第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu)(第十章、第十一章、第十二章)第一頁，共203頁。主要內(nèi)容：本章引言5.1代數(shù)系統(tǒng)的引入5.2

運(yùn)算及其性質(zhì)5.3半群5.4群與子群5.5阿貝爾群與循環(huán)群5.7陪集與拉格朗日定理5.8同態(tài)與同構(gòu)5.9環(huán)與域2第二頁，共203頁。

本章在集合、關(guān)系和函數(shù)等概念基礎(chǔ)上，研究更為復(fù)雜的對象——抽象的代數(shù)系統(tǒng)，代數(shù)系統(tǒng)也叫做抽象代數(shù)，抽象的代數(shù)系統(tǒng)也是一種數(shù)學(xué)模型，可以用它表示實(shí)際世界中的離散結(jié)構(gòu)。抽象代數(shù)在計(jì)算機(jī)中有著廣泛的應(yīng)用，例如自動(dòng)機(jī)理論、編碼理論、形式語義學(xué)、代數(shù)規(guī)范、密碼學(xué)等等都要用到抽象代數(shù)的知識。引言3第三頁，共203頁。

代數(shù)結(jié)構(gòu)的主要研究對象就是各種典型的抽象代數(shù)系統(tǒng)。它們將集合、集合上的運(yùn)算以及集合間的函數(shù)關(guān)系結(jié)合在一起進(jìn)行研究。引言4第四頁，共203頁。5-1代數(shù)系統(tǒng)的引入知識點(diǎn)理解代數(shù)系統(tǒng)的基本概念5第五頁，共203頁。代數(shù)系統(tǒng)的引入代數(shù)系統(tǒng)的一般概念粗略地說，代數(shù)系統(tǒng)是由一個(gè)特定的“集合”，以及定義于該集合上的若干“運(yùn)算”所組成。必須滿足兩個(gè)條件：（1）有一個(gè)非空集合A；（2）定義在該集合上的一個(gè)或多個(gè)運(yùn)算；6第六頁，共203頁。代數(shù)系統(tǒng)的引入（續(xù)）有關(guān)說明：(1)集合A是非空的，集合A給出了代數(shù)系統(tǒng)所研究的對象的范圍。(2)運(yùn)算是代數(shù)系統(tǒng)對其研究對象進(jìn)行加工的工具。注：運(yùn)算是廣義的，可以是具體的，如數(shù)學(xué)中的+、-、*、/，也可以是抽象的，如集合中的、、～，命題演算中的、、、、等。7第七頁，共203頁。定義5-1.1設(shè)A、B是集合,若f(x1,x2,…,xn)=y,其中<x1,x2,…,xn>An,yB,則稱f是集合A上的n元運(yùn)算。An=AA……A是笛卡爾積，即An={<a1,a2,……,an>|aiA}。代數(shù)系統(tǒng)運(yùn)算的定義8第八頁，共203頁。例5-1.1.設(shè)A={a,b,c},則A2=AA={<ai,aj>|ai,ajA}A2=AA={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>,<c,b>,<c,c>}例5-1.2.設(shè)A={a,b},則A3={a,b}{a,b}{a,b}A3={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,a,c>,………}代數(shù)系統(tǒng)運(yùn)算的定義9第九頁，共203頁。

n=1時(shí)，稱f為一元運(yùn)算,n=2時(shí),稱f為二元運(yùn)算,……,本章中,最常用的為一元運(yùn)算和二元運(yùn)算。可以用，*，△，●，⊕，☉等符號表示二元或一元運(yùn)算,稱為算符。對于二元運(yùn)算，如果x與y運(yùn)算得到z,記做z=xy對于一元運(yùn)算，x的運(yùn)算結(jié)果記作x。代數(shù)系統(tǒng)運(yùn)算的定義10第十頁，共203頁。代數(shù)系統(tǒng)運(yùn)算定義例例5-1.3設(shè)有函數(shù)f:N2N，對于任意<n1,n2>N2，f(n1,n2)=n1+n2f(3,5)=8,f(5,3)=8,f(3,9)=12例5-1.4設(shè)有函數(shù)g:I2I,I為正整數(shù)集，對于任意<i1,i2>I2，g(i1,i2)=i1-i2g(3,5)=-2,f(5,3)=2

但減法運(yùn)算在正整數(shù)集I上不封閉。11第十一頁，共203頁。例5-1.5一元函數(shù)：求倒數(shù)運(yùn)算~:R-{0}R-{0}為~（r)=1/r。~(1/2)=2，~(-8/3)=-3/8求倒數(shù)的運(yùn)算在實(shí)數(shù)集Ｒ上是不封閉的一元運(yùn)算。但可看作是R-{0}上封閉的一元運(yùn)算代數(shù)系統(tǒng)運(yùn)算定義例12第十二頁，共203頁。表示二元或一元運(yùn)算的方法---公式和運(yùn)算表所謂公式就是使用運(yùn)算符和表達(dá)式給出參與運(yùn)算的元素和運(yùn)算結(jié)果之間的映射規(guī)則。當(dāng)A是有限集時(shí)，A上的一元運(yùn)算和二元運(yùn)算有時(shí)采用運(yùn)算表的方式來定義。運(yùn)算表示：公式、運(yùn)算表13第十三頁，共203頁。a1a2……ana1a1a1a1a2……a1ana2a2a1a2a2……a2an…………………………anana1ana2……anan△a1a1△a1a2△a2…………an△an運(yùn)算表例5-1.6一元運(yùn)算運(yùn)算表二元運(yùn)算運(yùn)算表14第十四頁，共203頁。運(yùn)算表例5-1.6一架自動(dòng)售貨機(jī)，能接受一元和兩元五角的硬幣，而對應(yīng)商品是桔子水（瓶）、可口可樂（瓶）、冰淇淋（杯），當(dāng)人們投硬幣時(shí)，供應(yīng)的商品可用運(yùn)算表表示。*一元硬幣兩元五角一元硬幣兩元五角桔子水可口可樂可口可樂冰淇淋參與運(yùn)算的是錢，但運(yùn)算結(jié)果是商品15第十五頁，共203頁。定義5-1.2

一個(gè)非空集合A和定義在A上的k個(gè)運(yùn)算f1,f2,…fk組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),記做<A,f1,f2,…fk>。A有限集合，對應(yīng)的<A,f1,f2,…fk>為有限代數(shù)系統(tǒng)，否則為無限代數(shù)系統(tǒng)。判斷給定集合與運(yùn)算能否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)實(shí)際上是判斷所有給定的運(yùn)算是否為該集合上的運(yùn)算(任一元素都可參與運(yùn)算)。代數(shù)系統(tǒng)定義（1）非空集合（2）若干個(gè)運(yùn)算16第十六頁，共203頁。（1）<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>都是代數(shù)系統(tǒng),其中+和·分別表示普通加法和乘法。（2）<Mn(R),＋,·>是代數(shù)系統(tǒng),其中＋和·分別表示n階(n≥2)實(shí)矩陣的加法和乘法。（3）<Zn,⊕,☉>是代數(shù)系統(tǒng),其中Zn＝{0,1,…,n-1},和⊕,☉分別表示模n的加法和乘法,對于x,y∈Zn,x⊕y=(x＋y)modn,x☉y=(x*y)modn；（4）<(S),∪,∩,～>也是代數(shù)系統(tǒng),其中含有兩個(gè)二元運(yùn)算∪和∩以及一個(gè)一元運(yùn)算～。例5-1.7代數(shù)系統(tǒng)判定17第十七頁，共203頁。j+1j<>m1j=m例5-1.7代數(shù)系統(tǒng)判定f(j)=（5）時(shí)鐘代數(shù)設(shè)集合M={1,2,3,……,m}，f是一個(gè)一元運(yùn)算，稱其為循環(huán)移位運(yùn)算，則<M，f>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，此系統(tǒng)也稱為時(shí)鐘代數(shù)。18第十八頁，共203頁。知識點(diǎn)1.理解并掌握運(yùn)算的封閉、結(jié)合、交換、冪等性、分配、吸收律2.理解并掌握單位元、零元、逆元的定義及性質(zhì)3.了解各種運(yùn)算規(guī)律及特殊元素在運(yùn)算表中的特征5-2運(yùn)算及其性質(zhì)19第十九頁，共203頁。封閉性：定義5-2.1設(shè)Ａ是非空集合，*、△是A上的二元運(yùn)算。若對于任意x,yA，有x*y∈A，則稱二元運(yùn)算*在A上是封閉的例5-2.1設(shè)A={x|x=2n,nN,}，集合A上乘法運(yùn)算是否滿足封閉性？

乘法運(yùn)算滿足封閉封閉性20第二十頁，共203頁。運(yùn)算交換律定義5-2.2設(shè)Ａ是非空集合，*是A上的二元運(yùn)算。若對于任意x,yA，有x*y=y*x，則稱*在A上是可交換的。可交換的意味著運(yùn)算結(jié)果與元素的位置無關(guān)。例5-2.2Q是有理數(shù)集合，*是Q上的二元運(yùn)算，對任意a,bQ，a*b=a+b-a·b，證明*滿足交換律。21第二十一頁，共203頁。結(jié)合律、分配律前提：設(shè)Ａ是非空集合，*、△是A上的二元運(yùn)算。定義5-2.3若對于任意x,y,zA,有(x*y)*z=x*(y*z)則稱*在A上是可結(jié)合的。定義5-2.4若對于任意的x,y,zA,有x*(y△z)=x*y△x*z(第一分配律)(y△z)*x=y*x△z*x(第二分配律)則稱運(yùn)算*對運(yùn)算△是可分配的。注意：證明相關(guān)性質(zhì)時(shí)，若相應(yīng)等式成立，則滿足相應(yīng)性質(zhì)，對不成立的情況，需舉出反例說明。22第二十二頁，共203頁。例5-2.3

實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算*，定義為：x*y=x+y-xy，證明運(yùn)算有封閉、交換、結(jié)合的性質(zhì)。

證明：(1)任意x,y,都有x*y∈R，則*滿足封閉性。(2)任意x,yx*y=x+y-xy=y*x，所以*滿足交換律。(3)任意x,y,z,(x*y)*z=(x+y-xy)*z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+y+z-xy-xz-yz+xyzx*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz所以(x*y)*z=x*(y*z),*滿足結(jié)合律。封閉、交換律、結(jié)合律證明23第二十三頁，共203頁。例5-2.4實(shí)數(shù)乘法對于加法是可分配的，即對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，a(b+c)=ab+bc，(b+c)a=ba+ca。

注意：實(shí)數(shù)中，加法對于乘法不是可分配的，即不一定有a+(bc)=(a+b)(a+c)和(bc)+a=(b+a)(c+a)。

例如，1+2*3=7而(1+2)*(1+3)=12二者不等，即加法對乘法不可分配。分配律證明124第二十四頁，共203頁。例5-2.5設(shè)集合A={a,b},在A上定義兩個(gè)二元運(yùn)算*，△如下，運(yùn)算△對于運(yùn)算*可分配嗎？運(yùn)算*對于運(yùn)算△可分配嗎？*abaabbbaa△(a*a)=a△a=a=(a△a)*(a△a)=a*aa△(a*b)=a△b=a=(a△a)*(a△b)=a*aa△(b*a)=a△b=a=(a△b)*(a△a)=a*aa△(a*b)=a△b=a=(a△a)*(a△b)=a*ab也如此，運(yùn)算△對于運(yùn)算*可分配類(a*b)△

a，即△運(yùn)算符從后面分配也可以分配律證明2△abaaabab25第二十五頁，共203頁。分配律證明2b*(a△b)=b*a=b(b*a)△(b*b)=b△a=ab*(a△b)≠(b*a)△(b*b)運(yùn)算*對于運(yùn)算△不可分配△abaaabab*abaabbba26第二十六頁，共203頁。定義5-2.5設(shè)Ａ是非空集合，*、△是A上的二元運(yùn)算,其中*和△是可交換的,若對于任意x，yA，有x*(x△y)=x，x△(x*y)=x

則稱*和△在A上是可吸收的。吸收律定義27第二十七頁，共203頁。吸收律例例5-2.6設(shè)集合N為自然數(shù)全體，*、△是A上的二元運(yùn)算,若對于任意x,yN，有x△y=max(x，y)，x*y=min(x，y)，驗(yàn)證*和△在A上是可吸收的。

解：對于任意x，yN，*和△是可交換的，x*(x△y)=min(x，max(x，y))=xx△(x*y)=max(x，min(x，y))=x因此*和△在A上是可吸收的。28第二十八頁，共203頁。等冪律、冪等元定義5-2.6

設(shè)Ａ是非空集合，*是A上的二元運(yùn)算，若對于任意xA，有x*x=x，則稱*是等冪的。設(shè)*是集合A中的二元運(yùn)算，若xA且x*x=x，則稱x是A中關(guān)于運(yùn)算*的冪等元。注：集合A上的運(yùn)算*若滿足等冪，則集合A中的所有元素都冪等元。29第二十九頁，共203頁。例5-2.8

數(shù)的乘法運(yùn)算是實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算則０和１均是冪等元。

例5-2.7對于集合A的冪集(A)上的并∪運(yùn)算和交∩運(yùn)算，驗(yàn)證∪和∩是等冪的解：對于任意S(A)，S∪S=S，S∩S=S，因此∪和∩是等冪的(A)中的每一個(gè)元素都是冪等元。等冪律、冪等元范例30第三十頁，共203頁。定義5-2.7設(shè)*是集合A上的二元運(yùn)算，若存在一元素elA，使得對于任意的xA，有el*x=x，則稱el是A中運(yùn)算*的左幺元；若存在一元素erA，使得對于任意的xA，有x*er=x，則稱er是A中運(yùn)算*的右幺元。若存在一元素eA，使得對于任意的xA，有e*x=x*e=x，則稱e是A中運(yùn)算*的幺元。幺元（單位元）31第三十一頁，共203頁。b和d都是運(yùn)算*的左幺元，a是運(yùn)算的右幺元。例5-2.9設(shè)A={a,b,c,d}，*和是A上的兩個(gè)二元運(yùn)算。幺元（單位元）例32第三十二頁，共203頁。定理5-2.1設(shè)*是集合A上的二元運(yùn)算,el和er分別是A中運(yùn)算*的左幺元和右幺元，則el=er=e，且e是A中運(yùn)算*的唯一的幺元。證明:因?yàn)閑l和er分別是A中運(yùn)算*的左、右幺元，因此，el=el*er=er=e，令e=el=er，則e是A中運(yùn)算*的幺元。

唯一性：設(shè)e’也是A中運(yùn)算*的幺元，則e=e*e’=e’因此e是A中運(yùn)算*的唯一的幺元。幺元判定33第三十三頁，共203頁。定義5-2.8設(shè)*是集合A上的二元運(yùn)算，若存在一元素lA，使得對于任意的xA，有l(wèi)*x=l,則稱l是A中運(yùn)算*的左零元；若存在一元素rA，使得對于任意的xA，有x*r=r,則稱r是A中運(yùn)算*的右零元；

若存在一元素A，使得對于任意的xA，有*x=x*=,則稱是A中運(yùn)算*的零元。零元34第三十四頁，共203頁。定理5-2.2設(shè)*是集合A上的二元運(yùn)算,l和r分別是A中運(yùn)算*的左零元和右零元，則l=r=且是A中運(yùn)算*的唯一的零元。例5-2.10

設(shè)A={3,4,6,9,17,22},定義A上的二元運(yùn)算“min”，min(a,b)為a與b中之小者。解：對于任意xA，min(3,x)=3,3為零元對于任意xA，min(22,x)=x,22為幺元幺元、零元判定35第三十五頁，共203頁。定義5-2.9設(shè)*是集合A上具有幺元e的二元運(yùn)算，對于元素aA，若存在bA，使得b*a=e,則稱b為a的左逆元;使得a*b=e,則稱b為a的右逆元；若b*a=a*b=e,則稱b為a的逆元,并記b為a-1。注意：若b是a的逆元，則a也是b的逆元。一般地，一個(gè)元素的左逆元和右逆元不一定相等，不一定同時(shí)存在，可能不唯一。

元素的逆元36第三十六頁，共203頁。例5-2.11集合S={，，，，}，定義S上的二元運(yùn)算*如表所示，試指出每個(gè)元素的左、右逆元。逆元例的逆元：的左逆元：的右逆元：的左逆元：的右逆元：的左逆元：的右逆元：的左逆元：無的右逆元：注意：兩元素運(yùn)算結(jié)果是幺元，則互為左、右逆元，，，37第三十七頁，共203頁。例5-2.12定義實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算*：x*y=x+y-xy，考慮它是否存在在幺元、零元、逆元。

解：*滿足交換律若e是幺元，則對任意xR，應(yīng)有e*x=x*e=e+x-ex=x,即e=ex,因?yàn)閤是任意的，所以只有e=0若是零元，則對任意xR，應(yīng)有*x=x*=+x-x=即x=x，因?yàn)閤是任意的，所以只有=1，才能使得*x=特殊元素范例38第三十八頁，共203頁。設(shè)y是x的逆元,則應(yīng)有y*x=y+x-yx=0解得yx-y=x,即y(x-1)=x,所以y=x/(x-1)只要x≠1，R中任意元素x均有逆元其逆元是x/(x-1)。例如，5的逆元是5/4，5*5/4=5+5/4-5/4*5=0。特殊元素范例39第三十九頁，共203頁。定理5-2.3設(shè)*是集合A上具有幺元e且可結(jié)合的二元運(yùn)算，若任意元素aA有左逆元，則左逆元必是右逆元，且每個(gè)元素的逆元是唯一的。證明：(1)右逆元存在且與左逆元相等。設(shè)a，b，cA，b是a的左逆元，c是b的左逆元，因?yàn)閎=e*b=(b*a)*bc*b=c*((b*a)*b)=(c*(b*a))*b(*可結(jié)合）=(c*b)*a*b=e*a*b=a*b=e所以b也是a的右逆元。逆元判定定理40第四十頁，共203頁。逆元判定定理（2）a的逆元唯一。設(shè)b和c是a的兩個(gè)逆元，則b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c41第四十一頁，共203頁。補(bǔ)充定理5-2.4：設(shè)*是集合A上的二元運(yùn)算，且|A|>1。若運(yùn)算*有幺元e和零元，則e

證明：（反證法）設(shè)e=，因?yàn)閨A|>1，所以至少還有一元素aA,a，但a=a*e=a*==a矛盾。故必有e。幺元、零元關(guān)系42第四十二頁，共203頁。代數(shù)系統(tǒng)<A,*>中的*是二元運(yùn)算，其性質(zhì)可從運(yùn)算表看出。(1)封閉性：表中每個(gè)元素都屬于A。(2)可交換性：關(guān)于主對角線對稱。(3)等冪性：主對角線上的每一元素與所在行(列)的表頭元素相同。(4)零元：元素所對應(yīng)的行和列中元素都與其相同。(5)幺元：元素所對應(yīng)的行和列與運(yùn)算表頭元素相同(6)a和b互逆：a所在行(列)，b所在列(行)的元素是幺元。*運(yùn)算規(guī)律在運(yùn)算表中的特征43第四十三頁，共203頁。練習(xí)題1設(shè)有整數(shù)集I,對I中任意元素,定義運(yùn)算為:ab=a+b-2（1）運(yùn)算在I上是否封閉？()（2）運(yùn)算是否可交換？()（3）運(yùn)算是否可結(jié)合？()（4）運(yùn)算在I中是否有幺元？()（5）對運(yùn)算是否所有的元素都有逆元？（)（6）運(yùn)算在I中是否有冪等元？()（7）運(yùn)算在I中是否有零元？()

YYYY且e＝2YYN44第四十四頁，共203頁。5-3半群半群是一種特殊的、最簡單的代數(shù)系統(tǒng)半群在時(shí)序線路、形式語言、自動(dòng)機(jī)理論等領(lǐng)域都有具體的應(yīng)用知識點(diǎn)：半群獨(dú)異點(diǎn)有限半群有冪等元半群、獨(dú)異點(diǎn)的性質(zhì)

45第四十五頁，共203頁。1.半群定義定義5-3.1廣群：一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)<S，*>,其中S是非空集合，*是S上的一個(gè)二元運(yùn)算,如果運(yùn)算*是封閉的,則稱代數(shù)系統(tǒng)<S，*>為廣群。定義5-3.2半群：一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)<S，*>，其中S是非空集合，*是S上的一個(gè)二元運(yùn)算,如果（1）運(yùn)算*是封閉的（2）運(yùn)算*是可結(jié)合的，即對任意的x,y,z∈S，滿足（x*y)*z=x*(y*z)則稱代數(shù)系統(tǒng)<S,*>為半群。46第四十六頁，共203頁。半群例例5-3.1：判斷是否是半群（1）代數(shù)系統(tǒng)<Q,+>,<R,+>，<N，+>和<N，·>、<I，+>和<I，·>、<Q，·>和<R，·>,都是半群（2）<I,->和<R-{0},/>（3）設(shè)集合S={x|xI且x>=k,k>=0}。那么<S,+>是一個(gè)半群嗎？-，/不滿足結(jié)合律不是半群是半群47第四十七頁，共203頁。*abcaabcbabccabc解：*在S上封閉，且a,b,c均是左幺元，因此對x,y,z∈S,有x*(y*z)(x*y)*z例5-3.2：設(shè)集合S={a,b,c},在S上的一個(gè)二元運(yùn)算*定義如下，驗(yàn)證<S,*>是一半群。半群例=x*z=z=y*z=z滿足結(jié)合律<S,*>是一半群48第四十八頁，共203頁。2.半群元素的冪設(shè)<S，*>是半群，任意元素aS，則定義a1=aa2=a*aa3=a2*a=a*a2an+1=an*a(n=1,2,……)應(yīng)用結(jié)合律，并且對于任意正整數(shù)m和n，有am*an=am+n,（am)n=

amn(*)若a2=a，則稱a為等冪元素（冪等元）49第四十九頁，共203頁。例5-3.3：設(shè)有Z4=｛0,1,2,3｝，模4的加法運(yùn)算定義為a4b=mod4(a+b)。構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)<Z4,4>。0123012301231230230130124半群元素的冪例50第五十頁，共203頁。11=112=14

1=213=124

1=2*1=3

14=134

1=34

1=015=144

1=04

1=116=154

1=14

1=21n+1=1n4

1(n=1,2,……)21=222=24

2=023=224

2=04

2=2

24=234

2=24

2=025=244

2=04

2=22n+1=2n4

2(n=1,2,……)0123012301231230230130124半群元素的冪例51第五十一頁，共203頁。3.子半群定義5-3.3子半群：設(shè)<S,*>是一個(gè)半群，BS且B不為空，若<B,*>也是一個(gè)半群，則稱<B,*>是半群<S,*>的子半群。定理5-3.1：如果<S,*>是半群,BS且*在B上是封閉的，那么<B,*>也是半群。證明：因?yàn)?在S上是可結(jié)合的，而BS且*在B上封閉，所以*B上也是可結(jié)合的，因此，<B,*>是一個(gè)半群。52第五十二頁，共203頁。例5-3.4：子半群的判定（1）對于半群<N，+>，以下的代數(shù)系統(tǒng)是否是<N,+>的子半群。<N2，+>，其中N2={2n|nN}<N3，+>，其中N3={3n|nN}

<N4，+>，其中N4={4n|nN}（2）設(shè)*表示普通的乘法運(yùn)算，則以下代數(shù)系統(tǒng)是否是<R,*>的子半群。<[0,1],*>以上三個(gè)代數(shù)系統(tǒng)都<R,*>的子半群子半群例是<N，+>的子半群是<N，+>的子半群是<N，+>的子半群<[0,1],*><I,*>53第五十三頁，共203頁。4.有限半群中的冪等元證明：<S,*>是一個(gè)半群。對于任意bS,由*是封閉性可知b2=b*b∈S,b3=b2*b=b*b2S,……….因S是有限集，所以必定存在j>i,使得

bi=bj令p=j-i便有bi=

bp*bi=

bj

因p>=1，故總可以找到k>=1，使得kp>=1定理5-3.2：設(shè)<S,*>是一個(gè)半群，如果S是一個(gè)有限集，則必有aS，使得a*a=a。有冪等元54第五十四頁，共203頁。續(xù)：對于S中的元素bkp，就有bkp=

bp*bkp

=

bp*(bp*bkp)

=

b2p*bkp

=

b2p*(bp*bkp)=…=bkp*bkp這就證明了在S中存在元素a=bkp,使a*a=a。55第五十五頁，共203頁。5.獨(dú)異點(diǎn)定義5-3.4獨(dú)異點(diǎn)：若半群<S，*>中運(yùn)算*有幺元e，則稱<S，*>為獨(dú)異點(diǎn)；或含有幺元e的半群稱為獨(dú)異點(diǎn)。例5-3.5:獨(dú)異點(diǎn)的判定（其中*是數(shù)學(xué)中的乘法）(1)代數(shù)系統(tǒng)<R，*>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)?<R,*>是半群，且1是關(guān)于運(yùn)算*的幺元。(2)<I,*>，<I+,*>，<R,*>是獨(dú)異點(diǎn)嗎？具有幺元1的半群，都是獨(dú)異點(diǎn)。(3)<N-{0}，+>是獨(dú)異點(diǎn)嗎？(不是)原因：無幺元56第五十六頁，共203頁。證明：設(shè)S中關(guān)于運(yùn)算*的幺元是e，因?qū)τ谌我獾腶,bS且a<>b，總有e*a=a<>b=e*b一行元素不同即各列均不同一列元素不同即各行均不同和a*e=a<>b=b*e所以，在*的運(yùn)算表中不可能有兩行或兩行是相同的定理5-3.3：設(shè)<S,*>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，則在關(guān)于運(yùn)算*的運(yùn)算表中任何兩行（列）內(nèi)容都是不相同的獨(dú)異點(diǎn)中行與列中元素特征57第五十七頁，共203頁。獨(dú)異點(diǎn)是特殊的半群,可以把半群的冪運(yùn)算推廣到獨(dú)異點(diǎn)中去。由于獨(dú)異點(diǎn)S中含有幺元e,對于任意的x∈S,可以定義x的零次冪,即

x0=e

xn+1=xn*xnN獨(dú)異點(diǎn)的冪運(yùn)算也遵從半群的冪運(yùn)算規(guī)則獨(dú)異點(diǎn)中的冪運(yùn)算58第五十八頁，共203頁。例5-3.6：設(shè)I是整數(shù)集合，m是任意正整數(shù),Zm是由模m的同余類組成的同余類集，在Zm上定義兩個(gè)二元運(yùn)算+m和*m分別如下：對于任意的[i],[j]Zm

[i]+m[j]=[(i+j)(modm)][i]*m[j]=[(i*j)(modm)]

試證明在這兩個(gè)二元運(yùn)算的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都不相同。獨(dú)異點(diǎn)中行列元素特征舉例59第五十九頁，共203頁。證明：考察代數(shù)系統(tǒng)<Zm,+m>和<Zm,*m>1)由運(yùn)算+m和*m的定義，可知它們在Zm上都是封閉的。2)對于任意[i],[j],[k]∈Zm([i]+m[j])+m[k]=[i]+m([j]+m[k])=[(i+j+k)(modm)]([i]*m[j])*m[k]=[i]*m([j]*m[k])=[(i*j*k)(modm)]即+m和*m都是可結(jié)合的。獨(dú)異點(diǎn)證明例60第六十頁，共203頁。獨(dú)異點(diǎn)證明例續(xù)：3)因[0]+m[i]=[i]+m[0]=[i],[0]是<Zm,+m>中的幺元[1]*m[i]=[i]*m[1]=[i],[1]是<Zm,*m>中的幺元因此，代數(shù)系統(tǒng)<Zm,+m>,<Zm,*m>都是獨(dú)異點(diǎn)。由定理5-3.3可知，這兩個(gè)運(yùn)算的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。61第六十一頁，共203頁。獨(dú)異點(diǎn)中逆元證明：(1)因a-1是a的逆元，即

a*a-1=a-1*a=e(2)因(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*

b-1)*

a-1

=a*e*

a-1=a*

a-1=e

同理可證（b-1*

a-1）*（a*b）=e所以：(a*b)-1=b-1*

a-1定理5-3.4：設(shè)<S,*>是獨(dú)異點(diǎn)，對于任意a,bS,且a,b均有逆元，

則(1)(a-1)-1=a

(2)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*

a-1注意證明逆元的方法所以(a-1)-1=a

62第六十二頁，共203頁。1．判斷下述論斷正確與否，在相應(yīng)的括號中鍵入“Y”或“N”，(1)在實(shí)數(shù)集R上定義二元運(yùn)算*為：對于任意的a,b∈R，a*b=a+b+ab。(a)<R，*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)；（）(b)<R，*>是一個(gè)半群；（）(c)<R，*>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。（）練習(xí)YYYe=063第六十三頁，共203頁。(2)在實(shí)數(shù)集R上定義二元運(yùn)算為，對任意a,b∈R，aob=|a|·b(其中·表示通常數(shù)的乘法運(yùn)算)(a)<R,o>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)；（）(b)<R,o>是一個(gè)半群；（）(c)<R,o>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。（）YYN64第六十四頁，共203頁。本節(jié)小結(jié)集合S和運(yùn)算構(gòu)成半群的條件（封閉性、結(jié)合律）；集合S和運(yùn)算構(gòu)成獨(dú)異點(diǎn)的條件（封閉性、結(jié)合律、幺元）；半群與獨(dú)異點(diǎn)的兩條冪運(yùn)算規(guī)則：

xn*xm=xn+m，(xn)m=xnm

半群S的非空子集A構(gòu)成子半群的條件（A對于S中運(yùn)算封閉）；獨(dú)異點(diǎn)S的非空子集A構(gòu)成子獨(dú)異點(diǎn)的條件（A對于S中運(yùn)算封閉，幺元屬于A）。65第六十五頁，共203頁。5-4群知識點(diǎn)：群定義及證明群中的冪運(yùn)算群的階及群中元素的階群中無零元群方程群中運(yùn)算的消去律置換及應(yīng)用子群及證明方法（三種）重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)66第六十六頁，共203頁。1.群定義定義5-4.1群:設(shè)<G，*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果運(yùn)算*是封閉的，是可結(jié)合的，存在幺元e，且G中任何元素a都有逆元a-1，則稱<G，*>是一個(gè)群。67第六十七頁，共203頁。群定義4條件（1）對任意a,bG，有a*bG，即運(yùn)算*封閉；（2）對于任意的a,b,cG，有a*(b*c)=(a*b)*c，即*運(yùn)算滿足結(jié)合律；（3）存在一元素eG，使得對于任意的a∈G，有e*a=a*e=a，存在幺元；（4）對任意a∈G，相應(yīng)存在一元素a-1G，使得a-1*a=a*a-1=e，每個(gè)元素有逆元。68第六十八頁，共203頁。群判定例(1)<Z+，+>、<R，·>

<R，+>和<R-｛0｝，·>不是群(2)設(shè)G={a,b,c,d},*為G上的二元運(yùn)算,

它由下表給出,判定G是一個(gè)群。由表中可以看出G的運(yùn)算具有以下的特點(diǎn)：例5-4.1群舉例都是群元素?zé)o幺元0無逆元69第六十九頁，共203頁。運(yùn)算*封閉運(yùn)算*結(jié)合e為*運(yùn)算的幺元；運(yùn)算是可交換的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三個(gè)元素中,任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一個(gè)元素。稱這個(gè)群為Klein四元群,簡稱四元群。群判定例續(xù)：*eabceeabcaaecbbbceaccbae70第七十頁，共203頁。(3)設(shè)有Z4=｛0,1,2,3｝，模4的加法運(yùn)算定義為4,a4b=用4除(a+b)的余數(shù)，構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)<Z4,4>。4012301230123123023013012群判定例續(xù)：71第七十一頁，共203頁。對于任意的a,b,c∈Z4,令a4b=(a+b)-4m=r,0≤r≤3于是(a4b)4c=((a+b)-4m1)4c=(a+b)-4m1+c-4m2=(a+b+c)-4(m1+m2)=r10≤r1≤3a4(b4c)=a4((b+c)-4m3)=a+((b+c)-4m3)-4m4=(a+b+c)-4(m3+m4)=r20≤r2≤3群判定例續(xù)：由運(yùn)算表可知：運(yùn)算4在Z4上封閉72第七十二頁，共203頁。這說明r1，r2都是a+b+c除以4的余數(shù)，r1應(yīng)等于r2，因此(a4b)4c=a4(b4c),即4滿足結(jié)合律。0是運(yùn)算4的幺元0的逆元是0，1和3互為逆元，2的逆元是2。<Z4,4>是一個(gè)群。群判定例續(xù)：73第七十三頁，共203頁。2.群的冪運(yùn)算規(guī)則定理5-4.1:設(shè)<G,*>為群,則G中的冪運(yùn)算滿足：(1)a∈G,an*

am=an+m,其中n,mI.(2)a∈G,(an)m=anm,n,m∈I.(3)a∈G,(a-1)-1=a.(4)a,b∈G,(a*b)-1=b-1*

a-1.(5)(a-1)0=e,(a-1)n+1=(a-1)n*a–1(n=0,1,2,…)(*)引進(jìn)記號a-n=(a-1)n=a-1*a-1*…*a-1(n個(gè)a-1)因此（*）式可表示為(a-1)0=e,a-n-1=a-n*a-1(n=0,1,2,…)

74第七十四頁，共203頁。例如a5*a-2因?yàn)閍5*a-2=a5*(a-1)2=(a*a*a*a*a)*(a-1*a-1)=(a*a*a)*(a*a*a-1*a-1)=(a*a*a)*(a*(a*a-1)*a-1)=(a*a*a)*(a*e*a-1)=(a*a*a)*(a*a-1)=(a*a*a)*e=a*a*a=a3群的冪運(yùn)算續(xù)75第七十五頁，共203頁。又例如(a2)-3=a-6因?yàn)?a2)-3=((a2)-1)3=(a2)-1*(a2)-1*(a2)-1=(a*a)-1*(a*a)-1*(a*a)-1=(a-1*a-1)*(a-1*a-1)*(a-1*a-1)=(a-1)6群的冪運(yùn)算續(xù)

76第七十六頁，共203頁。3.有限群的階：定義5-4.2群的階：設(shè)<G,*>是一個(gè)群，如果G是有限集，則稱<G,*>為有限群，G中元素的個(gè)數(shù)通常稱為該有限群的階數(shù)，記為|G|。如果G是無限集，則稱<G,*>為無限群。an=e,n是最小正整數(shù)，稱n為元素a的階。例5-4.1(2)中的<G，*>是有限群，且|G|=4。例5-4.1(3)

<Z4,4>也是有限群，且|Z4|=4。注意：區(qū)分群的階、某元素的階77第七十七頁，共203頁。e的階1a的階2b的階2c的階2群中元素的階*eabceeabcaaecbbbceaccbae40123012301231230230130120的階11的階42的階23的階478第七十八頁，共203頁。無限群：例5-4.2：驗(yàn)證代數(shù)系統(tǒng)<I，+>是一個(gè)群，且是無限群，其中+是普通的加法運(yùn)算。證明：證明思路(1)運(yùn)算+在I上封閉(2)運(yùn)算+滿足結(jié)合律(3)幺元0(4)每個(gè)元素xI的逆元是-x(5)I是個(gè)無限集∴<I，+>是一個(gè)無限群。79第七十九頁，共203頁。特殊代數(shù)系統(tǒng)總結(jié)廣群：具有封閉二元運(yùn)算的非空集合半群：具有結(jié)合運(yùn)算的廣群獨(dú)異點(diǎn)：具有幺元的半群群：每個(gè)元素都有逆元的獨(dú)異點(diǎn)廣群半群獨(dú)異點(diǎn)群80第八十頁，共203頁。4.群中不可能有零元定理5-4.2：群中不可能有零元。證明：當(dāng)群的階為1時(shí)，它的唯一元素視作幺元。反證法：設(shè)|G|>1且群<G,*>有零元θ。那么群中任何元素xG，都有x*θ=θ*x=θ<>e,零元θ就不存在逆元，這與<G,*>是群相矛盾群中不可能有零元。若某代數(shù)系統(tǒng)中有零元，一定不是群81第八十一頁，共203頁。5.群方程定理5-4.3設(shè)<G,*>是一個(gè)群，對于a,bG。必存在唯一的xG,使得a*x=b。證明：（1）存在性，設(shè)a的逆元是a-1，令x=a-1*b則:a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b82第八十二頁，共203頁。5.群方程定理5-4.3設(shè)<G,*>是一個(gè)群，對于a,bG。必存在唯一的xG,使得a*x=b。證明：（2）唯一性，若有另一解x1，滿足a*x1=ba-1*(a*x1)=a-1*bx1=a-1*bx與x1相同，即解唯一。由（1）、（2）知a*x=b有且只有一個(gè)解83第八十三頁，共203頁。定理續(xù)：設(shè)<G,*>是一個(gè)群，對于a,bG。必存在唯一的xG,使得y*a=b。

群方程續(xù)證明：

方法同前，y=b*a-1。84第八十四頁，共203頁。定理5-4.4設(shè)<G,*>是一個(gè)群，對于任間a,b,cG，如果有a*b=a*c或者b*a=c*a，則必有b=c(消去律)。證明：設(shè)a*b=a*c,且a的逆元是a-1，則有b=e*b=(a-1*a)*b=a-1*(a*b)=a-1*(a*c)=a-1*a*c=e*c=c當(dāng)b*a=c*a時(shí)，可同樣證得b=c。書上：a-1*(a*b)=a-1*(a*c)(a-1*a)*b=(a-1*a)*ce*b=e*cb=c

6.消去律85第八十五頁，共203頁。7.置換定義5-4.3置換設(shè)S是一個(gè)非空集合，從集合S到S的一個(gè)雙射稱為S的一個(gè)置換。雙射：即是滿射，又是入射。如：集合S={a,b,c,d}，將a映射到b，b映射到c，c映射到a，d映射到c是一個(gè)從S到S上的一個(gè)一對一映射，該置換可表示為：abcdbdac群的運(yùn)算表中沒有兩行（或兩列）是相同的。86第八十六頁，共203頁。定理5-4.5

群<G,*>的運(yùn)算表中的每一行或每一列都是G的一個(gè)置換。證明：（1）證運(yùn)算表中的任一行（列）所含G中的元素不可能多于一次。(入射）反證法:若對應(yīng)于元素aG的那一行中有兩個(gè)元素都是c，即有a*b1=a*b2=c，且b1<>b2由群的消去律可得b1=b2，與b1<>b2矛盾。群置換定理87第八十七頁，共203頁。定理5-4.5

群<G,*>的運(yùn)算表中的每一行或每一列都是G的一個(gè)置換（2）證G中一每個(gè)元素都在運(yùn)算表中的每一行（列）中出現(xiàn)。（滿射）證明：對應(yīng)于元素aG的行，設(shè)b是G中的任一元素，由于b=a*(a-1*b)，b必定出現(xiàn)在對應(yīng)于a的那一行中。所以：運(yùn)算表中每一行（列）都是G中元素的一個(gè)置換，且每一行（列）都是不相同的。群置換定理續(xù)88第八十八頁，共203頁。群置換應(yīng)用：有限群舉例①

一階群僅有1個(gè)②

二階群僅有1個(gè)③

三階群僅有1個(gè)

*eee*eaea*eabeabbeaeeaaeeabab89第八十九頁，共203頁。群置換應(yīng)用：有限群舉例④四階群僅有2個(gè)（證略）*eabceabc*eabceabceceabbcecebaceabeaeeabceabcabcabc90第九十頁，共203頁。定理5-4.6：在群<G,*>中，除幺元e外，不可能有任何別的冪等元。等冪元：a*a=a證明：(1)e*e=e，所以e是冪等元。(2)反證法：現(xiàn)設(shè)有另外的冪等元aG,a<>e即a*a=a則a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e所以：與假設(shè)a<>e矛盾，得出在群中除幺元外，無其它冪等元。群除幺元，無其它冪等元（1）有冪等元（2）冪等元唯一91第九十一頁，共203頁。8.子群(定義、子群判定1)定義5-4.4

子群：設(shè)<G，*>是一個(gè)群，S是G的非空子集，若<S，*>也是群，則<S，*>必是<G，*>的子群。（子群判定1）

定理5-4.7：設(shè)<G,*>是一個(gè)群，<S，*>是<G,*>的一個(gè)子群，那么，<G,*>中的幺元e必定是<S,*>中幺元。證明：設(shè)<S,*>中的幺元為e1對于任一元素xSG，必有e1*x=x=e*x由消去律得e1=e。封閉結(jié)合幺元逆元子集92第九十二頁，共203頁。平凡子群定義5-4.5平凡子群：設(shè)<G,*>是一群，<S,*>是<G,*>的子群，若S={e},或者S=G，則稱<S,*>為<G,*>的平凡子群。即<{e},*>和<G,*>是<G,*>的平凡子群。93第九十三頁，共203頁。例5-4.3：<I,+>是群，設(shè)IE={x|x=2n,nI}，證明<IE，+>是<I,+>的一個(gè)子群證明：（1）對任意的x,yIE

，不妨設(shè)x=2n1,y=2n2,n1,n2I,則：x+y=2n1+2n2=2(n1+n2)所以x+yIE,即+在IE上封閉；（2）運(yùn)算+在IE上保持可結(jié)合性；（3）因0=2×00I，幺元0也在IE中子群例而n1+n2I

94第九十四頁，共203頁。例5-4.3：<I,+>是群，設(shè)IE={x|x=2n,nI}，證明<IE，+>是<I,+>的一個(gè)子群證明：（4）對于任意的xIE,必有n使得x=2n,且nI,而=-2n=2(-n)-nI，所以-xIE，而∴任一元素x都有逆元-x（5）IEI結(jié)論：<IE,+>是<I,+>的一個(gè)子群子群例-xx+(-x)=095第九十五頁，共203頁。子群判定2定理5-4.8：設(shè)<G,*>是一群，B是G的非空子集，若B是一個(gè)有限集，那么，只要運(yùn)算*在B上封閉，<B,*>必定是<G,*>的子群。(子群判定方法2)證明：（1）已知*在B上封閉；（2）*運(yùn)算保持<G,*>中*運(yùn)算的結(jié)合律；96第九十六頁，共203頁。4012301230123123023013012例5.4.4：冪運(yùn)算子群判定2引例0是幺元，設(shè)為e，11=112=141=213=1412=142=314=1413=143=015=1414=140=1=1116=1415=141=2=121j=1i(j>i)1i=1i4

1j-i=1j-i4

1i1j-i=e,j-i=4對于元素1，14=e97第九十七頁，共203頁。4012301230123123023013012例5.4.4：冪運(yùn)算0是幺元設(shè)為e，21=222=023=2422=240=2=2124=2423=242=0=222j=2i(j>i)2i=2i4

2j-i=2j-i4

2i2j-i=e,j-i=2對于元素2，22=e子群判定2引例98第九十八頁，共203頁。（3）若存在幺元e，即e*x=x*e=x設(shè)b是B中的任一元素，若*在B上封閉，則元素b2=b*bb3=b2*b=b*b2因B是有限集所以必存在正整數(shù)i和j不妨設(shè)i<j，使得bi=bj即bi=bi*bj-i

=bj-i*bi∴bj-i是<G,*>中的幺元因*運(yùn)算，則這個(gè)幺元也在子集B中。子群判定2續(xù)……都在B上99第九十九頁，共203頁。(4)若元素b有逆元a，即a*b=b*a=e=bj-iB中的任一元素b的逆元:對幺元e=bj-i,若j-i>1,那么由bj-i=bj-i-1*b=b*bj-i-1=e可知bj-i-1是b的逆元且bj-i-1B,若j-i=1,那么對于bi=bjbi=bi*b=b*bi,可知b就是幺元，而幺元是以自身為逆元的。綜上所述:<B,*>是群，且BG所以：<B,*>是<G,*>的一個(gè)子群。子群判定2續(xù)100第一百頁，共203頁。例5-4.5設(shè)G4={p=<p1,p2,p3,p4>|pi{0,1}},是G4上的二元運(yùn)算，對任意的X=<x1,x2,x3,x4>,Y=<y1,y2,y3,y4>G4

XY=<x1y1,x2y2,x3y3,x4y4>

其中的運(yùn)算表如右：

01001110G4={<0,0,0,0>,<0,0,0,1>,<0,0,1,0>,<0,0,1,1>,……,<1,1,1,1>}子群判定2例證明：B={<0,0,0,0>,<1,1,1,1>},<B,>是群<G4,>的子群。101第一百零一頁，共203頁。證明:首先證<G4,>是一個(gè)群。(1)對任X=<x1,x2,x3,x4>,Y=<y1,y2,y3,y4>,Z=<z1,z2,z3,z4>G4因xiyi{0,1}∴XYG4，運(yùn)算封閉(2)因（xiyi）zi=xi(yizi）(XY)Z=X(YZ)，即滿足結(jié)合律；(3)<0,0,0,0>是幺元。子群判定2例續(xù)

01001110102第一百零二頁，共203頁。證明:首先證<G4,>是一個(gè)群。(4)對G中的任意元素X有XX=<0,0,0,0>即任一X,以它自身為逆元∴<G4,>是一個(gè)群。再次：因B={<0,0,0,0>,<1,1,1,1>}是G4的子集且在B上是封閉的∴<B,>是<G4,>上的子群。子群判定2例續(xù)

01001110103第一百零三頁，共203頁。定理5-4.9：設(shè)<G，*>是群，S是G的非空子集，如果對于S中的任意元素a,b，有a*b-1S，則<S,*>是<G,*>的子群證明：（1）首先證明：G中的幺元e也是S中運(yùn)算*的幺元；任取S中的元素a，aSG，所以e=a*a-1S且a*e=e*a=a，即e也是S中的幺元；（2）S中的每一元素都有逆元；對任一元素aS,eSe*a-1S子群判定3（重點(diǎn)）即a-1S。104第一百零四頁，共203頁。子群判定3續(xù)（3）*在S上是封閉的，即a*bS，對任意的a,bS，由上可知b-1S，而b=(b-1)-1所以a*b=a*(b-1)-1S。（4）運(yùn)算*在S上的可結(jié)合性是保持的。因此，<S，*>是<G，*>的子群。定理5-4.9：設(shè)<G，*>是群，S是G的非空子集，如果對于S中的任意元素a,b，有a*b-1S，則<S,*>是<G,*>的子群105第一百零五頁，共203頁。例5-4.6設(shè)<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群，試證明<H∩K,*>是<G,*>的子群。證明：設(shè)任意a,bH∩K，有a,bH，且a,bK因?yàn)?lt;H,*>和<K,*>都是子群，所以b-1H,b-1K由于*在H和K中的封閉性，所以a*b-1H，a*b-1K即a*b-1H∩K，由判定方法3知<H∩K,*>是<G,*>的子群。子群判定3例106第一百零六頁，共203頁。解法一：例5-4.7設(shè)<G，*>是一個(gè)群，a是G中任一元素，令H={ai|iI}={…,a-3,a-2,a-1,a0,a1,a2,…}即H是a的所有整數(shù)次冪的集合，問H對于運(yùn)算能否構(gòu)成<G，*>的子群？

(2)對任意ai,ajH，有ai*aj=ai+j因?yàn)閕+jI，所以ai+jH，*在H上封閉；(3)對任意aiH,有a-i*ai=ai*a-i=a0=e,*運(yùn)算有幺元(4)由上知：a-i是ai的逆元∴<H，*>是群,且是<G，*>的子群。子群判定例(1)顯然H是G的非空子集,*運(yùn)算的結(jié)合律保持。107第一百零七頁，共203頁。解法二:例5-4.7設(shè)<G，*>是一個(gè)群，a是G中任一元素，令H={ai|iI}={…,a-3,a-2,a-1,a0,a1,a2,…}即H是a的所有整數(shù)次冪的集合，問H對于運(yùn)算能否構(gòu)成<G，*>的子群？

(2)對任意ai,ajH，有ai*(aj)-1

=ai*a-j

=ai-j因?yàn)閕-jI，所以ai*

(aj)-1H∴<H，*>是群,且是<G，*>的子群。子群判定例(1)顯然H是G的非空子集108第一百零八頁，共203頁。關(guān)于元素的階(補(bǔ)充）定理5-1群<G，*>中的元素a若具有有限階n，則當(dāng)且僅當(dāng)k是n的整數(shù)倍時(shí)，ak=e。

定理5-2

群中任一元素與它的逆元具有相同的階。定理5-3在有限群<G，*>中，每個(gè)元素均具有有限階，且階不超過群<G，*>的階。

109第一百零九頁，共203頁。定理5-1若群<G,*>,aG具有有限階n,則ak=e,當(dāng)且僅當(dāng)k是n的整數(shù)倍證明:(1)充分性：若k是n的整數(shù)倍,則ak=ea的階n,則an=ek是n的整數(shù)倍,即k=mn,mI，則ak=amn=(an)m=em=e即ak=e關(guān)于元素的階(補(bǔ)充定理1）110第一百一十頁，共203頁。(2)必要性：若ak=e，則k是n的整數(shù)倍反證法：設(shè)k不是n的整數(shù)倍，則設(shè)k=mn+t,0≤t<n,mIat=ak-mn=ak*(an)-m=e*(e)-m=e由定義知:n是使an=e的最小正整數(shù)因0≤t<nt=0，(t0,ate)k=mn證畢。

關(guān)于元素的階(補(bǔ)充定理1）即t=k-mn111第一百一十一頁，共203頁。證明元素a和b的階相等的基本方法設(shè)元素a的階為n,an=e元素b的階為m,bm=e證明：a,b的階相等，即證m=n思路：證明n|m和m|n若am=e，則m是n的整數(shù)倍，n|m若bn=e，則n是m的整數(shù)倍，m|n∴m=n112第一百一十二頁，共203頁。定理5-2群中任一元素和它的逆元具有同樣的階證明:設(shè)aG具有有限階n,a-1具有有限階m∵(a-1)n=a-1n=(an)-1=e-1=e

n是m的倍數(shù)，即m|n∵am=((a-1)m)-1=e-1=e

m是n的倍數(shù)，即n|m

m=n關(guān)于元素的階(補(bǔ)充定理2）113第一百一十三頁，共203頁。定理5-3在有限群<G，*>中，每個(gè)元素均具有有限階，且階不超過群<G，*>的階。證明:設(shè)<G,*>是有限群，|G|=n，對任意aG，構(gòu)造序列a,a2,a3…,an,an+1,因?yàn)閨G|=n，所以序列中必存在ai=aj，1≤i<j≤n+1，于是ai*aj-i=aj-i*ai=ai,得到aj-i=e,0<j-i≤n因此a的階至多為j-i,而j-i<|G|。關(guān)于元素的階(補(bǔ)充定理3）114第一百一十四頁，共203頁。補(bǔ)充：偶數(shù)階群必含2階元。偶數(shù)階群必含2階元證明：由x2=e|x|=1或2。換句話說,對于G中元素x，如果|x|>2,必有x-1≠x。由于|x|=|x-1|，階大于2的元素一定是成對出現(xiàn)，共有偶數(shù)個(gè)。那么剩下的1階和2階元總共應(yīng)該是偶數(shù)個(gè)。1階元只有1個(gè)，就是幺元，從而證明了G中必有2階元。利用|x|=|x-1|和x=x-1

|x|=1或2。

115第一百一十五頁，共203頁。本節(jié)小結(jié)：掌握群的基本概念及證明理解群的階及群中元素的階靈活運(yùn)用群中元素的冪理解置換及置換在群中的應(yīng)用理解并掌握群中無零元掌握群中運(yùn)算滿足消去律重點(diǎn)掌握并靈活運(yùn)用子群的三種判定方法116第一百一十六頁，共203頁。5-5阿貝爾群和循環(huán)群知識點(diǎn)阿貝爾群阿貝爾群的充要條件循環(huán)群循環(huán)群必是阿貝爾群有限循環(huán)群定理重點(diǎn)重點(diǎn)，難點(diǎn)重點(diǎn)117第一百一十七頁，共203頁。1.阿貝爾群（交換群）阿貝爾群（交換群）定義5-5.1若群<G,*>中的運(yùn)算*是可交換的，則稱其為阿貝爾群(Abel)或交換群。118第一百一十八頁，共203頁。例5-5.1，設(shè)S={a,b,c,d},在S上定義一個(gè)雙射函數(shù)f:f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a,對于任一xS，構(gòu)造復(fù)合函數(shù)。

f2(x)=ff(x)=f(f(x))

f3(x)=ff2(x)=f(f2(x))

f4(x)=ff3(x)=f(f3(x))

如果用f0表示S上的恒等函數(shù)，即f0(x)=x,xS,

很明顯地有f4(x)=f0(x),記f1=f，構(gòu)造集合F={f0,f1,f2,f3}，那么<F,>是一個(gè)阿貝爾群。

阿貝爾群例119第一百一十九頁，共203頁。例5-5.1對于F中的函數(shù)復(fù)合的運(yùn)算表f0ff2f3f0ff2f3f0ff2f3f1f2f3f0f2f3f0f1f3f0f1f2從表中可知在F上封閉；運(yùn)算是可結(jié)合的；f0是關(guān)于的幺元；f和f3互逆，f2的逆元是f2；從表中觀察到關(guān)于主對角線對稱，即可交換；所以，<F,>是阿貝爾群。120第一百二十頁，共203頁。定理5-5.1

設(shè)<G,*>是群，<G,*>是阿貝爾群的充分必要條件是對任意a,bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)即(a*b)2=a2*b2證明：必要性，<G,*>是阿貝爾群，則對任意a,bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因?yàn)?lt;G,*>是阿貝爾群，所以a*b=b*a。(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)結(jié)論得證2.阿貝爾群判定充要條件121第一百二十一頁，共203頁。證明：充分性，設(shè)對任意a,bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，則<G,*>是阿貝爾群，即證明a*b=b*a因?yàn)榻Y(jié)合律(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b所以a*(b*a)*b=a*(a*b)*b所以由消去律可知，a*b=b*a故<G,*>是阿貝爾群。阿貝爾群判定充要條件（續(xù)）122第一百二十二頁，共203頁。例5-5.2：設(shè)<G,*>為群，對任意的x∈G有x2=e,證明<G,*>是阿貝爾群。證明：方法一，利用定義來證，證*滿足交換律由已知，對于G中任意元素都有x2=e，即x*x=e，所以x=x-1。任取x,y∈G,必有x*y=(x*y)-1=y-1*x-1=y*x*運(yùn)算滿足交換律所以<G,*>是阿貝爾群。

阿貝爾群判定條件的應(yīng)用123第一百二十三頁，共203頁。阿貝爾群判定條件的應(yīng)用（續(xù)）證明：方法二，利用定理來證。即證(x*y)2=x2*y2,對任意的x,y∈G，x*y∈G(x*y)2=e=e*e=x2*y2。根據(jù)判定定理得<G,*>是阿貝爾群。

例5-5.2：設(shè)<G,*>為群，對任意的x∈G有x2=e,證明<G,*>是阿貝爾群。124第一百二十四頁，共203頁。定義5-5.2在群<G，*>中,

如果存在一元素aG，使得每一元素xG,都能表示成ai(iI)的形式,則稱群<G，*>為循環(huán)群,稱a為該循環(huán)群的生成元,并稱群<G，*>由元素a生成。3.循環(huán)群125第一百二十五頁，共203頁。循環(huán)群例n=1+1+…+1=1n-n=(-1)+(-1)+……+(-1)1-1+1-1+……+1-1=(1-1)n=1-n例5-5.3群<I，+>是否是循環(huán)群？答：(1)對元素110=0對任意正整數(shù)n，即：按照群中元素的冪的表示方法n=1n.對任意負(fù)整數(shù)-n,按照群中逆元的表示方法-n=(2)對元素-1(-1)0=0n=(-1)-n-n=(-1)n群<I,+>是循環(huán)群元素1、-1都是生成元由本例知：生成元可以不唯一126第一百二十六頁，共203頁。例5-5.4群<Z4，4>證明：∵10=0，11=1，12=141=2,13=1241=241=3，∴1能表示群中所有元素。又∵30=0，31=3，32=343=2,33=3243=243=1，∴3能表示群中所有元素。4012301230123123023013012循環(huán)群例群<Z4,4

>是循環(huán)群元素1、3都是生成元127第一百二十七頁，共203頁。4.任何循環(huán)群必是阿貝爾群定理5-5.2任何循環(huán)群必是阿貝爾群。證明：設(shè)<G,*>是循環(huán)群，其生成元是a則對于任意x，yG，必有r，sI，使x=ar,y=as而且x*y=ar*as=ar+s=as+r

=as*ar=y*x因此，<G,*>是阿貝爾群。即*滿足交換律128第一百二十八頁，共203頁。例5-5.5設(shè)G={a,b,c,e},*是G上的二元運(yùn)算，<G,*>是群。*eabceabcaecbbceacbaeeabc證明：a*a=b*b=c*c=e*e=ea*b=b*a=c,b*c=c*b=a，a*c=c*a=b，<G，*>為Klei