2019-2020學年安徽省亳州市高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.TOC\o"1-5"\h\z（5分）已知集合A={xIx2-3x一4＜0},B={xIx〉1），貝UA（^\B=（ ）A.（1,4） B.（1,4] C.（2,4] D.[2,4]（5分）設z=H，其中i為虛數(shù)單位，則Z=（ ）2+iA.色 B," C.U D,”5 5 5 5（5分）已知a,beR，貝Uab豐0是a2+b2豐0的（ ）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件（5分）等差數(shù)列{a}中，a+a+a-9，則a+a-（ ）A.3 B.4 C.5 D.6（5分）為慶祝中華人民共和國成立七十周年，某中學高三年級舉辦慶祝中華人民共和國成立七十周年知識競賽活動.現(xiàn)將高三年級兩個班參賽的學生成績（得分均為整數(shù)）進行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30、0.15、0.10、0.05,第二小組的頻數(shù)是40.則這兩個班參賽學生的成績的中位數(shù)應落在第（ ）小組內(nèi).鈔綱第0.040■0.035-口刪廣ojmoi-0.015■口仇外C.005-120.040■0.035-口刪廣ojmoi-0.015■口仇外C.005-1234(5分)已知向量a-(1,2),b-(1,m).若(a+b)±a，則m-( )—4—3—4—3—2—1（5分）函數(shù)y-Asin（①x+6（A〉0,3〉0,0＜甲＜2兀）一個周期的圖象如圖所示，則①-（第1頁（共19頁）

)A.7 B.苧 )A.7 B.苧 C苧8.（5分）函數(shù)y=lsinx!?InIxI的部分圖象大致為（ ）D—或更（5分）雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線垂直于雙曲線的一條漸近線，TOC\o"1-5"\h\z垂足為P,PF1交另一條漸近線于Q，且Q為PF1的中點，則雙曲線C的離心率為( )A.<2 B.、,3 C.2 D..5—12(x-1)(x—3),xe[1,3)(5分)定義在R上的函數(shù)f(x)，當xe[1,+⑹時，f(x)=]1 ,~f(x-2),xe[3,+8)、2且y=f(x+1)為偶函數(shù).函數(shù)g(x)=log2Ix-1I,則方程f(x)-g(x)=0所有根的和為()A.6 B.8 C.10 D.1211.(5分)長方體ABCD-ABCD中，1111AB=1,AD=2,AA1=511.(5分)長方體ABCD-ABCD中，1111則^PAC的面積最小時，DP二（ ）1第2頁（共19頁）TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2 C.5 D.42（5分）數(shù)列｛a｝滿足a=1,aa=a2+a+1,則使得1，寸-kI值最小的整數(shù)k=（n 1 n+1nnn 2020）A.43 B.44 C.45 D.46二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（5分）已知實數(shù)x,y滿足；0：^:2巡3c，則y-x的最大值為一.—342x—y40（5分）已知P是拋物線y2=4x上一動點，則點P到直線y=x+2的距離的最小值為（5分）《周髀算經(jīng)》是我國最古老的天文學與數(shù)學著作，書中討論了測量“日高”（太陽高度）的方法.大意為：“在A,B兩處立表（古代測望用的桿子，即“髀”），設表高均為h，測得表距為d，兩表日影長度差為6（6>0）,則可測算出日高”由所學知識知，日高H=.（用h,d,■表示）（5分）已知函數(shù)f（x）=sinx—a（2—x）In（x+1）,xe（0,兀］.若f（x）>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為一.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（10分）已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S，且2s=3a-1.（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式;（2）若數(shù)列｛b｝滿足b=loga，求數(shù)列］'!的前n項和7.n n3n+1 Ibb nnnn+1J兀18.（10分）在銳角NABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinC:ccos（A-一）.6（1）求角A的大小；（2）設H為AABC的垂心，且AH=1,求BH+CH的范圍.第3頁（共19頁）(12分)習近平總書記一直十分重視生態(tài)環(huán)境保護，十八大以來多次對生態(tài)文明建設作出重要指示，在不同場合反復強調(diào)，“綠水青山就是金山銀山”，隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展，環(huán)保問題已經(jīng)成為一個不容忽視的問題，而與每個居民的日常生活密切相關的就是水資源問題.某污水處理廠在國家環(huán)保部門的支持下，引進新設備，污水處理能力大大提高.已知該廠每月的污水處理量最少為150萬噸，最多為300萬噸，月處理成本y(萬元)與月處理量x(萬噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為y='x2-1x+40,且每處理一萬噸污水產(chǎn)生1000 5的收益價值為0.3萬元.(1)該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低；(2)該廠每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤.(12分)如圖①，平行四邊形PBCD中，A為PD的中點，PD=2,PB=<2,ZP=45。，連接AB,將APAB沿AB折起，得到四棱錐P-ABCD,如圖②，點E在線段PA上，若PC//平面BDE.①②(1)求證：PE=2AE；(2)若二面角P-AB-C的平面角為60。，求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值.(12分)在平面直角坐標系xOy中，長為3的線段的兩端點A,B分別在x軸、y軸上、一， ，?一― > 1 >滑動，動點P滿足AP=-PB.2(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)A、B、Q為曲線C上三個動點，滿足OQ=OA+OB，判斷四邊形OAQB的面積是否為定值，若為定值，求出其值.22.(14分)已知函數(shù)f(x)=(a〉0),e為自然對數(shù)的底.ax2+1(1)若函數(shù)f(x)有兩個極值點，求實數(shù)a的范圍；(2)若\,xJ、<x2)為f(x)的極值點，求證：f(\)+f(x2)<e.第4頁(共19頁)

2019-2020學年安徽省亳州市高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.2019-2020學年安徽省亳州市高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(5分)已知集合A={xIx2-3x一4<0},B={xIx〉1}，則A^\B=( )A.(1,4) B.(1,4] C.(2,4]【解答】解：,?,A:{xI-1<x<4},B={xIx〉1},Ap|B=(1,4).D.[2,4](5分)設z=二，其中i為虛數(shù)單位，則Z=( )2+i1 1+2i 1 1-2i 八 1+3iA. B. C. 5 5 5D.1-3i【解答】解：:z=42+i(1-i)(2-i)13. = 1(2+i)(2-i)55_13.「.z—十—i.55（5分）已知a,beR，貝Uab豐0是a2+b2豐0的（ ）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解：“ab中0”n“a2+b2豐0”，反之不成立，取a—0,b牛0.“ab豐0”是“a2+b2豐0”的充分非必要條件.故選：A.（5分）等差數(shù)列｛a｝中，a+a+a—9，則a+a—（ ）A.3 B.4 C.5 D.6【解答】解：由等差數(shù)列｛aj的性質可得：a1+a2+a6—9,?3a3—9，解得a3—3,貝Ua+a―2a—6.故選：D.（5分）為慶祝中華人民共和國成立七十周年，某中學高三年級舉辦慶祝中華人民共和國第5頁（共19頁）成立七十周年知識競賽活動.現(xiàn)將高三年級兩個班參賽的學生成績(得分均為整數(shù))進行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30、0.15、0.10、0.05，第二小組的頻數(shù)是40.則這兩個班參賽學生的成績的中位數(shù)應落在第( )小組內(nèi).A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解：頻率分布直方圖中，從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30、0.15、0.10、0.05,第二小組的頻數(shù)是40.第二小組的頻率為1-0.30—0.15—0.10—0.05=0.4,??.這兩個班參賽學生的成績的中位數(shù)應落在第二小組內(nèi).故選：B.TOC\o"1-5"\h\z(5分)已知向量a=(1,2),b =(19m).若(a+b)±a，則m=( )A.-4 B.-3 C.-2 D. -1【解答】解：■?向量a=(1,2),b=(1m).—?a+b=(2,2+m),—? —??「(a+b)±a,...(a+b)?a=2+4+2m=0,解得m=-3.故選：B.7.(5分)函數(shù)y=Asin(①x+9)(A〉0,3〉0,0<^<2兀)一個周期的圖象如圖所示，則U中=()第6頁(共19頁)

A.三 B.把 C.把 D,3或把TOC\o"1-5"\h\z4 4 4 4 4【解答】解：根據(jù)函數(shù)y=Asin?x+中）（A>0,3〉0,0<分<2兀）一個周期的圖象，2兀7兀兀 1可行 二 F，/.3二一.3 2 2 2再根據(jù)五點法作圖可得1?（-工）+中=兀，/4=如，2 2 4故選：C.8.（5分）函數(shù)y=1sinx!?InIxI的部分圖象大致為（ ）【解答】解：函數(shù)的定義域為｛xIx豐0),f(-x)=Isin(—x)I?lnI-xI=IsinxI?lnIxI=f(x),故f(x)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，故排除AC；又當x.0時，f（x）f0，故排除B；（5分）雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線垂直于雙曲線的一條漸近線，TOC\o"1-5"\h\z垂足為P,PF交另一條漸近線于。，且。為PF的中點，則雙曲線C的離心率為（ ）i 1A.v2 B.、3 C.2 D.<5【解答】解：由題意可知，焦點到漸近線的距離d=b，所以IPFI=b,IOPI=a,1第7頁（共19頁）

在APOF中，cosZPOF=—cosZPOF=-a,2 2 1c由余弦定理可知：IPF212=|PO|2+1OF212-21POl-lOF21XcoscosZPOF?,a.即IPFI2=a2+c2-2xaxcx(——)=a2+3c2,2 cb由題意可知IOQl=^,由IOP|2+1OQ|2=a2+:=^b2=3024P=(PU)2=lPQ|2，貝UZPOF2=90。所以ZQOF2=45。，所以漸近線的傾斜角為45。，雙曲線為等軸雙曲線，所以離心率e=<2.故選：A故選：A.-12(x-1)(x-3),%e[1,3)(5分)定義在R上的函數(shù)f(x)，當xe[1,+⑹時，f(x)=J1 ,~f(%-2),xe[3,+8)、2且y=f(x+1)為偶函數(shù).函數(shù)g(x)=10gJx-1I,則方程f(x)-g(x)=0所有根的和為()A.6 B.8 C.10 D.12【解答】解：因為y=f(x+1)是偶函數(shù)，所以f(-x+1)=f(x+1)，即函數(shù)f(x)關于x=1對稱.根據(jù)f(根據(jù)f(x)在［1,+8)解析式可得f(x)在(-8,1］上解析式為f(x)=-12x2+12,-1<xW1-6(x+3)(x+1),xW-1第8頁(共19頁)方程f(x)-g(X)=0所有根即函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標，由圖可知共6個交點，且兩兩關于x=1對稱，故f(x)=g(x)的所有根的和等于3x2=6，故選：A.(5分)長方體ABCD-A/1clD中，AB=1,AD=2,叫=5,P是棱DD上的動點，則^PAC的面積最小時，DP二( )1A.1 B.2 C.- D.42【解答】解：以點A為坐標原點，AB,AD,AA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的1空間直角坐標系，第9頁(共19頁)

則A1(0,0,5),C(1,2,0),P(0,2,z)(0<z<5),cosZAPC=4+(z-5)2+1+z2-30IPA]1=《4+(z-5)2,1Ale1cosZAPC=4+(z-5)2+1+z2-30_z2_5zi 2IP\IIPCI -IPA]IIPCIsinZPCsinZPC=J1_(z2-5z、 )2I產(chǎn)qIIPCIv5z2-10z+29-I尸4IIPCIS='PAIIPCIsinZAPC="52-10z+29=、*5(z-1)2+24>v6,當且僅當z=1時pa^C2 1 1 2 2取等號，即當z=1時,△PAC的面積取得最小值%6.1故選：A.(5分)數(shù)列｛〃｝滿足〃=1,aa=a2+a+1,則使得I、a -kI值最小的整數(shù)k=(TOC\o"1-5"\h\zn 1 n+1nnn 2020)A.43 B.44 C.45 D.46【解答】解：因為aa=a2+a+1,故可得a=a+1+-,n+1n nn n+1 n an即可求出a=3,a=4+—,a=5+—, 從而可得a=n+1+—,2 3a4a n+1 a2 3 n根據(jù)遞推式可知，a〉0,所以a-a=1+-〉0,即可知數(shù)列｛a｝為遞增數(shù)列，n n+1 n a nn所以｛—｝為遞減數(shù)列，當侖2時，-1<1，a a2于是a=2021+-^―22021,V2021244.96,2020 a2020故使得I、丁-kI最小的整數(shù)為45.第10頁（共19頁）

【解答】解:0Wx+2yW3 1 山/■，曰 士al【解答】解:0Wx+2yW3 1 山/■，曰 士al12/ /，則y—x的最大值為一一[-3W2x—y<0 / 513*（5分）已知實數(shù)x,y滿足《3x———52x—y2x—y——3y=5平移直線y=x+z，則當直線y—x+z經(jīng)過點A（-3,5）時，直線的截距最大，此時z最大，此時z—--，5故答案為：12514*（5分）已知P是拋物線y2=4x上一動點，則點P到直線y=x+2的距離的最小值為2【解答】解：p是拋物線y2=4一一動點,可設P（7，m），,m2Im2-4Im2-4m+81 (m-2)2+4則點P到直線y=x+2的距離d=一v2可得m=2時，d取得最小值——，2<2故答案為：二2第11頁（共19頁）

（5分）《周髀算經(jīng)》是我國最古老的天文學與數(shù)學著作，書中討論了測量“日高”（太陽高度）的方法.大意為：”在A,B兩處立表（古代測望用的桿子，即“髀”），設表高均為h，測得表距為d,兩表日影長度差為e（e>0）,則可測算出日高”由所學知識知，日高h=_H(e+d)_.(用h,d，，表示)€【解答】解：如圖【解答】解：如圖設AE=x,AD=a;由題意得：BC=x+€;AB=d;在AODE中，由三角形相似可得—=—①Hx+a在AODC中，由三角形相似可得—=一士一②Hx+e+d+a①②聯(lián)立可得:整理得：x=-③；d③代入①整理得：H=h3e故答案為：h".€(5分)已知函數(shù)f(x)=sinx—a(2—x)In(x+1)，xe(0，兀］.若f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為一（Of【解答】解：f(x)>0等價于s、x>a(2—x)，令g(x)= x,m(x)=—a(x—2),In(x+1) In(x+1)第12頁（共19頁）sinxTOC\o"1-5"\h\zIn(x+1)cosx .對函數(shù)g(x)求導可得g'(x)= x+1,令h(x)=In(x+1)cosx一包吆,可得In2(x+1) x+1h(x)=sinx[---—In(x+1)],(X+1)2因為y=----In(x+1)為減函數(shù)，且x=0時，y=1>0,x=幾時，y<0,故存在xe(0,九)，(x+1)2 0使得h(x)在區(qū)間(0,x0)上單增，在(x0,兀)上單減，又h(0)=0，h(兀)=-ln(兀+1)<0，故存在x1e(x0，兀)，使得g(x)在區(qū)間(0,x1)上單增，在(x1，兀)上單減，又當xf0時，g(x)f1，且g(九)=0，而函數(shù)m(x)過點(2,0)且斜率為-a的直線，故若滿足題意，則只需直線m(x)在函數(shù)g(x)的下方，由圖可知，當且僅當直線y=-a(x-2)過點(0,1)時，是一種臨界狀態(tài)，此時直線斜率-a=—=-1，解得a=1，0-2 2 2又函數(shù)g(x)=Sinx在x=0處無意義，故要滿足題意，直線斜率可取1，且當直線斜率大ln(x+1) 2于-ae[-；0)均滿足題意，解得ae(0,1].2故答案為：(0,1].2三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(10分)已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S，且2S=3a-1.(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式;(2)若數(shù)列｛b｝滿足b=loga，求數(shù)列]—[的前n項和7.n n工n+1 Ibb nnn+1【解答】解：(1)由題意，當n=1時，2S1=3a1-1=24，解得q=1.第13頁(共19頁)

當侖2時，由2S=3a-1,可得兩式相減并整理得，a=3al.???數(shù)列｛an｝是以1為首項，公比為3的等比數(shù)列，...a-3n-1(neN).(2)由((2)由(1)知，b=logn 3a=log3n=n.1bbnn+11 1 1n(n+1)n n+111bnbn+1故T=—+—+...+nbbbb12 23n= .n+118.(10分)在銳角AABC中，角A，B,C的對邊分別為a，b，c，已知asinC=ccos(A--).6(1)求角A的大??；(2)設H為^ABC的垂心，且AH=1,求BH+CH的范圍.【解答】解：(1)由asinC=ccos(A--)，結合正弦定理得，sinA=cos(A--)，進一步整66理得，sin(A-')=0，又A為銳角，故A".(2)由AABC是銳角三角形，則垂心H必在AABC內(nèi)部，不妨設/BAH=a,兀則ae(0,-).五由H為AABC的垂心，貝UZABH=/ACH=-.在AABH中使用正弦定理得，6AHBH = ，整理得：BH=2sina.sinZABHsinZBAH-同理在AACH中使用正弦定理得，CH=2sin(§-a).TOC\o"1-5"\h\z- -BH+CH=2sina+2sin(-—a)=2sin(—+a),, _- -- 2-由ae(0,-)可得一<—+a<—,3 33 3所以BH+CHe(<3,2].第14頁(共19頁)

（12分）習近平總書記一直十分重視生態(tài)環(huán)境保護，十八大以來多次對生態(tài)文明建設作出重要指示，在不同場合反復強調(diào)，“綠水青山就是金山銀山”，隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展，環(huán)保問題已經(jīng)成為一個不容忽視的問題，而與每個居民的日常生活密切相關的就是水資源問題.某污水處理廠在國家環(huán)保部門的支持下，引進新設備，污水處理能力大大提高.已知該廠每月的污水處理量最少為150萬噸，最多為300萬噸，月處理成本j（萬元）與月處理量（萬噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為J=（萬噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為J=1000-1X+40,且每處理一萬噸污水產(chǎn)生5的收益價值為0.3萬元.（1）該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低;（2）該廠每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤.【解答】解：（1）由題意可知，每萬噸污水的處理成本為：jX1,40、c:X401 1—= --+—^2., ,一—一二一，x10005x\1000x55當且僅當X=200時等號成立；所以該廠每月污水處理量為200萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低，最低成本為1萬元.5（2）設該廠每月獲利為Z萬元，則Z=0.3x-（^^x2-1x+40）=-——（x-250）2+22.5,1000 5 1000因為xe[150,300],所以Ze[12,5,22,5],當x=250時，Z有最大值22.5,所以該污水處理廠每月能獲利；且當月處理量為250萬噸時，利潤最大，為22.5萬元.（12分）如圖①，平行四邊形PBCD中，A為PD的中點，PD=2,PB=<2,/P=45°,連接AB,將APAB沿AB折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖②，點E在線段PA上，若PC//平面BDE.第15頁（共19頁）(1)求證：PE=2AE；（2）若二面角P-AB-C的平面角為60。，求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值.【解答】解：（1）證明：連接AC交BD于F，連接EF,因為PC//平面BDE,PCu平面PAC，平面BDEn平面PAC=EF,所以EF//PC，所以AE=AF，又因為AD//BC，且AD=1BC，所以AF=AD=1PEFC 2 FCBC2所以AE=1，故pe=2AE；PE2（2）取AD的中點O，連接PO，過O作OG//AB交BC于G，由圖（1）得：AB1AD，AB1AP，所以ZPAD就是二面角P-AB-C的平面角，所以ZPAD=60。，又因為AD=AP=1，所以APAD為等邊三角形，所以OP1AD.又ADp|AP=A，所以AB1平面PAD，因為OG//AB，所以OG1平面PAD，所以OP,OD,OG兩兩互相垂直,以OG為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，貝UB(1廠貝UB(1廠1,0),

2PD=嗚廠:…3仆_1_ C(1,不0),D(0,-,0),P(0,0,

2 2,DC=(1,1,0).—"11，PB=(1,-，一

2,BC=(0,2,0),設平面PBC的一個法向量為m=（\,七,zj，1 <3x--y--z二0121 2 1 ，2y=01令工廣33，得m=（＜3,0,2）,設平面PCD的一個法向量為n=（x2,y2,z2），則產(chǎn)”=0，所以］2y2-當z2=0，令x廣1，得n=(1,-1,-當，TOC\o"1-5"\h\zInDC=0x+y=0 2 3I2 2m，n 1設平面PBC與平面PCD夾角為9,cos9=1^1=".ImIInI7第16頁（共19頁）

21.(12分)在平面直角坐標系xOy中，長為3的線段的兩端點A,B分別在x軸、y軸上、一一一r…一 ? 1 ?滑動，動點P滿足AP=-PB.2(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)A、B、Q為曲線C上三個動點，滿足OQ=OA+OB，判斷四邊形OAQB的面積是否為定值，若為定值，求出其值.【解答】解：(1)設A(m,0)、B(0,n)、P(x,y)，貝1」由IAB1=3得，m2+n2=9.——? 1 1 1 x2 一又AP=—PB，貝Ux一m=——x,y=—(n一y).整理可得，一+y2=1,2 2 2 4所求軌跡C方程X2+y2=1.4(2)(2)四邊形OAQB的面積為定值，且SOAQB%’3理由如下:1。當直線AB斜率不存在時，不妨設直線AB在y軸左側，結合題意可知，四邊■QB為菱形，且Q與橢圓C的左頂點重合，|OQ1=2,IAB1=<3.故S?八=\OQI?IAB1=<3.OAQB22。當直線AB斜率存在時，y=kx+1設直線AB的方程為y=設直線AB的方程為y=kx+1,彳+y2=1(1+4k2)x2+8ktx+4t2—4=0，由△=16(4k2+1-12)〉0，得4k2+1-12〉0.第17頁(共19頁)

設A（x1,，1）、B（x2,y2），則由根與系數(shù)關系知，｛8ktx+x- 1