

3/2e2t初始條件：y(0)=1,y(0)=2第50頁/共135頁

例2-14

圖示的RC電路，當開關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。

解：設輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)。由KVL寫出電路方程

電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換RC

uruc第51頁/共135頁當輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時，

得

式中右端第一項是由輸入電壓ur(t)決定的分量，是當電容初始狀態(tài)uc(0)=0時的響應，故稱零狀態(tài)響應；

第二項是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當輸入電壓ur(t)=0時的響應，故稱零輸入響應。第52頁/共135頁

用拉氏變換求解的優(yōu)點：1）復雜的微分方程變換成簡單的代數(shù)方程2）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換中,不用另行確定積分常數(shù)3）若所有的初值為0，拉氏變換式可直接用s代替,得到。當然，階次高時，求拉氏反變換也不太容易，幸運的是，往往并不需要求出解，可用圖解法預測系統(tǒng)的性能，可用相關(guān)性質(zhì)得到解的特征，初值、終值等，滿足工程需要。2.4.2傳遞函數(shù)的定義和實際意義（對照課本29頁）

微分方程是時域中的數(shù)學模型，傳遞函數(shù)是采用L[]法求解微分方程時引申出來的復頻域中的數(shù)學模型，它不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時對系統(tǒng)性能的影響，是經(jīng)典控制理論中最重要的模型。1定義

在線性定常系統(tǒng)中，當初始條件為零時，系統(tǒng)輸出拉氏變換與輸入拉氏變換的比，稱為傳遞函數(shù)，用G(S)表示。第53頁/共135頁即例2-7中，若令uc(0)=0，則有于是

可見，輸入與輸出之間的關(guān)系僅取決于電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)（固有特性）,與輸入的具體形式無關(guān)，無論輸入如何，系統(tǒng)都以相同的傳遞作用輸出信息或能量，因此稱之為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是代數(shù)式，其傳遞作用還經(jīng)常用方框圖直觀的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)第54頁/共135頁一般的，設線性定常系統(tǒng)的微分方程式為式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。在零初始條件下，對上式兩端進行拉氏變換得(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++am1s

+

am

)R(s)按定義，其傳遞函數(shù)為第55頁/共135頁G(s)是由微分方程經(jīng)線性拉氏變換得到，故等價，只是把時域變換到復頻域而已，但它是一個函數(shù)，便于計算和采用方框圖表示，廣泛應用。其分母多項式就是微分方程的特征多項式，決定系統(tǒng)的動態(tài)性能。從描述系統(tǒng)的完整性來說，它只能反應零狀態(tài)響應部分。但在工程實際當中：1）都是零初始條件的，即系統(tǒng)在輸入作用前是相對靜止的，即輸出量及其各階導數(shù)在t=0的值為零。2）輸入在t=0以后才作用于系統(tǒng)，即輸入及其各階導數(shù)在t=0的值為零；對于非0初始條件時，可采用疊加原理。第56頁/共135頁

2.4.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(a)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學模型，與系統(tǒng)的微分方程相對應。

(b)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。

(c)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因為拉氏變換是一種線性變換。(d)傳遞函數(shù)描述的是一對確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對中間變量不反應。

(e)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運動情況。（零狀態(tài)解）(f)傳遞函數(shù)一般為復變量s的有理分式，它的分母多項式是系統(tǒng)的特征多項式，且階次總是大于或等于分子多項式的階次，即nm。并且所有的系數(shù)均為實數(shù)。(g)傳遞函數(shù)與脈沖響應一一對應，是拉氏變換與反變換的關(guān)系。

系統(tǒng)辨識

第57頁/共135頁2G(s)的微觀結(jié)構(gòu)G(s)是關(guān)于s的有理分式，可分解成多種形式：1）零極點表達式

可知：傳遞函數(shù)定，零、極點和kg唯一確定，反之亦然。因此傳遞函數(shù)可用零極點和傳遞系數(shù)等價表示。零極點既可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)，表示在復平面上，形成的圖稱傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。反映系統(tǒng)的動態(tài)性能。因此對系統(tǒng)的研究，可變成對系統(tǒng)傳函的零、極點的研究了，這就是根軌跡法(chaper4)。傳遞系數(shù)，根軌跡增益第58頁/共135頁

2）時間常數(shù)表達式較容易分解成一些典型環(huán)節(jié)，第5章會大量應用p1p2j1

1

j

023p3z1

例如，試畫出下面?zhèn)鬟f函數(shù)的零極點圖。第59頁/共135頁再次提出傳遞函數(shù)以下特點：

(1)通過拉氏變換，實數(shù)域復雜的微積分運算轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算；

(2)輸入典型信號時，其輸出與傳遞函數(shù)有一定對應關(guān)系，當輸入是單位脈沖函數(shù)時，輸入的象函數(shù)為1，其輸出象函數(shù)與傳遞函數(shù)相同； （3）令傳遞函數(shù)中的s=jω，則系統(tǒng)可在頻率域內(nèi)分析（詳見第五章）；（4）G（s）的零極點分布決定系統(tǒng)動態(tài)特性（第四章）。第60頁/共135頁2-6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

可看成是若干稱為典型環(huán)節(jié)的基本因子的乘積，一般認為典型環(huán)節(jié)有6種，這些典型環(huán)節(jié),對應典型電路。這樣劃分對系統(tǒng)分析和研究帶來很大的方便。分述如下：

自動控制系統(tǒng)可以用傳遞函數(shù)來描述，任一復雜的傳遞函數(shù)G(s)，都可表示為：第61頁/共135頁1.比例環(huán)節(jié)（杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等）運動方程式c(t)=K

r(t)

傳遞函數(shù)G(s)=K

單位階躍響應C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可見，當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量c(t)成比例變化。

r(t)1c(t)t0K第62頁/共135頁2.慣性環(huán)節(jié)微分方程式：

式中，T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個負實極點p=1/T，無零點。傳遞函數(shù)：

j

01/T單位階躍響應:第63頁/共135頁3.積分環(huán)節(jié)微分方程式：傳遞函數(shù)：

階躍響應曲線是按指數(shù)上升的曲線。0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T第64頁/共135頁單位階躍響應：

當輸入階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出隨時間直線增長，增長速度由1/T決定。當輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。4.微分環(huán)節(jié)微分方程式為：r(t)t01c(t)t01T第65頁/共135頁

c(t)=T(t)

由于階躍信號在時刻t=

0有一躍變，其他時刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對階躍輸入的響應只在t=

0時刻產(chǎn)生一個響應脈沖。

理想的微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中很少獨立存在，常見的為帶有慣性環(huán)節(jié)的微分特性，傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：G(s)=Ts單位階躍響應：r(t)t01c(t)t0T第66頁/共135頁

式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T稱為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，ξ

為阻尼比，n為自然振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對位于s左半平面的共軛極點：傳遞函數(shù)為：或5.二階振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為：第67頁/共135頁單位階躍響應：式中，β=cos－1ξ。響應曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振蕩環(huán)節(jié)。c(t)t01np1p2

jd

ξn

j

0舉例：RLC串連電路，平移系統(tǒng)，直流電機第68頁/共135頁6.延遲環(huán)節(jié)微分方程式為：c(t)=r(t)傳遞函數(shù)為：單位階躍響應：

c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t01無理函數(shù)的工程近似：AB第69頁/共135頁2.7.1結(jié)構(gòu)圖的定義及基本組成1.結(jié)構(gòu)圖的定義

定義:由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

2-7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

下圖為討論過的直流電動機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用方框圖可描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，但卻不能定量分析，有了傳遞函數(shù)的概念后，就可迎刃而解。放大器電動機測速機urufuae+-第70頁/共135頁

轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)由三個環(huán)節(jié)（元件）構(gòu)成，把各元件的傳遞函數(shù)代入相應的方框中，并標明兩端對應的變量，就得到了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

用G(s)代替相應的元件，好處：補充了方框中各變量之間的定量關(guān)系，既能表明信號的流向，又直觀的了解元件對系統(tǒng)性能的影響；因此，它是對系統(tǒng)每個元件功能和信號流向的圖解表示，也就是對系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解表示。Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+第71頁/共135頁

2.結(jié)構(gòu)圖的基本組成

1）畫圖的4種基本元素

信號傳遞線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，傳遞線上標明被傳遞的信號。指向方框表示輸入，從方框出來的表示輸出。r(t),R(s)

分支點

表示信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)第72頁/共135頁

方框

表示對輸入信號進行的數(shù)學運算。方框中的傳遞函數(shù)是單向的運算算子，使得輸出與輸入有確定的因果關(guān)系。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加點對兩個以上的信號進行代數(shù)運算，“+”號表示相加，“”號表示相減。外部信號作用于系統(tǒng)需通過相加點表示。第73頁/共135頁2）結(jié)構(gòu)圖的基本作用：

(a)簡單明了地表達了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評價每一個元件對系統(tǒng)性能的影響。信號的傳遞嚴格遵照單向性原則，對于輸出對輸入的反作用，通過反饋支路單獨表示。

(b)對結(jié)構(gòu)圖進行一定的代數(shù)運算和等效變換，可方便地求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

(c)s=0時，表示的是各變量間的靜態(tài)特性，否則，動態(tài)特性。2.7.2結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟

(1)列寫每個元件的原始方程（保留所有變量，便于分析），要考慮相互間負載效應。

(2)設初始條件為零，對這些方程進行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)，然后分別以一個方框的形式將因果關(guān)系表示出來，而且這第74頁/共135頁些方框中的傳遞函數(shù)都應具有典型環(huán)節(jié)的形式。

(3)將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。

例2-16

畫出下圖所示RC網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)圖。

R

C

u1

u2

解：(1)列寫各元件的原始方程式

i第75頁/共135頁(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來得圖。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)第76頁/共135頁

2.7.3結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式

1.三種基本連接形式

(1)串聯(lián)。相互間無負載效應的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。

故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由圖可知：

U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去變量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)第77頁/共135頁

(2)并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。

由圖有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+第78頁/共135頁C(s)=C1(s)C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)

故環(huán)節(jié)并聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+第79頁/共135頁

(3)反饋連接

連接形式是兩個方框反向并接，如圖所示。相加點處做加法時為正反饋，做減法時為負反饋。由圖有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接的等效傳遞函數(shù)。第80頁/共135頁G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定義：G(s)：前向通道傳遞函數(shù)

E(s)C(s)H(s)：反饋通道傳遞函數(shù)

C(s)B(s)H(s)=1單位反饋系統(tǒng)G(s)H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)

E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中負反饋時取“+”號，正反饋時取“-”號。第81頁/共135頁2.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù)考察帶有擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。它代表了常見的閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般形式。（1）控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++第82頁/共135頁（2）擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令R(s)=0有

（3）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)的響應

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++第83頁/共135頁（4）控制輸入下的誤差傳遞函數(shù)（5）擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)（6）兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時的誤差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++第84頁/共135頁3.閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個特點

閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點通過定量分析，更令人信服。（1）外部擾動的抑制——較好的抗干擾能力（2）系統(tǒng)精度有可能僅取決于反饋通道的精度（3）各傳遞函數(shù)具有相同的特征方程式。動態(tài)特性相同（固有屬性）與輸入和輸出無關(guān)第85頁/共135頁2.7.4結(jié)構(gòu)圖的等效變換

變換的原則：變換前后應保持信號等效。1.引出點后移GRCRGRC1/GR2引出點前移GRCCGRCGC規(guī)律一：各前向通道傳遞函數(shù)的乘積保持不變規(guī)律二：各回路傳遞函數(shù)的乘積保持不變第86頁/共135頁4.比較點前移3.比較點后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F第87頁/共135頁5.比較點互換或合并R1CR2++R3R1CR2++R32.7.5結(jié)構(gòu)圖的簡化

對于復雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一般都有相互交叉的回環(huán)，當需要確定系統(tǒng)的傳函時，就要根據(jù)結(jié)構(gòu)圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉，然后按方框的連接形式等效，依次化簡。R1CR2+R3第88頁/共135頁RCG1G2G3H1H2例2-17用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2第89頁/共135頁方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1第90頁/共135頁

例2-18用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。RG1G2CG3RG1G2CG3解：第91頁/共135頁RG1G2CG3RG1G2CG31/G2第92頁/共135頁舉例2：試求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

第93頁/共135頁解：1、A點前移；

第94頁/共135頁2、消去H2(s)G3(s)反饋回路第95頁/共135頁3、消去H1(s)反饋回路第96頁/共135頁2.8.1信號流圖的基本概念

1.定義：信號流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。先看最簡單的例子。有一線性系統(tǒng)，它由下述方程式描述：x2=

a12x1式中，x1為輸入信號(變量)；x2為輸出信號(變量)；a12為兩信號之間的傳輸(增益)。即輸出變量等于輸入變量乘上傳輸值。若從因果關(guān)系上來看，x1為“因”，x2為“果”。這種因果關(guān)系，可用下圖表示。信號傳遞關(guān)系函數(shù)運算關(guān)系變量因果關(guān)系x1a12x22-8信號流圖及梅遜公式第97頁/共135頁

下面通過一個例子，說明信號流圖是如何構(gòu)成的。設有一系統(tǒng)，它由下列方程組描述：

x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x4把內(nèi)部變量結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系描述的一清二楚a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32第98頁/共135頁2.信號流圖的基本元素

(1)節(jié)點：用來表示變量，用符號“O”表示，并在近旁標出所代表的變量。

(2)支路：連接兩節(jié)點的定向線段，用符號“”表示。支路具有兩個特征：

有向性限定了信號傳遞方向。支路方向就是信號傳遞的方向，用箭頭表示。

有權(quán)性限定了輸入與輸出兩個變量之間的關(guān)系。支路的權(quán)用它近旁標出的傳輸值(增益)表示。第99頁/共135頁

3.信號流圖的幾個術(shù)語

節(jié)點及其類別

輸入節(jié)點(源點)

只有輸出支路的節(jié)點，它代表系統(tǒng)的輸入變量。如圖中x1。

混合節(jié)點

既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點，如圖中x2、x3。

輸出節(jié)點(匯點)

只有輸入支路的節(jié)點，它代表系統(tǒng)的輸出變量。如圖中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x2第100頁/共135頁

通道及其類別

通道從某一節(jié)點開始，沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過一些支路而終止在另一節(jié)點的路徑。用經(jīng)過的支路傳輸?shù)某朔e來表示。開通道如果通道從某一節(jié)點開始，終止在另一節(jié)點上，而且通道中的每個節(jié)點只經(jīng)過一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4

閉通道(回環(huán))

如果通道的終點就是起點的開通道。如a23a32，a33(自回環(huán))

。第101頁/共135頁

前向通道

從源節(jié)點到匯節(jié)點的開通道。

不接觸回路回路之間沒有公共的節(jié)點和支路。4.信號流圖的基本性質(zhì)

1）信號流圖只能代表線性代數(shù)方程組。

2）節(jié)點表示系統(tǒng)的變量，表示所有流向該節(jié)點的信號之（代數(shù)）和；而從該節(jié)點流向各支路的信號，均用該節(jié)點變量表示。

3）信號在支路上沿箭頭單向傳遞，后一節(jié)點變量依賴于前一節(jié)點變量，即只有“前因后果”的因果關(guān)系。

4）支路相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。

5）對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不唯一。第102頁/共135頁2.8.2信號流圖的繪制方法

1.直接法

例2-19

RLC電路如圖2-28所示，試畫出信號流圖。解：(1)列寫原始方程

(2)取拉氏變換，考慮初始條件：i(0+)，uc(0+)

(3)整理成因果關(guān)系RCur(t)

uc(t)Li(t)第103頁/共135頁

(4)畫出信號流圖如圖所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R1Cs1Ls+R第104頁/共135頁2.翻譯法例2-20

畫出下圖所示系統(tǒng)的信號流圖。

R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻譯法可直接作出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對應的信號流圖。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)-H(s)第105頁/共135頁系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖信號流圖變量節(jié)點輸入變量源節(jié)點比較點引出點

混合節(jié)點傳輸線

方框支路輸出端匯節(jié)點第106頁/共135頁2.8.3梅遜增益公式

1.梅遜增益公式輸入輸出節(jié)點間總傳輸?shù)囊话闶綖槭街蠵—

總傳輸(增益)；

n—

從源節(jié)點至匯節(jié)點前向通道總數(shù)；

Pk—第K條前向通路的傳輸；

—信號流圖的特征式；

k—第k條前向通路特征式的余因子式第107頁/共135頁

線性代數(shù)方程的克萊姆法則

為所有不同回環(huán)的增益之和；

為每兩個互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

為每三個互不接觸回環(huán)增益乘積之和；

為在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。第108頁/共135頁

解：信號流圖的組成：4個單回環(huán)，一條前向通道

=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)

bidjfkP1=abcdefgh1=10=1例2-21求圖所示系統(tǒng)的信號流圖輸入x0至輸出x8的總傳輸G。x0ax8bcdefghijkm第109頁/共135頁

例2-22

已知系統(tǒng)的信號流圖如下，求輸入x1至輸出x2和x3的傳輸。bx1gx2ax3jhci23efd

解：單回路：ac，abd，gi，ghj，

aegh

兩兩互不接觸回路：

ac與gi，ghj;abd與gi，ghj

＝1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)x1到x2的傳輸：

P1=2ab1=1

(gi+ghj)

P2=3gfab2

=1第110頁/共135頁bx1gx2ax3jhci23efd

x1到x3的傳輸：

P1=3

1=1(ac+abd)

P2=2ae2=1第111頁/共135頁例2-23試求信號流圖中的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。RCG1K111G2G31

解：單回路：G1，G2，G3，G1G2兩兩互不接觸回路:G1和G2，G1和G3，

G2和G3，G1G2和G3第112頁/共135頁RCG1K111G2G31三個互不接觸回路:G1，

G2和G3

前向通道：P1=G1G2G3K1=1P2=

G2G3K2=1+G1P3=

G3K3=1+G2RCG1K111G2G31P4=

G2

(1)G3K4=1第113頁/共135頁梅遜增益公式在結(jié)構(gòu)圖上的應用由于一一對應的關(guān)系，可以直接根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，利用梅遜公式直接寫出傳遞函數(shù)。例2-19已知結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試用梅遜公式求C(s)/R(s)。R(s)C(s)G1(s)G3(s)H(s)﹣+++++G2(s)G4(s)R1G11G3C-HG4G21.相加點處的-記入反饋支路增益中2.相加點與其輸入線上的分支點翻譯成相鄰的2個節(jié)點，增益為1，但代表不同變量比較點與其輸出線代表的是一個節(jié)點，但如果比較點前的輸入線有分支點，分支點和比較點就必須用兩個節(jié)點表示！第114頁/共135頁

解：

R(s)C(s)G1(s)G3(s)H(s)﹣+++++G2(s)G4(s)R1G11G3C-HG4G2第115頁/共135頁學習指導與小結(jié)1.基本要求通過本章學習，應該達到

1）正確理解數(shù)學模型的概念。

2）了解動態(tài)微分方程建立的一般方法。

3）掌握運用拉氏變換法解微分方程的方法，并對解的結(jié)構(gòu)、零輸入響應、零狀態(tài)響應等概念，有清楚的理解。

4）正確理解傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)和意義。

5）正確理解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、前向通道傳遞函數(shù)，并對重要傳遞函數(shù)如：控制輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)、擾動輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，能夠熟練掌握！第116頁/共135頁6）掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的定義和組成方法，熟練掌握等效變換代數(shù)法則，簡化結(jié)構(gòu)圖，并能用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

2.內(nèi)容提要本章介紹了數(shù)學模型的建立方法。線性定常系統(tǒng)數(shù)學模型的形式，介紹了兩種解析式（微分方程和傳遞函數(shù)）和兩種圖解法（結(jié)構(gòu)圖和信號流圖），對于每一種形式的基本概念、基本建立方法及運算，用以下提要方式表示出來。第117頁/共135頁（1）微分方程式基本方法直接列寫法原始方程組線性化消中間變量化標準形轉(zhuǎn)換法由傳遞函數(shù)微分方程式由結(jié)構(gòu)圖傳遞函數(shù)微分方程由信號流圖傳遞函數(shù)微分方程基本概念物理、化學及專業(yè)上的基本定律中間變量的作用簡化性與準確性要求第118頁/共135頁（2）傳遞函數(shù)基本概念定義線性定常系統(tǒng)零初始條件一對確定的輸入輸出典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)零極點分布圖單位階躍響應特性基本方法定義法由微分方程傳遞函數(shù)圖解法由結(jié)構(gòu)圖化簡傳遞函數(shù)由信號流圖梅遜公式傳遞函數(shù)第119頁/共135頁（3）結(jié)構(gòu)圖基本概念

數(shù)學模型結(jié)構(gòu)的圖形表示可用代數(shù)法則進行等效變換結(jié)構(gòu)圖基本元素（方框、相加點、分支點、支路）

基本方法

由原始方程組畫結(jié)構(gòu)圖用代數(shù)法則簡化結(jié)構(gòu)圖由梅遜公式直接求傳遞函數(shù)串聯(lián)相乘并聯(lián)相加反饋等效分支點與比較點的移動第120頁/共135頁O(∩_∩)O謝謝！第121頁/共135頁八、系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB實現(xiàn)Matlab簡介：?1980年前后，美國moler博士構(gòu)思并開發(fā)；?最初的matlab版本是用fortran語言編寫，現(xiàn)在的版本用c語言改寫；?1992年推出了具有重要意義的matlab4.0版本；并于1993年推出了其windows平臺下的微機版，目前7.0版,甚至88.00版是比較新的版本。第122頁/共135頁s+b+L+bm?1s+bmB(s)b01s

控制系統(tǒng)數(shù)學模型要分析系統(tǒng)，首先需要能夠描述這個系統(tǒng)。例如用傳遞函數(shù)的形式描述系統(tǒng)G(s)==

mm?1A(s)a0sn+a1sn?1+L+an?1s+an第123頁/共135頁在MATLAB中，多項式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。 如要輸入多項式：x4-12x3+25x+126

>>p=[1-120