PAGEPAGE3向量專題☆零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行☆單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量向量為單位向量｜｜＝1☆平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也稱為共線向量☆向量加法=向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：，但這時(shí)必須“首尾相連”．☆實(shí)數(shù)與向量的積：①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的☆兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=☆平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底☆平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則，若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則，☆向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)☆兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定☆向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影☆數(shù)量積的幾何意義：·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積☆向量的模與平方的關(guān)系：☆乘法公式成立：；☆向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題補(bǔ)充：線段的定比分點(diǎn)

類型（四）投影問題已知，的夾角，則向量在向量上的投影為在△中，3．關(guān)于且，有下列幾種說法：①；②；③④在方向上的投影等于在方向上的投影；⑤；⑥其中正確的個(gè)數(shù)是（）（A）4個(gè)（B）3個(gè)（C）2個(gè)（D）1個(gè)類型（五）求向量的模的問題已知零向量已知向量滿足已知向量，4．已知向量的最大值為6.設(shè)向量，滿足及，求的值類型（六）平面向量基本定理的應(yīng)用問題1．若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），則等于（）(A)(B)(C)(D)2.已知3.設(shè)是平面向量的一組基底，則當(dāng)時(shí)，4.下列各組向量中，可以作為基底的是（）(A)(B)(C)(D)5.(A)(B)(C)(D)類型（七）平面向量與三角函數(shù)結(jié)合題1.已知向量，，設(shè)函數(shù)⑴求函數(shù)的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值．2.已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別是a、b、c，平面向量，平面向量（I）如果求a的值；（II）若請(qǐng)判斷的形狀.3.已知向量,函數(shù)(1)求的周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)若在中，角所對(duì)的邊分別是，，求的取值范圍。

向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心一、四心的概念介紹（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設(shè)是的重心.證法2：如圖三點(diǎn)共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設(shè),,是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，令（)化簡(jiǎn)得（4）為的外心。典型例題：例1：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點(diǎn).//點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，即選.例2：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（B）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，即選.例3：是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.===+=0點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心，即選.

空間向量

空間直角坐標(biāo)系的原則：

規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空間任意一個(gè)向量與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。

一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。

設(shè)，，

則：

空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：空間兩點(diǎn)間距離：；

空間線段的中點(diǎn)M（x，y，z）的坐標(biāo)：；

1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系（同平面向量）2：利用空間向量求線線角、線面角（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則3：利用空間向量求二面角其計(jì)算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等，操作方法：1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。（1）異面直線所成的角的范圍是。轉(zhuǎn)化為共面問題。（2）直線與平面所成的角的范圍是。射影轉(zhuǎn)化法。（3）二面角的范圍一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法①棱上一點(diǎn)雙垂線法：②面上一點(diǎn)三垂線法：③空間一點(diǎn)垂面法：斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。2．空間的距離點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。ababEF（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b的法向量，點(diǎn)E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線a與b之間的距離是；（2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離ABCα如右圖所示，已知AB是平面α的一條斜線，為平面α的法向量，則A到平面α的距離為ABCα（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個(gè)平面α與β，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者。αβαβ

向量的應(yīng)用1.在四邊形ABCD中，·=0，=，則四邊形ABCD是A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形解析：由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四邊形ABCD是矩形.答案：C2.已知a、b是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a+tb（t∈R）的模取最小值時(shí)，（1）求t的值；（2）求證：b⊥（a+tb）.解：（1）設(shè)a與b的夾角為θ，則所以當(dāng)t=－cosθ=－=－時(shí)，|a+tb|有最小值.（2）證明：因?yàn)閎·（a+tb）=b·（a－·b）=a·b－a·b=0，所以b⊥（a⊥tb）.已知=a，=b，a·b=|a－b|=2，當(dāng)△AOB面積取最大值時(shí)，求a與b的夾角.解：因?yàn)閨a－b|2=4，所以a2－2a·b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a·b=8，S△AOB=·sinθ=|a||b|==≤=，（當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=2時(shí)取等號(hào)）所以當(dāng)|a|=|b|=2時(shí)，△AOB的面積取最大值，這時(shí)，cosθ===，所以θ=60°.3.如圖，△ABC的BC邊的中點(diǎn)為M，利用向量證明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.證明：設(shè)=m，=b，=c，則m=，m·m=·=b2+b·c+c2=AB2+AC2+AB·AC·cos∠BAC=AB2+AC2+AB·AC·=AB2+AC2+（AB2+AC2－BC2）.∴AM2=AB2+AC2－BC2.又∵BC2=4BM2，∴AB2+AC2=2（AM2+BM2）.4.已知A（4，0），N（1，0），若點(diǎn)P滿足·=6||.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線；（2）求||的取值范圍；（3）若M（－1，0），求∠MPN在［0，π］上的取值范圍.解：（1）設(shè)P（x，y），=（x－4，y），=（1－x，－y），=（－3，0），∵·=6||，∴－3（x－4）=6，即3x2+4y2=12.∴=1.∴P點(diǎn)的軌跡是以（－1，0）、（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.（2）N（1，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，x=4為右準(zhǔn)線，設(shè)P（x0，y0），P到右準(zhǔn)線的距離為d，d=4－x0，=e=，|PN|=d=.∵－2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3.當(dāng)|PN|=1時(shí)，P（2，0）；當(dāng)|PN|=3時(shí)，P（－2，0）.（3）令|PN|=t（1≤t≤3），則|PM|=4－t，|MN|=2，cos∠MPN===－1+.由1≤t≤3，得3≤t（4－t）≤4，∴≤cos∠MPN≤1.∴0≤∠MPN≤.5.如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A（1，0），B（5，8），C（7，－4），在邊AB上有一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為4，在AC上求一點(diǎn)Q，使線段PQ把△ABC分成面積相等的兩部分.解：設(shè)P分的比為λ1，則4=λ1=3，即=3，=.又=·=，∴=，即=2.設(shè)λ2=，則λ2=2.∴xQ==5，yQ==－.∴Q（5，－）.6.已知a=（x2，x），b=（x，x－3），x∈［－4，4］.（1）求f（