停車距離問(wèn)題一一數(shù)學(xué)建模案例摘要：汽車在行駛中，為規(guī)避險(xiǎn)情，常常需要急剎車。怎樣實(shí)施剎車操作，最大限度地規(guī)避險(xiǎn)情，保障司乘人員、車輛、障礙物的安全呢？在交通事故發(fā)生后，交管部門對(duì)事故現(xiàn)場(chǎng)的勘探，也常常需要還原駕駛?cè)藛T剎車的操作是否規(guī)范？車輛是否在事故發(fā)生時(shí)超速行駛？以便公正、公平地進(jìn)行事故責(zé)任認(rèn)定。所以，研究汽車剎車問(wèn)題就具有現(xiàn)實(shí)意義。本文旨在通過(guò)對(duì)行駛中的汽車剎車距離問(wèn)題的探索，用數(shù)學(xué)模型刻畫影響汽車剎車距離的關(guān)鍵因素，及各因素之間的數(shù)量關(guān)系。為駕駛?cè)说陌踩{駛及交管部門的事故責(zé)任認(rèn)定，提供有價(jià)值的參考。關(guān)鍵詞：距離、速度、參數(shù)、假設(shè)、檢驗(yàn)、線性回歸、數(shù)學(xué)建模。一、符號(hào)說(shuō)明駕駛?cè)嗽趯?shí)施剎車前，要根據(jù)險(xiǎn)情判斷何時(shí)開始剎車及剎車力度。從做出判斷到實(shí)施剎車這段時(shí)間，我們定義為反應(yīng)時(shí)間，記作，這段時(shí)間汽車滑行的速度記作，滑行的距離定義為反應(yīng)距離，記作；從汽車剎車到汽車停車滑行的這段時(shí)間，定義為制動(dòng)時(shí)間，記作，這段時(shí)間汽車滑行距離定義為制動(dòng)距離，記作；從做出需要?jiǎng)x車得判斷到汽車停止滑行的這段時(shí)間定義為停車時(shí)間，記作，這段時(shí)間汽車滑行的距離定義為停車距離，記作；汽車剎車時(shí)，車輛輪胎與路面的滾動(dòng)摩擦力記作；汽車的質(zhì)量記作；剎車時(shí)汽車滑行的加速度記作。二、基本假設(shè)在反應(yīng)時(shí)間段內(nèi)，駕駛?cè)嗽谂袛嘈枰獎(jiǎng)x車時(shí)，一般都會(huì)松開油門踏板。此時(shí)，汽車滑行僅受輪胎與地面滾動(dòng)摩擦力的較小影響，我們假設(shè)這期間汽車保持油門踏板松開的那一時(shí)刻的瞬時(shí)速度勻速行駛。由于在現(xiàn)實(shí)生活中，因人而異，很難確定的具體數(shù)值，因此，最終只能確定與成正比。在制動(dòng)時(shí)間段內(nèi)，駕駛?cè)嗽趯?shí)際操作中，剎車受力大小一般是由小逐漸快速增大的，增大的速度也并不均勻，在汽車停止滑動(dòng)的瞬間，受力又突然變?yōu)榱?。車輛的防抱死系統(tǒng)也是為了避免急剎車時(shí)，因駕駛?cè)怂查g踩死剎車，使車輛僅受輪胎與路面的巨大滑動(dòng)摩擦力控制，造成更大的危險(xiǎn)（如爆胎、側(cè)翻、方向盤失靈等）。這里，我們僅研究假設(shè)這期間剎車受力F的大小為定值，其近似等于車輛輪胎與路面的滾動(dòng)摩擦力。三、問(wèn)題的提出與分析問(wèn)題提出：影響停車距離的主要因素有哪些？影響停車距離的最關(guān)鍵因素有哪些？你能建立停車距離與汽車剎車前瞬時(shí)速度之間的函數(shù)關(guān)系模型嗎？如何確定上述函數(shù)關(guān)系中的參數(shù)？.問(wèn)題分析：停車距離與汽車剎車前瞬時(shí)速度有關(guān)；與駕駛?cè)说姆磻?yīng)時(shí)間有關(guān)，因人而異；與車輛的剎車性能有關(guān)，因車而異；還與道路狀況，天氣狀況等一些隨機(jī)因素有關(guān)。.如果剎車性能良好，且在同一等級(jí)、路況基本相同的公路上。駕駛的反映時(shí)間和汽車剎車前瞬時(shí)速度，是兩個(gè)關(guān)鍵因素。3.2.3.由"基本假設(shè)”，可以得到一個(gè)用生活語(yǔ)言表達(dá)的模型：停車距離=反應(yīng)距離+制動(dòng)距離，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為①由"基本假設(shè)〃知、都成正比，把這個(gè)關(guān)系表示為，其中為正的比例系數(shù)。由于很難確定具體的數(shù)值，因此，最終只能確定成正比，把這個(gè)關(guān)系表示為，可以認(rèn)為用代替了。另外，汽車剎車時(shí)所做的功為，根據(jù)能量守恒定律得。再根據(jù)牛頓第二定律得。所以，，即。也就是說(shuō)，制動(dòng)距離與汽車剎車前瞬時(shí)速度的平方成正比，表示為，其中是待定系數(shù)，。依據(jù)①式，得：②3.2.4.模型中的參數(shù)是至關(guān)重要的，一般來(lái)說(shuō)不可能通過(guò)理論計(jì)算得到，因?yàn)樵跇?gòu)建模型的過(guò)程中有許多因素沒(méi)有也不可能考慮清楚。在現(xiàn)實(shí)模型中，參數(shù)值通常是通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法得到的，是通過(guò)現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)的。大體上有三種方法可以得到現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)：調(diào)查、實(shí)驗(yàn)和試驗(yàn)。四、試驗(yàn)、數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)處理表1是美國(guó)公路局公布的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。注：表1中第5、6列的值是分別由它們前四列數(shù)，根據(jù)計(jì)算得到的。五、模型建立與參數(shù)求解模型一：由表1計(jì)算的每一行中相應(yīng)的的值，我們發(fā)現(xiàn)、的波動(dòng)都不是很大，它們的平均值分別為這組數(shù)據(jù)可以作為對(duì)參數(shù)、的一種估計(jì)。于是，通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到了停車距離模型一：③模型二：由于在中線性相關(guān)，由線性回歸分析知數(shù)組。由表1中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得，于是。同理，線性相關(guān)，可求得。于是，通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到了停車距離模型二：④六、模型分析下面我們對(duì)兩種模型進(jìn)行比較。表1中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)不變，分別令由③式④式計(jì)算所得的停車距離理論值為。即，則得表2：對(duì)表2,我們分別求最后兩列值之和得：。因?yàn)椋?所以模型二誤差更小。七、模型評(píng)價(jià)模型中參數(shù)的確定方法有時(shí)是不唯一的，科學(xué)地選擇參數(shù)可以有效地減小模型的誤差。從③式、④式可以看到，汽車的停車距離是汽車速度的二次函數(shù)，因此，從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度可以認(rèn)為，函數(shù)時(shí)候叫數(shù)學(xué)模型的有力工具。7.3.由于模型中的參數(shù)來(lái)源于實(shí)際，在一般情況下，這個(gè)模型能夠經(jīng)受實(shí)踐的檢驗(yàn)。因此，急剎車的停車距離模型③、④普遍應(yīng)用于汽車剎車設(shè)計(jì)和道路交通管理。7.4在建立模型過(guò)程中，"基本假設(shè)〃沒(méi)有考慮影響停車距離的非關(guān)鍵因素，但在實(shí)際生活中，由于各種客觀因素影響，有時(shí)非關(guān)鍵因素也會(huì)成為關(guān)鍵因素。因此，駕駛?cè)?、汽車剎車設(shè)計(jì)人、交通管理人在實(shí)際操作過(guò)程中，是不能生搬硬套模型的。參考文獻(xiàn)：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，人民教育出版社，2018年1月第1版。FrankR.Giordano,MauriceD.W