千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦初中數(shù)學(xué)有理數(shù)的概念

有理數(shù)的概念

一、正數(shù)和負(fù)數(shù)

在數(shù)學(xué)進(jìn)展歷史上，從發(fā)覺自然數(shù)開頭，隨著人類文明長進(jìn)，我們又逐漸定義了分?jǐn)?shù)和小數(shù)等.在生活和學(xué)習(xí)中，我們會(huì)需要記錄一些具有相反意義的量，比如：零下4?C和零上6?C，收入20元和支出30元，向東30米和向西100米等等．這些數(shù)據(jù)不僅意義相反，而且表示一定的量，為了表示它們，我們定義了正負(fù)數(shù)：

1．用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量：

我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種與它具有相反意義的量規(guī)定為負(fù)的，分離用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示，給數(shù)字前面加上正號(hào)表示正數(shù)，加上負(fù)號(hào)表示負(fù)數(shù)．

【例】以上幾個(gè)例子分離記為：4-?C和6+?C，20+元和20-元，30+米和100-米.

2．正數(shù)：像30、+6、1

2

、π這樣的數(shù)叫做正數(shù)，正數(shù)都大于零；

3．負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“-”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，比如：20-、3.14-、0.001-、17

2

-．

【注】①表示正數(shù)時(shí)，“+”號(hào)可以省略，但表示負(fù)數(shù)時(shí)，“-”號(hào)一定不能省略；

②數(shù)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．

二、有理數(shù)的概念及分類

1．有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．2．有理數(shù)的分類：

（1）有理數(shù)按性質(zhì)分類：

???????????

???

????

??正整數(shù)自然數(shù)整數(shù)零有理數(shù)負(fù)整數(shù)

正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)（2）有理數(shù)按符號(hào)分類???

???

?

??

????????

正整數(shù)正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)零（既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)）負(fù)整數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

（3）小數(shù)的分類

【注】注重以下幾個(gè)概念的區(qū)別：

非負(fù)數(shù)：正數(shù)和零；非正數(shù)：負(fù)數(shù)和零；

非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和零；非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和零；

非負(fù)有理數(shù)：正有理數(shù)和零；非正有理數(shù)：負(fù)有理數(shù)和零．

????????有限小數(shù)小數(shù)無限循環(huán)小數(shù)無限小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)——不行化成分?jǐn)?shù)，是無理數(shù)

——可化成分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)

三、數(shù)軸

1．?dāng)?shù)軸：數(shù)軸是一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線．

【注】原點(diǎn)、正方向和單位長度稱為數(shù)軸的三要素；

①原點(diǎn)：表示數(shù)0的點(diǎn)；

②正方向：數(shù)字從小到大羅列的方向，普通規(guī)定向右為正方向；

③單位長度：人為規(guī)定的代表“1”的線段的長度.

2．?dāng)?shù)軸的畫法

（1）畫一條水平直線；

（2）在這條直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)；

（3）普通用箭頭表示正方向；

（4）選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，用細(xì)短線畫出刻度，并將數(shù)字對(duì)應(yīng)標(biāo)在數(shù)軸

下方．

【例】一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)軸：

【注】畫數(shù)軸的常見錯(cuò)誤：

①三要素缺失：沒有原點(diǎn)、正方向箭頭或者單位長度刻度；

②單位長度不統(tǒng)一：相鄰兩個(gè)刻度之間間距不一樣；

③方向不統(tǒng)一：數(shù)字增大的方向不是正方向，或者數(shù)字羅列混亂．

錯(cuò)誤類型錯(cuò)誤示例

三要素缺失

單位長度不統(tǒng)一

方向不統(tǒng)一

3．?dāng)?shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系

①任何一個(gè)有理數(shù)均可用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；

但數(shù)軸上的點(diǎn)不一定代表有理數(shù)，比如π．

②數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；

③數(shù)軸直觀地說明白，正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．

4．?dāng)?shù)軸與數(shù)學(xué)思想

①數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)軸形象地反映了數(shù)和點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

②分類研究思想：數(shù)軸表現(xiàn)了有理數(shù)的一種分類辦法，即分成正數(shù)、負(fù)數(shù)和零．

四、相反數(shù)&倒數(shù)

1．相反數(shù)：假如兩個(gè)數(shù)惟獨(dú)符號(hào)不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．特殊地，0的相反數(shù)是0．

【例】5

+與5

-互為相反數(shù)；5

-是5

+的相反數(shù)；

【注】相反數(shù)必需成對(duì)浮現(xiàn)，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù).“5

-是相反數(shù)”是錯(cuò)誤的.

2．相反數(shù)的性質(zhì)：

（1）代數(shù)性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則0

ab

+=；反之，若0

ab

+=，則a與b互為相反數(shù)．

（2）幾何性質(zhì)：一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分離位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，即這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．

2-

?

1-012

021-01

0122-01

123

1-01

202201-101-

3．倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)．

【例】2與12，3-與1

3

-，38-與83-．

4．負(fù)倒數(shù)：乘積為1-的兩個(gè)有理數(shù)互為負(fù)倒數(shù)．

【例】2與12-，3-與13，38-與8

3

．

【注】①0沒有倒數(shù)，也沒有負(fù)倒數(shù)；

②倒數(shù)是它的本身的數(shù)1或-1．五、肯定值

1．肯定值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的肯定值，記作a．2．肯定值運(yùn)算：一個(gè)正數(shù)的肯定值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的肯定值是它的相反數(shù)；0的肯定值是0．

(0)0(0)(0)aaaaaa>??

==??-，則ab

>．

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)（2）若x表示有理數(shù)，則||x

--一定是（）

A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．非正數(shù)D．非負(fù)數(shù)

（3）下列說法正確的是（）

A．若a表示有理數(shù)，則a-表示非正數(shù)B．和為零的兩數(shù)互為相反數(shù)

C．一個(gè)數(shù)的肯定值必是正數(shù)D．若||||

ab

>，則ab

，則0m，則ab>，