2023屆山東省濟(jì)寧市鄒城市高三下學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)命題的充分必要性直接判斷.【詳解】對(duì)于不等式，可解得或，所以可以推出，而不可以推出，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.2．若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為,若的前n項(xiàng)和為9,則n的值為（

）A．576 B．99 C．624 D．625【答案】B【解析】先將整理為,利用裂項(xiàng)相消求和得,即可求出結(jié)果.【詳解】解:依題意得,所以,又因?yàn)?所以解得:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的第項(xiàng),考查裂項(xiàng)相消求和法,是基礎(chǔ)題.4．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的上底面的中心為，則的值為（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，故選：D5．若在是減函數(shù)，則的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)列不等式，解得結(jié)果.【詳解】.當(dāng)x∈時(shí)，∈，所以結(jié)合題意可知，，即，故所求a的最大值是·故選C.【點(diǎn)睛】本題考查輔助角公式、余弦函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6．電路從到上共連接著6個(gè)燈泡（如圖），每個(gè)燈泡斷路的概率為，整個(gè)電路的連通與否取決于燈泡是否斷路，則從到連通的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求連通的概率，再求連通的概率，然后求連通的概率.【詳解】先考慮沒(méi)有連通的情況，即連個(gè)燈泡都斷路，則其概率為.所以連通的概率.連通，則兩個(gè)燈泡都沒(méi)有斷路，則其概率為,所以沒(méi)有連通的概率為：.則之間沒(méi)有連通的概率所以連通的概率，所以連通的概率.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，注意并聯(lián)電路和串聯(lián)電路的性質(zhì)的合理運(yùn)用．解題時(shí)要認(rèn)真分析，屬于基礎(chǔ)題.7．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】本題首先可根據(jù)線段的中點(diǎn)在軸上得出軸，然后根據(jù)得出，再然后根據(jù)得出，最后根據(jù)以及即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在軸上，，，所以，，點(diǎn)與橫坐標(biāo)相等，軸，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，化簡(jiǎn)得，故，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求法，考查中點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，能否根據(jù)題意得出軸是解決本題的關(guān)鍵，考查橢圓定義的應(yīng)用，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，考查計(jì)算能力，是中檔題.8．已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，，設(shè)，則，再對(duì)分和兩種情況討論得解.【詳解】解：由題可知，，為偶函數(shù)，，且.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，故在上沒(méi)有零點(diǎn).由為偶函數(shù)，可知在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在，使，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故，即，所以在上單調(diào)遞減，故，且，則在上有零點(diǎn)，此時(shí)不符合條件.故，即實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D.二、多選題9．如圖，在平面四邊形中，已知，，，，，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A． B．四邊形的面積為C． D．四邊形的周長(zhǎng)為【答案】ACD【分析】在和中，分別利用余弦定理，得到，結(jié)合，求得，得到，可判定A正確；利用直角三角形的面積公式，可判定B不正確；在直角中，利用勾股定理，可判定C正確；求得四邊形的周長(zhǎng)，可判定D正確.【詳解】在中，可得，在中，可得，可得，即因?yàn)?，可得，可得，又因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，所以，所以A正確；由，所以B不正確；在直角中，可得，所以C正確；四邊形的周長(zhǎng)為，所以D正確.故選：ACD10．如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.11．已知P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F與，直線l與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的漸近線方程為B．的最小值為4C．若恰好是的交點(diǎn)，則D．設(shè)的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為Q，若直線l過(guò)點(diǎn)F，則有【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，求出的方程判斷A；利用拋物線定義結(jié)合圖形計(jì)算判斷B；聯(lián)立與的方程計(jì)算判斷C；設(shè)出直線l的方程，與的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與斜率計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)F與，則，解得，即，對(duì)于A，的漸近線方程為，A正確；對(duì)于B，如圖，過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線段，由拋物線的定義可得，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，則的最小值為3，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由解得或，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l的方程為，由消去x得：，有，點(diǎn)，直線的斜率分別為，則，因此直線的傾斜角互補(bǔ)，即，D正確．故選：AD12．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則一定有B．若，，且，則的最小值為0C．若，，，則的最小值為4D．若關(guān)于的不等式的解集是，則【答案】ABC【分析】對(duì)A，利用不等式的性質(zhì)可判斷；對(duì)B，可得，利用單調(diào)性可求；對(duì)C，利用基本不等式可求出的范圍；對(duì)D，可得2和3是方程的兩個(gè)根，求出可判斷.【詳解】對(duì)A，由可得，則，又，，即，故A正確；對(duì)B，若，，且，則，可得，由在上單調(diào)遞減可得當(dāng)時(shí)，取得最小值為0，故B正確.對(duì)C，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即，解得或，因?yàn)?，，所以，即的最小值?，故C正確；對(duì)D，可得2和3是方程的兩個(gè)根，則，解得，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題13．平面向量，且與的夾角等于與的夾角，則________．【答案】2【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和夾角公式代入計(jì)算即可求解.【詳解】由可得，，，，，因?yàn)榕c的夾角等于與的夾角，所以，即，解得，故答案為：.14．設(shè)函數(shù)，直線為圖像的對(duì)稱軸，為的零點(diǎn)，且的最小正周期大于，則_________．【答案】##【分析】利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期大于,所以，，又因?yàn)橹本€為圖像的對(duì)稱軸，為的零點(diǎn)，且，所以，解得，將零點(diǎn)代入得，所以，解得，，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.故答案為：15．函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______．【答案】4【分析】當(dāng)時(shí)，令，即，作和的圖象，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，當(dāng)時(shí)，令，可解得零點(diǎn)，從而得解.【詳解】方法一：當(dāng)時(shí)，令，即.作和的圖象，如圖所示，顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，可得或.綜上函數(shù)的零點(diǎn)有4個(gè).方法二：當(dāng)時(shí)，，，令可得，，，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)的，，可得時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)由2個(gè)．時(shí)，函數(shù)的圖象如圖：可知函數(shù)的零點(diǎn)有4個(gè)．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)分段函數(shù)分類問(wèn)題和利用構(gòu)造函數(shù)，把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即等價(jià)于函數(shù)和圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問(wèn)題．16．已知函數(shù)，若在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在直線的圖象的下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】.【分析】先把圖象位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，即，然后利用導(dǎo)數(shù)求解最值可得.【詳解】設(shè)，由題意可知，在區(qū)間上恒成立；，當(dāng)時(shí)，，，所以為增函數(shù)，所以有，即；當(dāng)時(shí)，總存在，使得，即為減函數(shù)，不合題意；綜上可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，通常是轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，求解最值，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).四、解答題17．在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且_______．(1)求角C；(2)若的內(nèi)切圓半徑為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）選擇①根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可得角，選擇②由正弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解，選擇③根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為角，由輔助角公式求解；（2）由余弦定理及三角形面積公式聯(lián)立求解即可.【詳解】（1）選擇①：由已知得，所以，在中，，所以．選擇②：由已知及正弦定理得，所以，所以，因?yàn)椋裕x擇③：由正弦定理可得，又，所以，則，則，故．又因?yàn)?，所以，解得．?）由余弦定理得，①由等面積公式得．即．整理得，②聯(lián)立①②，解得，所以．18．若無(wú)窮數(shù)列滿足是公差為k的等差數(shù)列，則稱為數(shù)列.(1)若為數(shù)列，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，為數(shù)列，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得到是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列，進(jìn)而得到，得出是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，利用累加法求得，得到，進(jìn)而求得，利用，即可求解.【詳解】（1）證明：由題意，數(shù)列為數(shù)列，，所以是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列，所以，又由，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）證明：由，，所以，依題意是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以.因?yàn)?，，，…，，以上個(gè)等式累加，得，，所以，.因?yàn)闈M足上式，所以.當(dāng)時(shí)，，且滿足上式，所以.因?yàn)?，所?19．如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．(1)證明：；(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2.【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得，結(jié)合條件可得，然后利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；（2）利用坐標(biāo)法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結(jié)合基本不等式即得.【詳解】（1）因?yàn)槿切问堑冗吶切危褽是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又因?yàn)槊?，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）設(shè)F是中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得，設(shè)，則、設(shè)平面的法向量為，則，令，有，設(shè)直線與平面所成的角，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大．20．某部門(mén)對(duì)轄區(qū)企業(yè)員工進(jìn)行了一次疫情防控知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的1000人(其中450人為女性)的得分(滿分100)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示．得分男性人數(shù)15901301001256030女性人數(shù)1060701501004020(1)把員工分為對(duì)疫情防控知識(shí)“比較了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)兩類，請(qǐng)完成如下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)員工對(duì)疫情防控知識(shí)的了解程度與性別有關(guān)？不太了解比較了解合計(jì)男性女性合計(jì)(2)為增加員工疫情防控知識(shí)，現(xiàn)開(kāi)展一次“疫情防控知識(shí)”競(jìng)賽．若知識(shí)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽，已知參賽者甲答對(duì)每道題的概率都相同，并且相互之間沒(méi)有影響，若甲連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828，．【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)員工對(duì)消防知識(shí)的了解程度與性別有關(guān)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，并將數(shù)據(jù)代入的計(jì)算公式即可求解；（2）設(shè)甲答對(duì)每道題的概率為p，根據(jù)題意列出的所有可能取值，分別求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并計(jì)算均值即可求解.【詳解】（1）補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如表所示，不太了解比較了解合計(jì)男性235315550女性140310450合計(jì)3756251000所以，所以有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)員工對(duì)消防知識(shí)的了解程度與性別有關(guān)．（2）設(shè)甲答對(duì)每道題的概率為p，則，所以，易知的所有可能取值為3，4，5，，，，所以的分布列為：345P所以．21．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓上的點(diǎn)的直線與，軸的交點(diǎn)分別為，，且，過(guò)原點(diǎn)的直線與平行，且與交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）2．【分析】（1）利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)與離心率求出，，結(jié)合求出.（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，可得，，由題意可得，再寫(xiě)出直線方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式表示出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）點(diǎn)在橢圓上且，，又橢圓離心率為，，由解得．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）點(diǎn)在橢圓上，，即，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，可得，．，即．直線斜率為，，方程為，即，聯(lián)立，解得，，，點(diǎn)到直線的距離為，，，，，三角形面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．22．已知函數(shù)．(1)若恒成立，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）先構(gòu)造新函數(shù)，再按a分類討論的單調(diào)性，列出關(guān)于a的不等式，進(jìn)而求得a的取值范圍；（2）利用題給條件構(gòu)造新函數(shù)，則在上恒成立，利用導(dǎo)