新版原子物理褚圣麟課后答案

原子物理學(xué)習(xí)題解答

第一章原子的基本狀況

1.1若盧瑟福散射用的粒子是放射性物質(zhì)鐳C放射的，其動能為7.6810電子伏

特。散射物質(zhì)是原子序數(shù)Z79的金箔。

試問散射角150所對應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離b多大？

解：根據(jù)盧瑟福散射公式：

6

ctg

得到：

240

Mv

22

2Ze

b40

KZe

2

b

b

Zectg

2

2

4OK

12

2

79(1.6010)ctg

(48.8510

12

192

)(7.681010

15026

19

)

3.9710

15

米

式中K

Mv是粒子的功能。

1.2已知散射角為的粒子與散射核的最短距離為rm(

140

)

2ZeMv

2

2

(1

lsin

2

),試問上題粒

子與散射的金原子核之間的最短距離rm多大？

解：將1.1題中各量代入rm的表達式，得：rmin

19

2

140

1

)

2ZeMv

)

2

2

(1

lsin

2

)

910

9

479(1.6010

6

)

7.68101.6010

14

19

(1

sin75

3.0210

米

1.3若用動能為1兆電子伏特的質(zhì)子射向金箔。問質(zhì)子與金箔。問質(zhì)子與金箔原子核可

能達到的最小距離多大？又問如果用同樣能量的笊核(笊核帶個e電荷而質(zhì)量是質(zhì)子

的兩倍，是氫的一種同位素的原子核)代替質(zhì)子，其與金箔原子核的最小距離多大？

解：當(dāng)入射粒子與靶核對心碰撞時，散射角為180。當(dāng)入射粒子的動能全部轉(zhuǎn)化為兩粒

子間的勢能時，兩粒子間的作用距離最小。根據(jù)上面的分析可得：

12

Mv

2

K

p

Ze

2

4Ormin

19

，故有:rmin

Ze

2

4OK

P

910

9

79(1.6010

6

)

2

101.6010

19

1.1410

13

米

由上式看出：rmin與入射粒子的質(zhì)量無關(guān)，所以當(dāng)用相同能量質(zhì)量和相同電量得到核代

替質(zhì)子時，其與靶核的作用的最小距離仍為

1.1410

13

米。

7

7

L4針放射的一種粒子的速度為L59710米/秒，正面垂直入射于厚度為10

米、密度為1.93210公斤/米的金箔。

43

試求所有散射在90的粒子占全部入射粒子數(shù)的百分比。已知金的原子量為197。

解：散射角在d之間的粒子數(shù)dn與入射到箔上的總粒子數(shù)n的比是：

第1頁共38頁dnn

Ntd

其中單位體積中的金原子數(shù)：N而散射角大于90的粒子數(shù)為：dn

/mAuNO/AAu

dnnNtd

2

dn

所以有:

n

Ntd

2

NO

AAu

t(

140

)(

2

2ZeMu

22

)

2

90

180

cossin

3

d2

等式右邊的積分：I90

180

cossin

3

d2180

902

dsinsin

3

1

2

6

dn

故

n

NO

AAu

t(

7

140

)(

2

2ZeMu

22

)

2

8.510

8.510

40

即速度為L59710米/秒的粒子在金箔上散射，散射角大于90以上的粒子數(shù)大約是

8.510

40

O

1.5粒子散射實驗的數(shù)據(jù)在散射角很小時與理論值差得較遠，時什么原因？

(15)

答：粒子散射的理論值是在“一次散射”的假定下得出的。而粒子通過金屬箔，經(jīng)

過好多原子核的附近，實際上經(jīng)過多次散射。至于實際觀察到較小的角，那是多次小角

散射合成的結(jié)果。既然都是小角散射，哪?個也不能忽略，一次散射的理論就不適用。所

以，粒子散射的實驗數(shù)據(jù)在散射角很小時與理論值差得較遠。

1.6已知粒子質(zhì)量比電子質(zhì)量大7300倍。試利用中性粒子碰撞來證明：粒子散射

“受電子的影響是微不足道的”。

MvMvmv證明：設(shè)碰撞前、后粒子與電子的速度分別為：v,v',O,ve。根據(jù)動量守

恒定律，得：e

由此得：VV

mM12

2

ve

2

1730012

ve...(1)

，2

又根據(jù)能量守恒定律，得：

Mv

，2

Mv

2

12

mv

，2e

vv

mM

ve……(2)

將(1)式代入(2)式，得：

vv

2

'2

12

7300(vv)

整理，得：v(73001)v(73001)27300vvcos0

2

'2

73001

12

上式可寫為：7300(vv)0

vv0

即粒子散射”受電子的影響是微不足道的”。

1.7能量為3.5兆電子伏特的細粒子束射到單位面積上質(zhì)量為1.10在離>0.12

米處放一窗口面積為6.010原子量為107.9o試求銀的核電荷數(shù)Zo

第2頁共38頁

5

2

2

公斤/米的銀箔上，粒子與銀箔表面成60角。

2

米的計數(shù)器。測得散射進此窗口的粒子是全部入射粒子的百萬分之29。若已知銀的

解：設(shè)靶厚度為to非垂直入射時引起粒子在靶物質(zhì)中通過的距離不再是靶物質(zhì)的厚度

t,而是tt/sin60,如圖卜1所示。因為散射到與d之間d立體角內(nèi)的粒子

數(shù)dn與總?cè)肷淞Ｗ訑?shù)n的比為：

dnn

Ntd

14

(1)

而d為：d

)(

2

zeMv

22

)

2

dsin

4

2

(2)

把(2)式代入(1)式，得:

dnn

Nt(

14

)(

2

zeMv

22

)

2

dsin

4

2

……(3)

式中立體角元dds/L,tt/sin60

2'0

2t/

3,20

1

N為原子密度。Nt為單位面上的原子數(shù)，Nt

/mAg(AAg/NO),其中是單位面積式上的質(zhì)量；mAg是銀原子的質(zhì)量;

AAg是銀原子的原子量；N0是阿佛加德羅常數(shù)。

將各量代入(3)式，得：dn

n

2

N

3AAg

(

14

)(

2

zeMv

22

)

2

dsin

4

，由此,得：Z=47

2

10

6

1.8設(shè)想鉛（Z=82）原子的正電荷不是集中在很小的核上，而是均勻分布在半徑約為10

米的球形原子內(nèi)，如果有能量為10電

子伏特的粒子射向這樣一個“原子”，試通過計算論證這樣的粒子不可能被具有上

述設(shè)想結(jié)構(gòu)的原子產(chǎn)生散射角大于90的散射。這個結(jié)論與盧瑟福實驗結(jié)果差的很遠，這

說明原子的湯姆遜模型是不能成立的（原子中電子的影響可以忽略）。

解：設(shè)粒子和鉛原子對心碰撞，則粒子到達原子邊界而不進入原子內(nèi)部時的能量有

下式?jīng)Q定：

12

Mv

2

2Ze

6

2

/4OR3.7810

16

焦耳2.3610電子伏特

3

由此可見，具有10電子伏特能量的粒子能夠很容易的穿過鉛原子球。粒子在到達

原子表面和原子內(nèi)部時，所受原子中正電荷的排

2223

斥力不同，它們分別為：F2Ze/4OR和F2Zer/4OR。可見，原子表面處粒

子所受的斥力最大，越靠近原子的中心粒子所受的斥力越小，而且瞄準(zhǔn)距離越小，使

粒子發(fā)生散射最強的垂直入射方向的分力越小。我們考慮粒子散射最強的情形。

22

設(shè)粒子擦原子表面而過。此時受力為F2Ze/4ORo可以認為粒子只在原子大小

的范圍內(nèi)受到原子中正電荷的作用，即作用距離為原子的直徑D。并且在作用范圍D之

內(nèi)，力的方向始終與入射方向垂直，大小不變。這是一種受力最大的情形。

根據(jù)上述分析，力的作用時間為1=D八，

粒子的動能為

t

12

Mv

2

K,因此，v

2

2

2K/M,所以，tD/vDM/2K

根據(jù)動量定理：

2

t

FdtppMv0,而Fdt2Ze/4OR

2

2

t

dt2Zet/4OR,所以有：

22

2Zet/4OR

2

Mv,由此可得：v2Zet/4ORM,粒子所受的平行于入射方向的合力近似為

0,入射方向上速度

不變。據(jù)此，有：

tg

vv

2Zet/4ORMv2ZeD/4ORMv

3

22222

2.410

這時很小，因此

tg2.410

3

弧度，大約是&2。這就是說，按題中假設(shè)，能量為1兆電子伏特的

圖LI

第3頁共38頁粒子被鉛原子散射，不可能產(chǎn)生散射角90的散射。但是在盧瑟福

的原子有核模型的情況下，當(dāng)粒子無限靠近原子核時，

會受到原子核的無限大的排斥力，所以可以產(chǎn)生90的散射，甚至?xí)a(chǎn)生180的

散射，這與實驗相符合。因此，原子的湯姆遜模型是不成立的。

第二章原子的能級和輻射

2.1試計算氫原子的第一玻爾軌道上電子繞核轉(zhuǎn)動的頻率、線速度和加速度。解：電

子在第?玻爾軌道上即年n=l。根據(jù)量子化條件，

pmvrn

速度：v加速度：

h2

可得：頻率

v2al

6

nh2mal

2

h2mal

2

6.5810

15

赫茲

2alh/mal2.18810

2

2

22

米/秒

2

wv/rv/al9.04610

米/秒

2.2試由氫原子的里德伯常數(shù)計算基態(tài)氫原子的電離電勢和第一激發(fā)電勢。

解：電離能為EiEEl,把氫原子的能級公式EnRhc/n代入，得：EiRHhc(

2

11

2

1

)Rhe

=13.60電

子伏特。電離電勢：Vi

Eie

13.60伏特，第一激發(fā)能：EiRHhc(

11

2

12

2

)

34

Rhe

34

13.6010.20

電子

伏特，第一激發(fā)電勢：VI

Ele

10.20伏特

2.3用能量為12.5電子伏特的電子去激發(fā)基態(tài)氫原子，問受激發(fā)的氫原子向低能基躍

遷時，會出現(xiàn)那些波長的光譜線？解：把氫原子有基態(tài)激發(fā)到你n=2,3,4……等能級上去

所需要的能量是：

EhcR

H

11

2

Ini

2

)其中hcR

H

13.6電子伏特

El13.6(1E213.6(1E313.6(1

21314

2

)10.2電子伏特)12.1電子伏特)12.8電子伏特

2

2

其中E1和E2小于12.5電子伏特，E3大于12.5電子伏特?？梢姡哂?2.5電子伏特

能量的電子不足以把基態(tài)氫原子激發(fā)到n4的能級上去，所以只能出現(xiàn)n3的能級間的

躍遷。躍遷時可能發(fā)出的光譜線的波長為：

第4頁共38頁1

1

RH(

12

2

13

2

)5RH/36

16565A

1

2

RH(

11

2

12

2

)

34

RII

21215A

1

3

RII(

11

2

13

2

)

89

RH

31025A

2.4試估算一次電離的氮離子He、二次電離的鋰離子Li的第一玻爾軌道半徑、電離電

勢、第一激發(fā)電勢和賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。

解：在估算時，不考慮原子核的運動所產(chǎn)生的影響，即把原子核視為不動，這樣簡單

些。a)氫原子和類氫離子的軌道半徑：

40hn4mZe

2

222

al

22

n

2

Z

,n1,2,3

10

其中al

40h4me

2

0.52917710米，是氫原子的玻爾第

一軌道半徑；

Z是核電荷數(shù)，對于因此，玻爾第一軌道半

H,Z1；對于H,Z2；對于Li

徑之比是

rHerH

2

,Z3；

ZHZH

22

e

ZHlrLi1

,2rIlZLi3Zn

22

b）氫和類氫離子的能量公式：E

2meZ

2

2

4

(40)nh

El

,n1,2,3

其中El

2me

2

242

(40)h

13.6電子伏特，是氫原子的

2

He2II2Li

基態(tài)能量。

0EHeOEH

電離能之比：

ZZZ

4,

0ELi

0EH

Z

2H

9

2

22

EHeEHeEHEH

c)

第一激發(fā)能之比:

2

1

21

ElE1E1El

2212

222

ElElElEl

2

22

14211

222

33

EE

2Li2H

EE

ILilH

2212

19211

2

2

第5頁共38頁d)氫原子和類氫離子的廣義巴耳末公式：

~Z2R(1l)v,22nln2

其中R{n2(nl1),(nl2)nl1,2,32me

2243(40)h是里德伯常數(shù)。氫原子賴曼系第條譜線的波數(shù)為：

HllCvlR(22)1112

相應(yīng)地，對類氫離子有：

~He22R(11)lvllle22121

IHLi2~vl3R(22)Li121

因此，He1

H114,Li1H1

19

e2.5試問二次電離的鋰離子Li從其第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時發(fā)出的光子，是否有可能

使處于基態(tài)的一次電離的氮粒子H

電離掉？

解：Li由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時發(fā)出的光子的能量為：He的電離能量為：

的電子

vHe4hcR

He(1121)4hcRHehvLi

hvFle

由于27RLil6RHe271m/MHe161m/MLiHeMHeMLi,所以1m/M1m/MLi,從

而有hvLihvHe，所以能將He的電子電離掉。

2.6氫與其同位素笊(質(zhì)量數(shù)為2)混在同一放電管中，攝下兩種原子的光譜線。試問

其巴耳末系的第條(H)光譜線之間的波長差有多大？已知氫的里德伯常數(shù)

RH1.096775810米71,笊的里德伯常數(shù)RD1.097074210米71。解：1

H

1RH(1212131

322),H36/5RHDRD(22),D36/5RD

HD

365(1RI11RD)

1.79A

第6頁共38頁2.7已知一對正負電子繞其共同的質(zhì)心轉(zhuǎn)動會暫時形成類似于氫原子

結(jié)構(gòu)的“正電子索”。試計算“正電子素”由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍

遷發(fā)射光譜的波長為多少A?

解:

1

Ree(

11

2

12

2

)R

11

mm

34

38

R,

83R

1310973731

米2430A

2.8試證明氫原子中的電子從n+1軌道躍遷到n軌道，發(fā)射光子的頻率率。

n

o當(dāng)n?l時光子頻率即為電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動的頻

、證明：在氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的波數(shù)為：vn

1

n

R[

In

2

l(n1)

2

]

頻率為：vn

c

Rc[

In

2

l(n1)

2

2

]

2nln(n1)

4

2

2

Rc

當(dāng)n>>時,有(2nl)/n(n1）頻率為：vn

2

2n/n2/n,所以在n?l時，氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的

3

2Rc/n

3

o

設(shè)電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動頻率為fn,則

fn

vmvr

2

2r2mr

P2mr

2

2Rcn

3

因此，在n?l時，有vnfn

由上可見，當(dāng)n＞〉l時，請原子中電子躍遷所發(fā)出的光子的頻率即等于電子繞第n玻爾

軌道轉(zhuǎn)動的頻率。這說明，在n很大時，玻爾理論過渡到經(jīng)典理論，這就是對應(yīng)原理。

2.9Li原子序數(shù)Z=3,其光譜的主線系可用下式表示:

V

R(10.5951)

2

R(n0.0401)

2

。已知鋰原子電離成Li

離子需要203.44電子伏特的功。問如把Li

離子電離成Li

離子，

需要多少電子伏特的功？

解：與氫光譜類似，堿金屬光譜亦是單電子原子光譜。鋰光譜的主線系是鋰原子的價電

子由高的P能級向基態(tài)躍遷而產(chǎn)生的。一次電離能對應(yīng)于主線系的系限能量，所以Li

離子電離成Li

離子時，有

E1

Li

Rhc(l0.5951)

2

Rhe

Rhc(l0.5951)

2

5.35電子伏特

Li

是類氫離子，可用氫原子的能量公式，因此Li

時,電離能E3為：

E3

設(shè)Li

ZRhcl

2

2

Z

2R

Rhe122.4電子伏特。

Li

的電離能為E2。而LiLi

需要的總能量是E=203.44電子伏特，所以有

E2EElE375.7電子伏特

第7頁共38頁2.10具有磁矩的原子，在橫向均勻磁場和橫向非均勻磁場中運動時

有什么不同？

答：設(shè)原子的磁矩為，磁場沿Z方向，則原子磁矩在磁場方向的分量記為Z,于是

具有磁矩的原子在磁場中所受的力為

FZ

BZ

,其中

BZ

是磁場沿Z方向的梯度。對均勻磁場，

BZ

0,原子在磁場中不受力，原子磁矩繞磁場方向做拉摩

進動，且對磁場的取向服從空間量子化規(guī)則。對于非均磁場，路徑要發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

BZ

0原子在磁場中除做上述運動外，還受到力的作用，原子射束的

2.11史特恩-蓋拉赫實驗中，處于基態(tài)的窄銀原子束通過不均勻橫向磁場，磁場的梯度

為

BZ

10特斯拉/米，磁極縱向范圍

3

2

Ll=0.04米（見圖2-2）,從磁極到屏距離L2=0.10米，原子的速度v510米/秒。在

屏上兩束分開的距離d0.002米。試確定原

子磁矩在磁場方向上投影的大小（設(shè)磁場邊緣的影響可忽略不計）。

解：銀原子在非均勻磁場中受到垂直于入射方向的磁場力作用。其軌道為拋物線；在L2

區(qū)域粒子不受力作慣性運動。經(jīng)磁場區(qū)域L1

后向外射出時粒子的速度為v,出射方向與入射方向間的夾角為。與速度間的關(guān)系

為：tg

VV

粒子經(jīng)過磁場L1出射時偏離入射方向的距離S為：

S

1BL12

0Z……（1）將上式中用已知量表示出來變可以求出Z

2mZv

fm

vat,av

B

mZ

,tLl/v

ZBL1

mZv

S'L2tgS

d2S'

ZBL1L2

mZd2

v

2

ZBL1L2

mZ

v

2

把S代入(1)式中，得:

d2

ZBL1L2

mZ

23

v

2

ZBL1

2mZv

2

2

整理,得：

ZBL1

2mZv

2

(LI2L2)

d2

由此得：Z0.9310

焦耳/特

2.12觀察高真空玻璃管中由激發(fā)原子束所發(fā)光譜線的強度沿原子射線束的減弱情況，

可以測定各激發(fā)態(tài)的平均壽命。若已知原子束中原子速度v10米/秒，在沿粒子束方向

上相距1.5毫米其共振光譜線強度減少到1/3.32。試計算這種原子在共振激發(fā)態(tài)的平均壽

命。

解：設(shè)沿粒子束上某點A和距這點的距離S=L5毫米的B點，共振譜線強度分別為10

和II,并設(shè)粒子束在A點的時刻為零時刻，且此時處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為N

，原子束經(jīng)過t時間間隔從A到達B點，在B點處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為N2。

第8頁共38頁

320

光譜線的強度與處于激發(fā)態(tài)的原子數(shù)和單位時間內(nèi)的躍遷幾率成正比。設(shè)發(fā)射共振譜線

的躍遷幾率為A21,則有

1110

A21N2A21N20

N2N20

,適當(dāng)選取單位，使

1110

N2N20H

1/3.32,并注意到N2N20e

vs

3

A21t

,而tS/v,

A21

則有:

(ln3.32Ini)

svln3.32

6

ln3.32

3

N2N20

e

A21t

1/3.32,由此求得:t

1A21

1.510

10ln3.32

1.2510秒

第三章量子力學(xué)初步

3.1波長為1A的X光光子的動量和能量各為多少?

解：根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得：動量為：P

h

6.631010

8

34

10

6.6310

24

千克米秒

1

能量為：

Ehvhe/

6.6310

34

310/10

10

1.98610

15

焦耳。

3.2經(jīng)過10000伏特電勢差加速的電子束的德布羅意波長？用上述電壓加速的質(zhì)子

束的德布羅意波長是多少？解：德布羅意波長與加速電壓之間有如下關(guān)系：

h/

得:

2meV對于電子：m9.1110

31

公斤，e1.6010

19

庫侖，把上述二量及h的值代入波長的表示式，可

12.25A

12.25

A0.1225A,對于質(zhì)子，m1.671027公斤，e1.601019庫侖，代入波長的

示式，得：

6.62610

21.6710

27

34

19

2.86210

10000

12.25

3

A

1.6010

3.3電子被加速后的速度很大，必須考慮相對論修正。因而原來A的電子德布羅意

波長與加速電壓的關(guān)系式應(yīng)改為：

12.25(10.48910

6

V)A

其中V是以伏特為單位的電子加速電壓。試證明之。

K證明：德布羅意波長：對高速粒子在考慮相對論效應(yīng)時，其動能K與其動量p之間有

如下關(guān)系：h/p,

而被電壓V加速的電子的動能為：KeV

2

2Km0c

2

pc,

22

PP

2

(eV)c

2

2

2m0eV

2

2

因此有：h/p

h2m0eV

leV2m0c

2

2m0eV(eV)/c

一般情況下，等式右邊根式中eV/2moe一項的值都是很小的。所以，可以將上式的根式

作泰勒展開。只取前兩項，得：

第9頁共38頁2

h2m0eV

(1

eV4m0c

2

)

h2m0cV

(10.48910

6

V)

由于上式中h/

2m0eV

12.25A,其中V以伏特為單位，代回原式得：

12.25(10.48910

6

V)A

由此可見，隨著加速電壓逐漸升高，電子的速度增大，由于相對論效應(yīng)引起的德布羅意

波長變短。

3.4試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個電子的德布羅意波波長。上述結(jié)果不

但適用于圓軌道，同樣適用于橢圓軌道，試證明之。

證明：軌道量子化條件是：

pdq

nh,對氫原子圓軌道來說，pr0,pmr

2

mvr

pd

所以有：

2mvrnh

hmv

S2rnn,n1,2,3

所以,氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個電子的德布羅意波長。橢圓軌道的量子化

條件是：

Pdh

prdrnrh

prmr,pmr

其中

2

(prdrpd)nh,其中nnnr

而(prdrpd)

(mrdr

2

mrd)

2

(mr

2

drdt

dtmr

ddt

dt)

mvdtrdsdsh

hmvds

ds

因此，橢圓軌道也正好包含整數(shù)個德布羅意波波長。

3.5帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測器）中的軌跡是一串小霧滴，霧滴德線度約

為1微米。當(dāng)觀察能量為1000電子伏特的電子徑跡時其動量與精典力學(xué)動量的相對偏差

不小于多少？

解：由題知，電子動能K=1000電子伏特，x10

6

米，動量相對偏差為P/PO根據(jù)測不準(zhǔn)原理，有px

h2

，由此得:

P

P

h2x

,經(jīng)典力學(xué)的動量為：

2mK

h2x2mK

3.0910

5

電子橫向動量的不準(zhǔn)確量與經(jīng)典力學(xué)動量之比如此之小，足見電子的徑跡與直線不會有

明顯區(qū)別。

3.6證明自由運動的粒子(勢能V0)的能量可以有連續(xù)的值。

ih

(prEt)

證明：自由粒子的波函數(shù)為：Ae

,,,,(1)第10頁共38頁自由粒子的哈密頓量是：H

h

2

2

,,,,(2)

2m

自由粒子的能量的本征方程為：HE,,,,(3)

2

ih

(prEt)

把(1)式和(2)式代入(3)式，得：即：

h

2m

ih

[Ae

2

]E

P

h

2

2

2m

A(

2

ddx

22

ddy

22

ddz

22

)e

(pxxpyypzzEt)

E

2m

E

p

2

E

2m

自由粒子的動量p可以取任意連續(xù)值，所以它的能量E也可以有任意的連續(xù)值。3.7

粒子位于一維對稱勢場中，勢場形式入圖3-1,即

(

0xL,V0

x0,xL,VV0

(1)試推導(dǎo)粒子在EV0情況下其總能量E滿足的關(guān)系式。

(2)試利用上述關(guān)系式，以圖解法證明，粒子的能量只能是一些不連續(xù)的值。解：為

方便起見,將勢場劃分為I,II,in三個區(qū)域。

(1)定態(tài)振幅方程為

ddx

2

(x)2

2h

2

(EV(x))

(x)

0式中是粒子的質(zhì)量。

I區(qū):

ddx

22

2

0其中

22

2h

2

(VOE),波函數(shù)處處為有限的解是：l(x)Ae

x

“是一任意常數(shù)。

II區(qū)：

ddx

22

0其中

22

2h

2

E,處處有限的解是：2(x)Bsin(x),B,是任意常數(shù)。

HI區(qū)：

ddx

2

0其中

22

2h

2

(VOE),處處有限的解是：3(x)De

x

,D是任意常數(shù)。

有上面可以得到：

Id1

Idx

Id

2

2

dx

ctg(X),

Id3

3dx

,,有連續(xù)性條件，得:

Ctg

ctg(L)

解得：tg(L)

1

?因此得：Ln2tg1(/)這就是總能量所滿足的關(guān)系式。2

2

第11頁共38頁

(2)

有上式可得：

tg(

n2

2

)

tgctg

L

2L2

n偶數(shù)，包括零

亦即

L(L)ctgL(L)tg

u2

L

2

n奇數(shù)

L

2

vutg

令

(1)

Lu,Lv,則上面兩方程變?yōu)?

Vutg

u2

2

(2)

另外，注意到u和V還必須滿足關(guān)系：U

2

v

2

2VOL/h（3）

2

所以方程（1）和（2）要分別與方程（3）聯(lián)立求解。

VOo3.8有一粒子，其質(zhì)量為叫在一個三維勢箱中運動。勢箱的長、寬、高分別為

a、b、c在勢箱外，勢能V；在勢箱內(nèi)，

式計算出粒子可能具有的能量。

解：勢能分布情況，由題意知：

Vx0,0xa;Vy0,0yb;Vz0,0zc;Vx,x0和xaVy,y0和

ybVz,z0和zc

2x

22

在勢箱內(nèi)波函數(shù)（x,y,z）滿足方程：

2y

2

2

2z

2

2

2mh

2

[E(VxVyVz)]0

解這類問題，通常是運用分離變量法將偏微分方程分成三個常微分方程。令

(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)

(代入(1)式，并將兩邊同除以X(x)Y(y)Z(z),得：

IdXXdx

2

2

2mh

2

Vx)(

IdYYdy

2

2

2mh

2

Vy)(

IdZZdz

2

2

2mh

2

Vz)

2mh

2

E

方程左邊分解成三個相互獨立的部分，它們之和等于一個常數(shù)。因此，每一部分都應(yīng)等

于一個常數(shù)。由此，得到三個方程如下：

IdXXdxldYYdy

222

2

2

2mhh

22

Vx

2mh

22

Ex

2m

VyVz

2mh

EyEz

IdZZdz

2

2mh

2

2mh

2

其中EExEyEz,Ex,Ey,Ez皆為常數(shù)。

將上面三個方程中的第一個整數(shù)，得：

dXdx

2

2

2mh

2

(ExVx)X0??(2)

第12頁共38頁邊界條件：X(0)X(l)0

2a

nxa

2

Xn

sin

22

X

可見，方程（2）的形式及邊界條件與一維箱完全相同，因此，其解為:

Ex

2b

2

h2a

2

nx,nx1,2,3

YnEyZn

sin

22

nyb

2

y

h2b2c

2

ny,ny1,2,3nzc

2

sin

22

z

類似地，有

Ez

h2c

nz,nz1,2,3

8abc

2

(x,y,z)sin

2

nxxanzc

2

sin

nyyb

sin

nzzc

E

h2m

22

(

nxa

2

nyb

2

2

)

可見，三維勢箱中粒子的波函數(shù)相當(dāng)于三個一維箱中粒子的波函數(shù)之積。而粒子的能量

相當(dāng)于三個一維箱中粒子的能量之和。對于方勢箱，abc,波函數(shù)和能量為：

(x,y,z)

E

8a

2

3

sin

nxxa

2

sin

2

nyya

2

sin

nzza

h

2ma

222

n,n

2

nxnynz

第四章堿金屬原子

4.1已知Li原子光譜主線系最長波長6707A,輔線系系限波長3519A。求鋰

原子第一激發(fā)電勢和電離電勢。解：主線系最長波長是電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷產(chǎn)

生的。輔線系系限波長是電子從無窮處向第一激發(fā)態(tài)躍遷產(chǎn)生的。設(shè)第一激發(fā)電勢為VI,

電離電勢為V，則有：

eVlhVI

c

1.850伏特h(l

c

he

ec

eVhV

e

1

he

)5.375伏特。

4.2Na原子的基態(tài)3S。已知其共振線波長為5893A,漫線系第一條的波長為8193A,基

線系第一條的波長為18459A,主線

系的系限波長為2413A。試求3S、3P、3D、4F各譜項的項值。

第13頁共38頁pmax,dmax,fmax,p,

解：將.上述波長依次記為容易看出：

max

即pmax5893A,dmax8193A,f18459A,p2413A

~T3SvT3P

1

1

P

1

4.14410米

61

Ppmax

1

2.44710米

6

61

1.22710米0.68510米

6

1

T3DT3pT4FT3D

dmax

1

1

fmax

P

4.3K原子共振線波長7665A,主線系的系限波長為2858A。已知K原子的基態(tài)4S。試

求4S、4P譜項的量子數(shù)修正項s,

各為多少？

值

'1/，解：由題意知：pmax7665A,p2858A,T4sv由T4sPP

R(4s)

2

，得：4s

Rk/T4S

設(shè)RKR,則有s2.229,T4P

1

p

1

Pmax

,與上類似p4

R/T4P1.764

4.4Li原子的基態(tài)項2S。當(dāng)把Li原子激發(fā)到3P態(tài)后，問當(dāng)3P激發(fā)態(tài)向低能級躍遷時

可能產(chǎn)生哪些譜線(不考慮精細結(jié)構(gòu))？

答：由于原子實的極化和軌道貫穿的影響，使堿金屬原子中n相同而1不同的能級有很

大差別，即堿金屬原子價電子的能量不僅與主量子數(shù)n有關(guān)，而且與角量子數(shù)1有關(guān)，可

以記為EE(n,l)。理論計算和實驗結(jié)果都表明1越小，能量越低于相應(yīng)的氫原子的能

量。當(dāng)從3P激發(fā)態(tài)向低能級躍遷時，考慮到選擇定則：11,可能產(chǎn)生四條光譜，

分別由以下能級躍遷產(chǎn)生：

3P3S;3S2P;2P2S;3P2S。

4.5為什么譜項S項的精細結(jié)構(gòu)總是單層結(jié)構(gòu)？試直接從堿金屬光譜雙線的規(guī)律和從電

子自旋與軌道相互作用的物理概念兩方面分別說明之。

答：堿金屬光譜線三個線系頭四條譜線精細結(jié)構(gòu)的規(guī)律性。第二輔線系每一條譜線的二

成分的間隔相等，這必然是由于同一原因。第二輔線系是諸S能級到最低P能級的躍遷產(chǎn)

生的。最低P能級是這線系中諸線共同有關(guān)的，所以如果我們認為P能級是雙層的，而S

能級是單層的，就可以得到第二輔線系的每一條譜線都是雙線，且波數(shù)差是相等的情況。

主線系的每條譜線中二成分的波數(shù)差隨著波數(shù)的增加逐漸減少，足見不是同一個來源。

主線系是諸P能級躍遷到最低S能級所產(chǎn)生的。我們同樣認定S能級是單層的，而推廣所

有P能級是雙層的，且這雙層結(jié)構(gòu)的間隔隨主量子數(shù)n的增加而逐漸減小。這樣的推論完

全符合堿金屬原子光譜雙線的規(guī)律性。因此，肯定S項是單層結(jié)構(gòu)，與實驗結(jié)果相符合。

堿金屬能級的精細結(jié)構(gòu)是由于堿金屬原子中電子的軌道磁矩與自旋磁矩相互作用產(chǎn)生附

加能量的結(jié)果。S能級的軌道磁矩等于0,不產(chǎn)生附加能量，只有一個能量值，因而S能

級是單層的。

4.6計算氫原子賴曼系第一條的精細結(jié)構(gòu)分裂的波長差。

22

解：賴曼系的第一條譜線是n=2的能級躍遷到n=l的能級產(chǎn)生的。根據(jù)選擇定則，躍遷

只能發(fā)生在2PIS之間。而S能級是單層的，所以，賴曼系的第一條譜線之精細結(jié)構(gòu)是

由P能級分裂產(chǎn)生的。

氫原子能級的能量值由下式?jīng)Q定：

E

Rhe(Z)

n

2

2

Rhea

2

(ZS)n

3

4

(

lj

12

34n

)，其中(Z)(ZS)1

第14頁共38頁E(2P3/2)E(lSl/2)h

1

222clhcE(2P3/2)E(lSl/2)222E(2Pl/2)E(lSl/2)h

2hcc2E(2Pl/2)E(lSl/2)22

因此，有：

21

hc[E(2P3/2)E(lSl/2)]

[E(2P3/2)E(lSl/2)][E(2Pl/2)E(lSl/2)]

E(2P3/2)Rhe

E(2Pl/2)Rhe

E(lSl/2)Rhc22222222216a6422165a644a42

將以上三個能量值代入的表達式，得：

4a

64

4811a

64

64

2224a4815a642221RR(48Ila)(4815a)

13

5.3910米5.39103A

614.7Na原子光譜中得知其3D項的項值T3D1.227410米，試計算該譜項之精細

結(jié)構(gòu)裂距。

6171解：已知T3D1.227410米,RNa1.097410米

n

而Z**RNaT3D*2.9901n/n

RaZ

32*4所以有：Tnl(l1)3.655米1

4.8原子在熱平衡條件下處在各種不同能量激發(fā)態(tài)的原子的數(shù)目是按玻爾茲曼分布的，

即能量為E的激發(fā)態(tài)原子數(shù)目NNOggOe(EEO)/KT。其中NO是能量為E0的狀態(tài)的原

子數(shù)，g和gO是相應(yīng)能量狀態(tài)的統(tǒng)計權(quán)重，K是玻爾茲曼常數(shù)。

3。試估算此氣體的溫度。已從高溫飽原子氣體光譜中測出其共振光譜雙線

18943.5A,2852L1A的強度比H：122：

第15頁共38頁知相應(yīng)能級的統(tǒng)計權(quán)重gl2,g24。

解：相應(yīng)于1,2的能量分別為：Elhe/1;E2he/2

所測得的光譜線的強度正比于該譜線所對應(yīng)的激發(fā)態(tài)能級上的粒子數(shù)N,即IN

I1I2KTN1N2glg2eElE2KT23ElE2

e2g2

3gl

E2El

Kln2g2

3gl2773K由此求得T為：T

第五章多電子原子

5.1He原子的兩個電子處在2P3d電子組態(tài)。問可能組成哪幾種原子態(tài)?用原子態(tài)的符號

表示之。已知電子間是LS耦合。解：因為111,122,sls2

所以可以有如下12個組態(tài)：12ssis2或sis2;,

L1112,11121,1112,S0,1;L3,2,1

Ll.SO,P1

L1,Sl,P0,1,2

L2,S0,D2

L2,S1,D1,2,3

L3,S0,F3

L3,S1,F2,3,4

5.2已知He原子的兩個電子被分別激發(fā)到2P和3d軌道，器所構(gòu)成的原子態(tài)為D,問這

兩電子的軌道角動量pH與P12之間的夾角，自旋角動量psi與ps2之間的夾角分別為多

少？

解：(1)已知原子態(tài)為D,電子組態(tài)為2P3d,L2,S1,111,12233313131

因此，

第16頁共38頁pll

pl2

PL

PL211(11l)h22612(121)L(L1)226

2pllpl22pllpl2cosL22cosL(PLpllpl2)/2pllpl2123

L10646

(2)

sis212'

PlP2

PSs(sl)h2h32hS(Sl)h

而

PS2psips22pslps2coss

22222coss(PSpsips2)/2pslps213

S7032'

5.3鋅原子(Z=30)的最外層電子有兩個，基態(tài)時的組態(tài)是4s4s。當(dāng)其中有一個被激

發(fā),考慮兩種情況：(1)那電子被激發(fā)到5s態(tài)；(2)它被激發(fā)到4P態(tài)。試求出LS耦

合情況下這兩種電子組態(tài)分別組成的原子狀態(tài)。畫出相應(yīng)的能級圖。從（I）和（2）情況

形成的激發(fā)態(tài)向低能級躍遷分別發(fā)生幾種光譜躍遷？

解：（1）組態(tài)為4s5s時11120,sis212,

L0,S0,1

S0時，JL0,單重態(tài)SO

S1時;J1,三重態(tài)31sl

根據(jù)洪特定則可畫出相應(yīng)的能級圖，有選擇定則能夠判斷出能級間可以發(fā)生的5種躍

遷：

5S04P1,5S14P0;

5S14P1;5S14P2,所以有5條光譜線。

4P14S0

（2）外層兩個電子組態(tài)為4s4P時：1133331133

110,121,sis212,

L1,S0,1

S0時，JL1,單重態(tài)Pl

S1時;J2,1,0,三重態(tài)31P2,1,0

11根據(jù)洪特定則可以畫出能級圖，根據(jù)選擇定則可以看出，只能產(chǎn)生一種躍遷，

4P14S0,因此只有一條光譜線。

第17頁共38頁5.4試以兩個價電子112和123為例說明，不論是LS耦合還是

jj耦合都給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).

證明：（DLS耦合，

S0,1;L5,4,3,2,1,S0時;JL

,5個L值分別得出5個J值，即5個單重態(tài).

S1時;JL1,L,L1;

代入一個L值便有一個三重態(tài).5個L值共有5乘3等于15個原子態(tài)：

PO,1,2;D1,2,3;F2,3,4;G3,4,5;H4,5,6因此，LS耦合時共有20個可能的狀態(tài).

3

3

3

3

3

(2)jj耦合：

j1s或j1s;jl

52或32;j2

72或52

Jjlj2,jlj2

將每個jl、j2合成J得:

jlJlJlJl

52325232和j2和j2和j2和j2

72725252

，合成J6,5,4,3,2,1,合成J5,4,3,2

，合成J5,4,3,2,1,0,合成J4,3,2,1

37

55

35

共20個狀態(tài)：(,)6,5,4,3,2,1,(,)5,4,3,2;(,)5,4,3,2,1,0;(,)4,3,2,1

22

22

22

22

所以，對于相同的組態(tài)無論是LS耦合還是jj耦合，都會給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).

5.5利用LS耦合、泡利原理和洪特定責(zé)來確定碳Z=6、氮Z=7的原子基態(tài)。

解:碳原子的兩個價電子的組態(tài)2P2p,屬于同科電子.這兩個電子可能有的ml值是1,0,-

1；可能有ms值是

57

12

12

,兩個電子的主量

子數(shù)和角量子數(shù)相同,根據(jù)泡利原理，它們的其余兩個量子數(shù)ml和ms至少要有個不相

同.它們的ml和ms的可能配合如下表所示.

為了決定合成的光譜項,最好從M此可以得出一個D項。又因為這個M屬于這一光譜

項，它們都是M三項是M

3

L

m

S

li

的最高數(shù)值開始，因為這就等于L出現(xiàn)的最高數(shù)值。現(xiàn)在，M

L

得最高數(shù)值是2,因

L

只與M

0相伴發(fā)生，因此這光譜項是1D項。除了M

L

2以外，M

L

1,0,1,2也

0；有

S

0。這些譜項在表中以ML的數(shù)字右上角的記號”表示。共有兩項是M

L

1,M

S

L

0.M

S

0。在尋找光譜項的過程中，把它們的哪一項選作1D項的分項并不特別重要。類似地

可以看出有九個組態(tài)屬

的

于P項，在表中以M

L

碳原子

第18頁共38頁

ym=Mc=ML

%〃心ni

,2f

1/21/21011,

1/21/21-110,

1/21/20-11-r

1/2-1/21102,

1/2-1/2100r

1/2-1/21-100,

1/2-1/2010i*

1/2-1/20000

1/2-1/20-10-r

1/2-1/2-11004

1/2-1/2-100-i°

1/2-1/2-1-10一2。

-1/2-1/210-11*

-1/2-1/21-1-10*

-1/2-1/20-1-1-r

氮原子

Wym=Ms

s!吃322

ii

1/21/21/210-13/20

1/21/21/201-13/20,

1/21/21/2-1013/20

-1/2-1/2-1/210-13/2O'

-1/2-1/2-1/201-13/20

-1/2-1/2-1/2-1013/2O'

????????????????????????

1/21/2-1/21011/22

1/21/2-1/21001/21

1/21/2