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十大?？驾S題特訓(xùn)

】解題策略指導(dǎo)05——最值問(wèn)題最值問(wèn)題，可以說(shuō)是中考數(shù)學(xué)中最最常見(jiàn)的壓軸題．選擇、填空、解答各種題型中都有它的影子，可以說(shuō)全國(guó)各大城市的中考數(shù)學(xué)試卷中幾乎都少不了它．它幾乎成了壓軸題的代名詞．這種題型的特點(diǎn)，難度大，是它最大的特點(diǎn)，其次是這種題型思路比較特別，比較固定，第三個(gè)特點(diǎn)就是多數(shù)這種問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，牽扯的知識(shí)點(diǎn)較多．第四個(gè)特點(diǎn)就是這種最值問(wèn)題絕大多數(shù)都與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)．現(xiàn)在，比較常見(jiàn)的最值問(wèn)題，大致可以分為以下幾種﹕將軍飲馬問(wèn)題、阿氏圓問(wèn)題、胡不歸問(wèn)題、費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，當(dāng)然還有一些其他的．★策略一﹕將軍飲馬問(wèn)題——作軸對(duì)稱★【問(wèn)題簡(jiǎn)述】如圖，在直線上找一點(diǎn)P得＋PB最小？【問(wèn)題分析】這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于＋PB是一段折線段，過(guò)觀察圖形很難得出結(jié)果，關(guān)于最小值，我們知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉(zhuǎn)化問(wèn)題，將折線段變?yōu)橹本€段．作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)'，連接PA'，則'＝PA所以＋PB＝PA'＋PB１

A'當(dāng)A'、三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA'＝'B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）BA端點(diǎn)P

折點(diǎn)A'作端點(diǎn)（點(diǎn)或點(diǎn)B）關(guān)于折點(diǎn)（上圖P點(diǎn)）所在直線的對(duì)稱，化折線段為直線段．★策略二﹕阿氏圓問(wèn)題——構(gòu)造母子相似三角形★阿氏圓問(wèn)題一類形如求＋一類最小值問(wèn)題們只要構(gòu)造一對(duì)母子相似的三角形，其相似比為k,將其中的找與應(yīng)的那條邊來(lái)實(shí)施等量代換，這樣就把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為＋PC最小值問(wèn)題，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)求解即可．【經(jīng)典例題】如圖，在Rt△中，∠C＝90°，＝4，3，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓C，分別交ACBC于D兩點(diǎn)點(diǎn)P圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)則

PAPB

的最小值為__________．２

D

E

【問(wèn)題分析】這個(gè)問(wèn)題最大的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化

，此處點(diǎn)軌跡是圓．注意到圓C半徑為2，CA＝4，連接，構(gòu)造包含線段AP的△CPA，在CA邊上取點(diǎn)使得＝2，連接PM，可得△∽△CMP，故PA：＝2:1，即PM＝PA．AD

PC

B問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PM＋PB最小值，直接連BM利用兩點(diǎn)之間線段最短可知BM就是原問(wèn)題的最小值，我們利用勾股定理很容易求角．★策略三﹕胡不歸問(wèn)題——構(gòu)造sin∠α≥k★胡不歸問(wèn)題，也是求解形如PA+kPB最小值的一類問(wèn)題只不過(guò)這里的動(dòng)點(diǎn)P不是在圓上運(yùn)動(dòng)的了，這也是它與阿氏圓問(wèn)題的最大不同，這里的動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)的，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解決，構(gòu)造一個(gè)角，使這個(gè)角的正弦值等于系數(shù)k，然后利用點(diǎn)到直線的距離最短求解即可．【問(wèn)題簡(jiǎn)述】３

如圖，動(dòng)點(diǎn)P在紅色直線上運(yùn)動(dòng)，要求最小值

P

．【問(wèn)題分析】我們要求PA+kPB(0<k<1)最小值，就要像阿氏圓一樣找一條線段代替，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PA+PC形式，此處，我們只要在紅線的下方作一個(gè)∠，使得sin∠PBC=k,這樣我們利用三角函數(shù)知識(shí)就可以知道kPB=PB·sin∠PBC=PC,這樣原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了PA+PC很顯然，原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，利用垂線段最短即可解決．過(guò)A作AD⊥BC，線段AD就是原問(wèn)題的答案，我們只要利用勾股定理或三角函數(shù)就可以求出答案．★策略四﹕費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題——作旋轉(zhuǎn)變換（°）★【問(wèn)題簡(jiǎn)述】在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使得＋PB＋最小．C【問(wèn)題分析】解決幾個(gè)線段和的最值問(wèn)題的基本策略就是化折為直這里的三條線段的和我們?cè)鯓硬拍軐⑵溥B接起來(lái)變成一條折線呢？解決辦法就是費(fèi)馬給出的旋轉(zhuǎn)法，如下圖我們將綠色４

的三角形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到紅色三角形位置時(shí)易證△APQ是等邊三角形，所以PA＋＋＝PB＋，這樣原問(wèn)題的三條線段就變成了一條折